补充线性规划问题练习题解答.docx
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补充线性规划问题练习题解答.docx
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补充线性规划问题练习题解答
补充线性规划问题习题及解答
1.某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm,现在要在宽度上进行切割以完成下列订货任务:
24cm宽的75卷,40cm宽的50卷和32cm宽的110卷,长度是一样的,试将这个要解决的切割方案问题列成线性规划模型,使切余的边料最少。
答:
有下面八种切法
一
二
三
四
五
六
七
八
需要
数量
(卷)
24cm
40cm
32cm
4
0
0
0
2
0
0
0
3
1
1
1
1
0
2
2
1
0
2
0
1
0
1
1
75
50
110
余料
4
20
4
4
12
12
20
28
设x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8分别表示八种下料方案切割的铜卷数,求解x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8使满足条件:
并使余料总数:
Z=4x1+20x2+4x3+4x4+12x5+12x6+20x7+28x8取得最小值。
近似最优解x1=25/4,x3=20,x4=50其他为0,最优值z*=305。
(不是整数解)
2.某养鸡场养鸡10000只,用大豆和谷物饲料混合喂养,每天每只平均吃混合饲料0.5kg,其中应至少含有0.1kg蛋白质和0.002kg钙。
已知大豆中含50%蛋白质和0.5%的钙,价格是1.00元/kg,谷物中含有10%的蛋白质和0.4%的钙,价格是0.30元/kg,粮食部门每周只保证供应谷物饲料25000kg,大豆供应量不限,问应如何搭配两种饲料,才能使喂养成本最低,建立该问题的数学模型。
解:
设每周用大豆x1公斤,谷物x2公斤,数学模型为
图解最优解x1=9333.33, x2=23333.33,最小值z*=16333.33。
3.一家昼夜服务的饭店,24小时内需要服务员的人数如下
每个服务员每天连续工作8小时,且在表中时段开始上班,试求要求满足以上要求的最少上班人数,建立该问题的数学模型。
解:
设在j钟点上班的人数为xj(j=1,2,…,6),上班之后连续工作8小时,下班离开,每班中间不允许交接班离开。
故有
4人
8人
10人
7人
12人
4人
2~6时x1
6~10时x2
10~14时x3
14~18时x4
18~22时x5
22~2时x6
据题意有
2~6时 x1 +x6≥4
6~10时 x1+x2+ ≥8
10~14时 x2+x3 ≥10
14~18时 x3+x4 ≥7
18~22时 x4+x5 ≥12
22~2时 x5+x6≥4
minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6
最优解x1=4,x2=10,x4=8,x5=4,其他xj=0,最优值minz=26(人)
4.设有四个投资机会:
甲:
在三年内,投资人应在每年年初投资,每年每元可获利息0.2元,每年取息后可重新将本息投入生息。
乙:
在三年内,投资人应在第一年年初投资,每两年每元可获得利息0.5元,两年后取息,可重新将本息投入生息。
丙:
在三年内,投资人应在第二年年初投资,两年后每元可获得利息0.6元,这种投资最多不得超过15000元。
丁:
投资人应在第三年年初投资,一年内每元投资可获利息0.4元,这种投资不得超过10000元。
假定在这三年为期的投资中,开始时有30000元可供投资,投资人应怎样决定投资,才能在第三年底获得最高的收益,试建立其数学模型。
解:
设xij为第i年初投放到j项目的资金数,其数学模型为:
maxz=1.2x31+1.6x23+1.4x34
x11+x12≤30000
x21+x23≤1.2x11
x31+x34≤1.2x21+1.5x12
x23≤15000
x34≤10000
xij≥0,(i=1,2,3,j=1,2,3,4)
最优解x11=12500,x12=17500,x23=15000,x31=16250,x34=10000,其他为0;最优值z*=57500
