高二上学期第一次调测考试数学试题.docx
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高二上学期第一次调测考试数学试题
2019-2020年高二上学期第一次调测考试数学试题
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分)
1.已知集合,,则=.
2.数列…的一个通项公式是
3.等差数列
项的和等于
4.数列
,
,
,…,
,…的前n项和Sn=________.
5.若不等式对满足的所有都成立,求实数的取值范围
6.设是等差数列的前n项和,若
7.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b=______
8.若,则函数的值域是
9.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是________.
10.已知等比数列{an}满足a1>0,a1007=2,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2013=.
11.已知实数x,y满足
则目标函数z=x+2y的最小值为________.
12.不等式的解集为,求实数的取值范围是
13.已知f(x)=
,数列{an}满足an=f(an-1)(n>1,n∈N*),且f
(2)=a1,则数列{an}的通项公式an=____
14.设{an}是公比为q的等比数列,其前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a99a100-1>0,
<0,给出下列结论:
①0 二、解答题(本大题共6小题,计90分) 15.(本小题满分14分)记关于的不等式的解集为,不等式的解集为. (1)若,求; (2)若,求正数的取值范围. 16.(本小题满分14分)等比数列{an}中,已知a2=2,a5=16. (1)求数列{an}的通项an; (2)若等差数列{bn},b1=a5,b8=a2,求数列{bn}前n项和Sn,并求Sn的最大值. 17.(本小题满分14分) (1)已知不等式的解集为求不等式的解集. (2)若不等式的解集为,求的取值范围. 18.(本小题满分16分)某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年换掉x套的旧设备. (1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套? (2)依照 (1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备? 下列数据供计算时参考: 1.19≈2.36 1.00499≈1.04 1.110≈2.59 1.004910≈1.05 1.111≈2.85 1.004911≈1.06 19.(本小题满分16分)已知函数f(x)= (a、b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4; (1)求函数f(x)的解析式; (2)设k>1,解关于x的不等式f(x)< . 20.(本小题满分16分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=pan-2n,n∈N*,其中常数p>2. (1)证明: 数列{an+1}为等比数列; (2)若a2=3,求数列{an}的通项公式; (3)对于 (2)中数列{an},若数列{bn}满足bn=log2(an+1)(n∈N*),在bk与bk+1之间插入2k-1 (k∈N*)个2,得到一个新的数列{cn},试问: 是否存在正整数m,使得数列{cn}的前m项的和Tm=2013? 如果存在,求出m的值;如果不存在,说明理由. 如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题答题纸 一填空题: 1.2.3.4.5. 6.7.8.9.10. 11.12.13.14. 15题: 班级姓名学号 姓名 学号 16题 17题: 18题: 19题 20题: 如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题(理科加试) 21.(本小题满分10分)已知数列的通项公式,如果, 求数列的前项和。 班级姓名学号 22.(本小题满分10分)已知矩阵,向量. (Ⅰ)求的特征值、和特征向量、;(Ⅱ)计算的值. 23.(本小题满分10分)矩阵与变换设矩阵(其中a>0,b>0). (I)若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-1;(II)若曲线C: x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’: ,求a,b的值. 24.(本小题满分10分)已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项和,a1,2a7,3a4成等差数列.