专题05与角平分线垂线等腰三角形相关辅助线添加题型解读.docx
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专题05与角平分线垂线等腰三角形相关辅助线添加题型解读
专题05与角平分线、垂线、等腰三角形相关辅助线添加题型解读
—、基础知识点综述
△ABC为等腰三角形,AB=AC,
利用平行线构造等腰三角形
DE△BC,FG△BC,则△ADE,AAFG是等腰三角形•
一线三直角构造全等三角形
△CMABD="=90°C、
B、E三点共线,AB=BDUAABC△△BDE;
△C=^EAD=90°C、A、
E三点共线,DEAAB,AB=DEUMBC△△DEA;
过角平分线上点向角两边作垂线段
二、典型例题解析
题型一:
利用角平分线性质解题题型
例1.(2019深圳期中)如图,在AABC中,ABAC=40°,AACB=60°,D为AABC外一点,DA平分ABAC,
△CBD=50°求△DCB的度数.
【答案】见解析•
【解析】解:
如图,过D作DHAAB于H,DEAAC于E,DFABC于F,
△△DBCMDBH,
△DF=DH,
△DA平分ACAB,DHAAB,DEAAC,
△DE=DH,
△DE=DF,
△CD平分△BCE,
△△QCB=120°
△△DCB=60°.
题型二:
一线多用
例2.(2017北京中考)在等腰直角△ABC中,△ACB=90°点P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH△AP于点H,交直线AB与点M。
(1)若厶FAC=a,求△AMQ的大小(用含a的式子表示)
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明•(可用结论:
等腰直角三角形斜边长等于腰
长的2倍.)
【解析】解:
(1)△AMQ=45°+a理由如下:
△△AC=a△ACB是等腰直角三角形,
△△3AC=^B=45°^FAB=45°a,
△QH△AF,
△△AHM=90°
△△AMQ=180°-△AHM-^FAB=45°+
(2)如图,连接AQ,过M作ME△BC于E,
△AC^FQ,QC=FC,
△△QAC=^FAC=a,
△△QAM=45°aMAMQ,
△AF=AQ=QM,
△△AFC△△QME,
△FC=ME,
由AMEB是等腰直角三角形,
得丄PQ2MB,
22
即FQ=2MB.
例3.(2019河南平顶山周练)在AABC中,△BAC=90°,AB=AC,BD平分△ABC,过C作CE丄BD,交BD延长线于E,AF△BD于F,求证:
BD=2CE.
A
【答案】见解析
【解析】证明:
如图,延长BA,CE交于点H,
△BE△CH,
△△3ECMBEH=90°
△BE平分△ABC,
△△HBEMCBE,
△BE=BE,
△△BEH△△BEC,
△CE=EH,CH=2CE,
△△3ADMCAH=90°
△△H+AACH=90°,△H+AABD=90°,
△△ACH=AABD,
△AB=AC,
△△ABD△△ACH,
△BD=CH=2CE.
例4.如图所示,线段AB、CD交于点E,且AB△BD于B,AC△CD于C.
(1)如图1,若AB=CD,△D=30°探究线段DE与CE的数量关系,并说明理由
(2)如图2,若AB=BD,△D=22.5°探究线段DE与AC的数量关系,并说明理由
C
图1
C
A
B
图2
【答案】见解析
【解析】证明:
(1)DE=2CE,
连接AD,如图,
△ABABD,ACACD,
△△C=AB=90°
在RtAADC和RtADAB中,
AAB=CD,AD=AD,
△RtAADCARtADAB,
AAC=BD,
△ABDE=30°
△ABED=ACEA=60°ACAE=30°DE=2BE,
△△ACE△△DBE,
△AE=DE,CE=BE,
△DE=2CE.
(2)连接AD,延长DB,AC交于点H,
A
△AB=BD,AABD=90°
△△DBA=ABAD=45°
△△3DE=22.5;
△△CDA=22.5;
△AC^CD,
△△ACDMDCH=90°
△CD=CD,
△△ACD△△HCD,
△AH=2AC,
△△CAE+^CEA=90°^BDE+^DED=90°△CEAMDEB,
△△CAEMBDE,
△AB=BD,AABD=^EBD=90°
△△ABH△△DBE,
△DE=AH=2AC.
题型三:
一线三直角
例5.(2019广东期末)如图,已知等腰直角AABC中,AB=AC,△BAC=90°点A,B分别在x轴、y
轴上,点C的坐标为(6,2),求A点、B点坐标.
【解析】解:
过点C作CH△轴于H,
△△:
HA=AAOB=ABAC=90°
△△CAH+AACH=90°△CAH+ABAO=90°
△△ACHMBAO,
△AB=AC,
△△ABO△△CAH,
△CH=OA=2,OB=AH=OH—OA=4,
即A(2,0),B(0,4).
