彩票中数学问题Word文件下载.docx
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有多种不同的形式,比如"
33选7"
的方案:
先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
投注者从01~33个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
又如"
36选6+1"
的方案,先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。
从01~36个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
这两种方案的中奖等级如表二。
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三,其中一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项奖。
低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为:
[(当期销售总额×
总奖金比例)-低项奖总额]×
单项奖比例
(1)根据这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
(2)设计一种"
更好"
的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出建议。
(3)给报纸写一篇短文,供彩民参考。
二.模型的假设
1.彩票每期的中奖号码都是随机产生的不受外界的任何因素的影响。
2.彩票发行单位每期拿出本期销售额的50%作为奖金发入奖金池中。
3.“传统型”彩票选择的号码中的数字是可以重复的且号码是有顺序,不同的投注者选择的号码可以相同(因此一等奖可能有多个中奖者)。
4.“乐透型”彩票选择的号码中的数字是不可以重复的且号码是无顺序,不同的购买者选择的号码可以相同(因此一等奖可能有多个中奖者)。
5.若单注已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
6.按问题中的高项奖计算公式计算奖金额,当某期的一等奖的金额低于60万时,不足的金额由彩票销售公司补足;
当计算出的某期的一等奖的金额高于500万时,公司也只将一等奖金额定为500万。
7.彩票销售规则及相应的奖金设置方案在一定的时期内是固定不变的。
8.一、二、三等奖规定为高项奖,其余的规定为低项奖;
低项奖数额固定,高项奖按比例分配,高项奖额的计算方法为:
[(当期销售总额×
总奖金比例)-低项奖总额]×
单项奖比例。
三.问题
(1)的解答
对于问题
(1),我们首先要求出各种方案中各种奖项出现的可能性,这是一个概率计算问题。
而对于彩民的吸引力,它受许多因素的影响,其中包括总中奖率(即总中奖面)、各种奖项的中奖率、一等奖占总奖金额的比例、所有低等奖奖金总额占总奖金额的比例、销售公司以前的业绩情况、前一期彩票销售中的中奖情况、销售公司的信誉等等。
因此在评价时,我们应该尽量综合各种因素,站在客观的角度,既考虑彩票销售公司的利益,也考虑彩民的利益,建立科学的评价模型对本问题的29个方案给出科学、客观、准确的评价。
(一)、计算所有方案中各种奖项的中奖概率利用排列组合知识,根据初等概率计算方法,我们在下面两个表中分别给出了“传统型”和“乐透型”各种奖项的中奖概率计算公式(见表3)和具体计算的中奖概率值(见表4)。
通过对各彩票方案中各奖项中奖率的观测分析,我们可以发现n/m的方案,如果当n固定时,m增大,则该彩票的总中奖率会降低,下面我们给出并证明一些有关定理。
证明:
引理1:
如果m15,i取0到3之间的数,nimn
2
并且,,都是整数则有:
nminninmnminninmCCCCCC11+-----
证明:
因为)
1)(())(1(111
1+----+==-+--+-----nmnminmmCCCCCCCCCCnminmnminmnminninmnminn
inm要使定理成立,只要)1)(()
)(1(+----+nmnminmm大于数值“1”。
将上面的不等式化简得:
i
ninm-+2对于inin-+2显然n越大其值越大,i越大其值越大,因此当n取最大值2