(Ⅰ)证明12S3,S6,S12-S6成等比数列;(Ⅱ)求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2. xx年如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题答案 1.,2、,3、99,4、 - - , 5.,6.17、-3,8.,9.(-∞,-2)∪(3,+∞) , 10.xx,11.-3,12.,13. 14.①③④ 15.解: (1)由,得.……6分 (2).……8分 由,得,……10分 又,所以,即的取值范围是.……14分 16.解 (1)由a2=2,a5=16,得q=2,解得a1=1, 从而an=2n-1.……6分 (2)由已知得b1=16,b8=2,又b8=b1+(8-1)d,解得d=-2, 所以Sn=nb1+ d=16n+ (-2) =-n2+17n,……10分 由于Sn=- 2+ ,n∈N*, 所以Sn的最大值为S8=S9=72.……14分 17.解 (1)不等式的解集为……7分 (2)为二次函数, 二次函数的值恒大于零,即的解集为. ,即,解得: 的取值范围为……10分 又当适合,综上所述: 2≤m<6……12分 当不等式的解集为时, m≥或m<2……14分 18.解 (1)10年后学生人数为b(1+4.9‰)10=1.05b.……2分 又设今年起学校的合格实验设备为数列 , 则a1=1.1a-x,an+1=1.1an-x,(*) 令an+1+λ=1.1(an+λ),则an+1=1.1an+0.1λ,与(*)式比较知λ=-10x, 故数列 是首项为1.1a-11x,公比为1.1的等比数列, 所以an-10x=(1.1a-11x)·1.1n-1,……6分 an=10x+(1.1a-11x)·1.1n-1.……8分 a10=10x+(1.1a-11x)·1.19≈2.6a-16x. 由题设得 =2× ,解得x= a.……11分 即每年更换旧设备为 a套.……12分 (2)全部更换旧设备需 a÷ =16年.……15分 即按此速度全部更换旧设备需16年.……16分 19.解 (1)将x1=3,x2=4分别代入方程 -x+12=0, 得 解得 ……7分 所以f(x)= (x≠2).……8分 (2)不等式即为 < ,可化为 <0,即(x-2)(x-1)(x-k)>0.……10分 ①当1<k<2时,解集为x∈(1,k)∪(2,+∞); ②当k=2时,不等式为(x-2)2(x-1)>0, 解集为x∈(1,2)∪(2,+∞); ③当k>2时,解集为x∈(1,2)∪(k,+∞).……16分 20. (1)证明: 因为2Sn=pan-2n,所以2Sn+1=pan+1-2(n+1),所以2an+1=pan+1-pan-2, 所以an+1= an+ ,所以an+1+1= (an+1), 因为2a1=pa1-2,所以a1= >0,所以a1+1>0, 所以 = ≠0,所以数列{an+1}为等比数列.……6分 (2)由 (1)知an+1= n,所以an= n-1, 又因为a2=3,所以 2-1=3,所以p=4或p= (舍去),所以an=2n-1.……10分 (3)由 (2)得bn=log22n,即bn=n(n∈N*),数列{cn}中,bk(含bk项)前的所有项的和是: (1+2+3+…+k)+(20+21+22+…+2k-2)×2= +2k-2, 当k=10时,其和是55+210-2=1077<2013, 当k=11时,其和是66+211-2=2112>2013, 又因为2013-1077=936=468×2,是2的倍数, 所以当m=10+(1+2+22+…+28)+468=989时,Tm=xx, 所以存在m=989使得Tm=2013.……16分 如东县掘港高级中学高二数学第一次调测考试试题加试答案 21解.……10分 22.解(Ⅰ)矩阵的特征多项式为 得, 当,当. ……5分 (Ⅱ)由得 由 (2)得: ……10分 23.解: (I)设矩阵M的逆矩阵,则 又,所以, 所以 故所求的逆矩阵……5分 (II)设曲线C上任意一点, 它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点, 则 又点在曲线上, 所以,, 则为曲线C的方程, 又已知曲线C的方程为 又……10分 24.(Ⅰ)证明: 由a1,2a7,3a4成等差数列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.变形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以q3=-或q3=1(舍去)由 ==1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比数列.……5分 (Ⅱ)解法: Tn=a1+2a4+3a7+…+na3a-2=a+2aq3+3aq6+…+naq3(n-2),即Tn=a+2·(-)a+3·(-)2a+…+n·(-)n-1a.① ①×(-)3a得: -Tn=-a+2·(-)2a+3·(-)3a+…+n·(-)na② ①-②有: Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+…(-)n-1a-n·(-)na=-n·(-)na =a-(+n)·(-)na.所以Tn=·(-)na.……10分
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