5.某一求目标函数最大值的线性规划问题,用单纯形法求解时得到的某一步的单纯形表如下:
问a1,a2,a3,c,d各为何值及变量xj属于那一类性质的变量时:
(1)现有解为唯一最优解。
(2)现有解为最优,但最优解有无穷多个。
(3)存在可行解,但目标函数无界。
(4)此问题无可行解。
答:
1.c<0, d≥0, x3,x4,x5都不是人工变量;
2.c=0, d≥0, a1,a2至少一个大于零,x3,x4,x5都不是人工变量;
3.c>0,d≥0, a1≤0,a2≤0,x3,x4,x5都不是人工变量;
4.c≤0, d>0 且x3,x4,x5至少一个是人工变量。
6.某线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表格如下:
求a,b,…,k,l各个值。
答:
a=3, b=2, c=4, d=-2, e=2, f=3,
g=1, h=0, i=5, j=5, k=-3/2, l=0
7.写出下列线性规划问题的对偶问题:
(1)
答:
(2)
答:
8.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题:
(1)
解:
化成标准形式,列对偶单纯形表
cj
-1-100
b
CB
XB
x1x2x3x4
0
0
x3
x4
-2-110
-1-701
-4
-7
λj=cj-zj
-1-100
0
采用对偶单纯形迭代规则得最优表:
-1
-1
x1
x2
107/131/13
011/13-2/13
21/13
10/13
λj=cj-zj
00-6/13-1/13
31/13
最优解X=(21/13,10/13,0,0),最优值minZ=31/13(maxZ’=-31/13)。
(2)
解:
化成标准形式,列对偶单纯形表
cj
-4-12-1800
b
CB
XB
x1x2x3x4x5
0
0
X4
X5
-10-310
0(-2)-201
-3
-5
λj=cj-zj
-4-12-1800
0
-12
X4
X2
-10(-3)10
0110-1/2
-3
5/2
λj=cj-zj
-40-60-6
-18
-12
X3
X2
1/301-1/30
1/3100-1/2
1
3/2
λj=cj-zj
-200-2-6
最优解X=(0,3/2,1,0,0),
最优值minZ=36(maxZ’=0-(3/2)×12-1×18=-36)。
9.设
(1)写出其对偶问题。
(2)求解对偶问题。
(3)从对偶解中求出原问题的解。
答:
(1)对偶模型
(2)求解对偶问题,图解法。
得Y=(-3,1),w*=-15。
(3)利用互补松弛性求原问题解,由y1,y2异于0,知原约束均为等式;又由对偶约束1,2,4式为严格不等式,故可得x1,x2,x4等于0。
代入原约束方程组,解得x3=3,x5=3,即X*=(0,0,3,0,3)T,最优值z*=-1×3-4×3=-15=w*。
10.从下面最优单纯形表中(最大化问题,约束条件均为“
”连接)
Z=-5
(1)写出原问题与对偶问题的最优解。
(2)求
,
,并解释这两个数值的含义。
(3)如果以代价
增添第一种资源一个单位,是否值得?
(4)若有人原向你购买第三种资源,应要价多少才合算?
(5)是否有其它最优解,如果没有,说明为什么?
如果有,则求出另一个最优解。
解:
(1)原问题最优解X*=(2,0,3/2,0,1,0)T,对偶问题最优解Y*=(4,0,9,0,0,0)。
(2)在最优表上可以得到最优基的逆B-1,
根据最优表上Pj’=B-1Pj,可解得Pj=BPj’,从而得A,
对偶解---单纯形因子
再由检验数 ,可得
解得C=(1,1,2,0,0,0),最优值z*=1×2+0+2×(3/2)=5。
在最优方案时,有
因为b1影子价格大于0,是稀缺资源,故在一定范围内每增加一个单位该种资源就会增加4个单位总收入(影子价格或边际收入为4)。
对
,x6表示第三种资源剩余数量,该偏导数值表示资源剩余量对总收入的影响率。
在初始方案时其值为0,在最佳方案时其值为-9,从另外角度说明引入该资源有利于减少短缺造成的损失或增加收入(影子价格为9)。
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