m,i取最大值3时inin-+2取得最大值,32
342-+mm所以,要使定理成立,只要:
m32
342
-+mm化简上述不等式得:
0*****--mm*****--=mmy是一个以6=m为对称轴的开口向上的抛物线函数,在6m时,y是单调递增的。
当346+=m时,
*****--mm=0由于*****+m,所以*****
--mm0,即1)
1()(1+----+nmnminmm)()(所以有nminninmnminninmCCCCCC1
1+-----,引理得证。
引理2:
如果1521mm,i取0到3之间的数,并且inmm都是整数。
则有nminninmnminninmCCCCCC2211
1-1-----
根据引理1可得:
n
minninmnminninmnminninmn
minninmCCCCCCCCCCCC***-*****1
*****---+---+-------
所以:
nminninmn
minninmCCCCCC*****
------<
引理可证>
<
/引理可证>
定理1:
对于“乐透型”的彩票(n/m‘有特号’),当n固定时,若m增大,则该彩票的总中奖率会降低。
设有两种不同的乐透型彩票为:
n/m1,n/m2,(m1m215且n
2
212mm)这是作为彩票活动必须满足的条件)
(1)首先比较一等奖的概率:
两个概率分别为:
nmnnnmnnCCCC2
1,,我们在这利用引理2,把0=i代入得:
nmnnnmnnnmnnnmnnCCCCCCCC2121,
(2)比较二等奖的概率:
两个概率分别为:
nmnnnmnnCCCCC2
*****,--我们利用
(1)得出的一个结果
nn21
11mmCCnmnnnmnnCCCCCC***-*****--所以当n固定时,m增大该彩票二等奖的概率会降低。
(3)比较三等奖的概率:
nmnmnnnmnmnnCCCCCC221
***-*****,------,令引理2中的1=i,得nmnmnnn
mnmnnCCCCCC***-*****11------
所以,当n固定时,m增大,该彩票三等奖的概率会降低。
(4)类似的用
(2)(3)两步的证明方法可得出当n固定时,m增大,该彩票的四,五,六,七等奖的概率会降低。
综合
(1)
(2)(3)(4),我们知道当n固定时,m增大,中各种奖的概率都降低,因此该彩票的总中奖率会降低。
对“乐透型”其它形式如:
n+1/m,n/m(无特号),由于它们的中奖概率计算公式与n/m(有特号)的计算公式相似,我们已证明的定理1也适用于其它两种情况。
定理2:
对于“乐透型”的彩票,当m固定时,n增大(2
mn
),该彩票的总中奖率会降低。
由于证明方法与定理1的方法相似,故证明略.
(二)、利用主成分分析法评价方案的优劣
多指标综合评价方法是把多个描述被评价事物不同方面且量纲不同的统计指标,转化为无量纲的相对评价值,并综合这些评价值以得出对该事物一个整体评价的方法。
目前国内外关于多指标综合评价的方法很多,根据权重确定方法的不同,这些方法大致可分为两类:
一类是层次分析法、德尔菲法等,多是采用综合咨询评分的定性方法,这类方法因受到人为因素的影响,往往会夸大或降低了某些指标的作用,致使排序的结果不能完全真实地反映事物间的现实关系。
另一类是客观赋权法,即根据各指标间的相关关系或各项指标值的变异程度来确定权数,避免了人为因素带来的偏差。
如主成分分析法、因子分析法等。
主成分分析法在将原始变量转变为主成分的过程中,同时形成了反映主成分和指标包含信息量的权数,以计算综合评价值,这样首先在指标权重选择上克服了主观因素的影响,有助于保证客观地反映样本间的现实关系;
其次,由于主成分分析法在对原指标变量进行变换后形成了彼此相互独立的主成分,消除了评价指标之间的相关影响;
再次,主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列的,在分析问题时,可以舍弃一部分主成分,只取前面方差较大的几个主成分来代表原变量,从而减少了计算工作量。
在这里,对于彩票方案的评价是一个多指标评价问题。
由于如下几个指标:
总中奖面、各种奖项的中奖率、一等奖金额占总奖金额的比例、所有低等奖奖金总额占总奖金额的比例,基本上反映了一个彩票方案的合理性(事实上,彩票方案对彩民的吸引力也主要由这些指标体现),且这些指标中有些指标间存在比较强的相关性,如总中奖面与各种奖项的中奖率,在此,我们采用主成分分析模型对方案进行评价。