例6.(2018柘城实验中学月考)如图1,在平面直角坐标系中,A2,0,B0,3,C3,0,D0,
(1)求证:
AB=CD,AB△CD;
(2)如图2,以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABE,过点E作EF△x轴于点F,求点F的坐标;
(3)如图3,若点P为y轴正半轴上一动点,以AP为直角边作等腰直角三角形APQ,点Q在第一象限,△APQ=90°,QR△x轴于点R,当点P运动时,OP—QR的值是否发生变化?
若不变,求出其值;若变
化,请说明理由。
【答案】见解析
【解析】解:
(1)证明:
由题意知,
OA=2,OB=3,OC=3,OD=2,
即OA=OD,OB=OC,
△△AOBMCOD=90°
△△AOB△△DOC,
△AB=CD,△OCD=AABO,
延长CD交AB于H,
△△3AO+MBO=90°
△△BAO+^OCD=90°
即△CHA=90°
△AB△CD.
(2)△△AEB是等腰直角三角形,
△AB=AE,△EAB=90°
△AEAF+ABAO=90°,
△△EAF+AAEF=90°
△△3AO=AAEF,
△AEFA=^AOB=90°°
△△AEF△△BAO,
△AF=OB=3,
△OF=5,即F(-5,0).
(3)OP—QR=2,理由如下,过点Q作QGAy轴于G,
△△APQ是等腰直角三角形,AAPQ=90°°
△AP=PQ,AAPO+^QPG=90°°
△△APO+^PAO=90°,
△△QPGMPAO,
△△AOPMQGP=90°
△△APO△△PQG,
△OA=PG=2,
△QR4轴,
△QR=OG,
△OP—QR=OP—OG=PG=OA=2.
例7.如图,在四边形ABCE中,AB=BC,ABABC,CEAAE,BDAAE.
猜想线段BD、CE、AD之间的数量关系,并说明理由.
【答案】见解析
【解析】解:
BD-CE=AD,理由如下,过C作CF△BD于F,
△AB△BC,CF△BD,
△△ABC=90°△CFB=90°
△△ABD+ACBF=90°△BCF+ACBF=90°
△△ABDMBCF,
△AB=BC,
△△ABD△△BCF,
△AD=BF,
△CE△AE,BD△AE,
△AE=90°ABDE=90°
△四边形DECF是矩形,
△CE=DF,
△BD—DF=BF,
即BD-CE=AD.
题型四:
通过平行线构造等腰三角形
例&如图,等边AABC中,D是AC上,延长BC至E,使CE=AD,连接DB,DE,DF△BC于F。
(1)如图1,若D是AC的中点,求证:
DB=DE,BF=EF
(2)如图2,若点D是边AC上的任意一点,BF=EF是否仍然成立?
请证明你的结论;
(3)如图3,若点D是边AC的延长线上的任意一点,其它条件不变,
(2)中结论是否仍然成立?
画
图并证明你的结论•
【答案】见解析
【解析】解:
(1)证明:
△△ABC是等边三角形,
△AB=BC,AACB=60°
△D是AC中点,
△AD=CD,BDAAC,△ABD=ACBD=30°
△CE=AD,
△CE=CD,
△△EMCDE=30°
△△EMDBC,
△BD=DE,
△DF△BE,
△BF=EF;
(2)过D作DH△BC交AB于H,
△△ADH=AAHD=AA=60°
△BHDMDCE=120°
即AADH是等边三角形,AD=DH=AH,
△BH=DC,
△CE=AD,
△CE=DH,
△△BDH△△DEC,
△BD=DE,
△DF△BE,
△BF=EF.
(3)过D作DH△BC交AB延长线于H,
△△ABC是等边三角形,DH△BC,
△△ADH=AAHD=AA=60°
△BHDMDCE=60°
即AADH是等边三角形,AD=DH=AH,
△AH—AB=AD—AC,即卩BH=CD,
△CE=AD,
△CE=DH,
△ABDH△△DEC,
△BD=DE,
△DF△BE,
△BF=EF.
例9.如图,在等边三角形ABC中,AB=10,动点P从点A出发向点C运动,Q从点B出发以相同的
速度沿CB的延长线运动,连接PQ交AB于点E,作PDAAB于D,试探究线段DE的长度是否发生变化,
若不变化,求出该值,若变化,说明理由
【答案】见解析•
过P作PH△BC交AB于H,
【解析】解:
DE的长度不变,DE=5,理由如下,
△△ABC是等边三角形,
△△AmCMABC=60°AB=AC=BC,
△PH△BC,
△△AHP=AAPH=60°△HPEMBQE,
△△AHP是等边三角形,AH=AP=PH,
△P、Q速度相同,
AAP=BQ,
△BQ=PH,
△△QE△△HPE,
△EH=BE,
△
PD△AH,
△APH是等边三角形,
△AD=DH,
人1
△DE=DH+EH=—AB=5.
2
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