2、彩票方案的主成分分析评价
我们选用10个指标对彩票方案进行评价,这10个指标分别是:
一等奖中奖率(P1),二等奖中奖率(P2),三等奖中奖率(P3),四等奖中奖率(P4),五等奖中奖率(P5),六等奖中奖率(P6),七等奖中奖率(P7),一等奖奖金率(V1,表示一等奖奖金额占总奖金的比例),低等奖奖金率(V2,表示所有低等奖奖金额之和占总奖金额的比例),总中奖率(P0,表示各种奖项中奖率之和)。
样本数据如下表5所示:
数矩阵),进一步计算得到其特征值
89.44%的信息,且互相不相关,所以取前四个特值,其对应的特征向量如表7所示。
因而前四个主成分为:
第一主成分:
Z1=0.2631P1+0.1577P2+0.2632P3-0.0924P4-0.3022P5-0.4758P6+0.6254P7+0.1772V1+0.0925V2+0.2810P0
第二主成分:
Z2=-0.2728P1+0.3845P2-0.3734P3+0.4483P4-0.5975P5-0.0349P6-0.0135P7-0.2206V1+0.1674V2-0.0478P0
第三主成分:
Z3=-0.0180P1-0.2634P2+0.1433P3-0.3436P4-0.1145P5-0.3340P6-0.1151P7-0.6260V1+0.4216V2-0.2782P0
第四主成分:
Z4=-0.2582P1+0.2473P2+0.0830P3-0.1144P4+0.1471P5-0.0567P6-0.1682P7+0.5528V1+0.6847V2-0.1628P0
利用∑==miiiif1λλ计算样本综合评价值∑==pii
izfY1
利用计算机计算综合评价结果及方案优劣性排序见表8
根据主成分分析综合评价及排序结果,我们得到如下结论:
(1)总中奖率高、一等奖奖金占总奖金比例高、低等奖奖金占总奖金比例高、奖项种类较多、低等奖奖项金额大的方案排名较前。
如排名第一的方案10,排名第三、四的方案7和方案6。
(2)对于总中奖率特别高的方案,尽管它的奖项设置少,也排名较前。
如排名第二的方案23,其总中奖率是所有方案中最高的,比其他方案高出10倍左右。
(3)总中奖率低、低等奖奖项少的方案,是对彩民的吸引力最小,从而彩票销售公司盈利也最小的方案,一般排名较后。
如排名第二十七、第二十八的方案29和方案28,它们的总中奖率和低项奖占总奖金的比例都是所有方案中较低的。
(4)奖项设置特别少的方案,其总中奖率最低,而且低等奖奖项少,导致低等奖奖金总额占总奖金额的比例减少,这类方案是对彩民最没有吸引力的方案,同时也是彩票销售公司盈利性最差的方案,它的排名无疑是在最后,如排名倒数第一的方案1,其奖项设置是所有方案中最不合理的,只有一个低等奖,且其总中奖率是所有方案中最低的,只有万分之三的中奖率。
如方案11~15、20、21、22、24、25。
(6)总中奖率相等,并且其一等奖金率也相差不大,那么低等奖金率大的方案排名在低等奖率小的方案之前。
(7)总的来说,彩票销售中,总中奖率高、低等奖奖金占总奖金额的比例高是提高彩民参与购买彩票的信心,而一等奖奖金占总奖金额的比例高,是“诱惑”彩民购买彩票的“诱饵”。
四、问题
(2)的解答
问题
(2)是要求我们通过前面对常见的29种彩票销售方案的优劣性分析,取长补短,设计一种更好的方案,以期对彩民和销售公司都更为有利。
(一)方案设计理由:
(1)所谓“更好”的方案应该是:
对彩民具有吸引力,即首先总中奖面要宽,这样可以吸引大多数彩民的参与;
其次,一等奖奖金要高,这样可以吸引想一心中大奖的彩民;
第三,
低等奖奖金额占总奖金额的比例也要高,可以增加彩民的信心。
所以奖项设置应尽可能多,但也要考虑实际操作尽可能简单,以及彩民的习惯性心理等因素,我们将奖项设置为7项。
而且低等奖奖金占总奖金的比例要高,我们设置最低奖项“七等奖”奖金额至少应为5元,因为若奖金额太少,比如为2元,基本上末等奖对彩民不产生吸引力。
(2)一等奖奖金要尽可能高,按照一般情况,如问题中已给出的所有29个方案,一等奖奖金总额占高项奖金总额的比例应大于50%,低等奖奖金额是逐次递增(如四等奖大于五等奖奖金,五等奖大于六等奖金,六等奖大于七等奖奖金)。
(3)按照彩票奖金设置一般规则,低项奖数额固定,这里我们将四、五、六、七奖项作为低项奖处理,并设其分别为X4X5X6X7(单位:
元),高项奖按比例分配,我们将一、二、三奖项作为高项奖处理,其奖金额占高项奖奖金总额的比例分别为X1X2X3。
(4)总奖金额比例仍为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,高项奖奖额的计算仍按公式“[(当期销售总额×
单项奖比例”计算,且规定一等奖单注保底金额为60万元,封顶金额为500万元。
(5)方案设置的合理性。
即要使彩票销售公司满意,同时又要使彩民满意。
而彩票销售公司满意是希望销售额越大越好(因销售公司的利润恒为销售收入的一半,这里不计发行彩票的成本,如人工费、印制费等)。
当销售方式固定后,各种奖项的中奖率及总中奖率固定。
因此,彩民的满意主要体现在一等奖奖金额越高越好,低等奖总奖金额越高越好。
当然,由于这里是多个目标,在处理时需用线性加权处理。
(6)我们设置的方案应该是建立在对前面问题
(1)分析的基础之上的,也就是应该尽可能利用问题
(1)中得到的结论,充分利用问题
(1)的分析信息。
因此,我们认为设置的方案应该是在排名前几位方案的基础上加以改进而得的。
由于排名第二的方案23是一个特殊方案,没有普遍性,不值得借鉴,而值得借鉴的是带有普遍性,排名第一、三的方案10
和方案7。
(二)方案设计的非线性规划模型
1、变量说明
(1)当期彩票销售总额为y,是随着彩民的加入而不断增加的变量。
其上限限制为M。
(2)X1X2X3为一、二、三等奖奖金额分别占高项奖奖金总额的比例分别X4X5X6X7为四、
五、六、七等奖奖金额,单位:
元。
(3)P4P5P6P7分别为四、五、六、七等奖的中奖率。
2、模型设计
(1)由于方案设计时,既要考虑彩票销售公司的利益,又要兼顾对彩民的吸引力。
在这里对彩民的吸引力主要考虑一等奖奖金额、所有低等奖奖金额尽可能大,二、三等奖一般来说对彩民的吸引力没有明显的趋势,所以目标函数是销售总额、一等奖奖金额、所有低等奖奖金总额的加权和。
设权重各为w1,w2,w3
(2)由于X1X2X3为一、二、三等奖奖金额分别占高项奖奖金总额的比例,则有
(3)根据实际情况,销售总额的上限可限制为M。
(4)由于销售总额为y,单注金额为2元,所以购买彩票的总人数是y/2,p4y/2就为四等奖中奖人数,x4p4y/2就为四等奖奖金总额,同理可计算五、六、七等奖奖金总额。
再按公式“[(当期销售总额×
单项奖比例”计算一等奖奖金总额。
当一等奖单注保底金额为60万元,封顶金额为500万元时,则有:
4*****05002/)(1060?
≤----≤?
xypxypxypxypxy
所以建立的非线性规划模型为:
2/)(w2/)(wywmaxZ***-*****3*****yxpxpxpxpxyxpyxpyxpyxpy++++----+=1321=++xxx
***-*****444
177********
5002/)(*****/)(?
≥----?
≥----xypxypxypxypxyxypxypxypxypxy
05
%
5077
66
55
41≥≤≥ixM
yxxxxxxxx由于这是一个非线性规划模型,可用LINGO软件或Matlab编写简短的程序进行求解。
由于上述模型需要首先确定方案规则,从而确定各种奖项的中奖概率,根据前面主成分分析的结果和附录中彩票销售模拟程序的结果,我们认为7/30,7/31模式是彩民们容易接受,也是公认为比较好的方式。
因此,我们以7/30,7/31为销售规则,并将销售总额限制为1亿元,权重分别为0.5,0.3,0.2,利用该非线性规划模型,设计出了以下两种方案。
这两个方案的优点是:
第一、保证了总中奖率较高;
第二,奖项设置比较完善,也即尽可能多;
第三,保证了一等奖的奖金率较高;
第四,保证了低等奖奖金总额大致相同,即四等奖奖金总额、五等奖奖金总额、六等奖奖金总额、七等奖奖金总额大致相同。
这遵循了奖金额越高,中奖概率越低的一般规则。
我们还将这两个方案分别与前面的29个方案,一起用主成分分析法进行了评价,其评价值分别为1.9423和1.9712。
这说明这两个方案确实是比所有给定的方案“更好”。
综合以上因素,我们可以给彩票管理部门提出一些有价值的决策参考建议:
1.由于销售规则模式直接决定了彩票的总中奖率,应尽可能选择总中奖率高的彩票销售规则(如:
7/30)。
这样可以提高彩民参与购买彩票的信心,为公司带来更多的销售收入。
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