高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明64合情推理与演绎推理课时提升作业理Word文档下载推荐.docx
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a(x2-x1),下列结论中正确的是 ( )
A.若f(x)∈,g(x)∈,则f(x)·
g(x)∈
B.若f(x)∈,g(x)∈,且g(x)≠0,则∈
C.若f(x)∈,g(x)∈,则f(x)+g(x)∈
D.若f(x)∈,g(x)∈,且a1>
a2,则f(x)-g(x)∈
【解题提示】对于-a(x2-x1)<
a(x2-x1).变形有-a<
<
a,令k=,又f(x)∈,g(x)∈,利用不等式的性质可得f(x)+g(x)∈.从而得出正确答案.
【解析】选C.对于-a(x2-x1)<
a(x2-x1),
即有-a<
a,令k=,
有-a<
k<
a,又f(x)∈,g(x)∈,
即有-a1<
kf<
a1,-a2<
kg<
a2,因此有-a1-a2<
kf+kg<
a1+a2,
因此有f(x)+g(x)∈.
4.给出下列三个类比结论:
①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;
②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;
③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·
b+b2.
其中正确结论的个数是 ( )
A.0B.1C.2D.3
【解析】选B.(a+b)n≠an+bn(n≠1,a·
b≠0),故①错误.sin(α+β)=sinαsinβ不恒成立,
如α=30°
β=60°
sin90°
=1,sin30°
·
sin60°
=,故②错误.
由向量的运算公式知③正确.
5.(2015·
广东高考)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<
s≤4,0≤q<
s≤4,0≤r<
s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<
u≤4,0≤v<
w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则card(E)+card(F)= ( )
A.50B.100C.150D.200
【解析】选D.当s=4时,p,q,r都是取0,1,2,3中的一个,有4×
4×
4=64种,当s=3时,p,q,r都是取0,1,2中的一个,有3×
3×
3=27种,当s=2时,p,q,r都是取0,1中的一个,有2×
2×
2=8种,当s=1时,p,q,r都取0,有1种,所以card=64+27+8+1=100.当t=0时,u取1,2,3,4中的一个,有4种,当t=1时,u取2,3,4中的一个,有3种,当t=2时,u取3,4中的一个,有2种,当t=3时,u取4,有1种,所以t,u的取值有1+2+3+4=10种,同理,v,w的取值也有10种,所以card=10×
10=100,所以card+card=100+100=200.
【加固训练】1.我国的刺绣有着悠久的历史,如图所示中的
(1)
(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.则f(n)的表达式为 ( )
A.f(n)=2n-1 B.f(n)=2n2
C.f(n)=2n2-2nD.f(n)=2n2-2n+1
【解析】选D.我们考虑f
(2)-f
(1)=4,f(3)-f
(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,结合图形不难得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f
(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.
2.(2014·
北京高考)有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A同学每科成绩不低于B同学,且至少有一科成绩比B高,则称“A同学比B同学成绩好”.现有若干同学,他们之中没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生
( )
A.2B.3C.4D.5
【解析】选B.用D,E,F分别表示优秀、合格和不合格.显然语文成绩得D的学生最多只有1个,语文成绩得E的也最多只有1个,得F的也最多只有1个,因此学生最多只有3个.显然,(DF),(EE),(FD)满足条件,故学生最多3个.
3.下列推理是归纳推理的是 ( )
A.若A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>
|AB|,则P点的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.选项A是演绎推理,选项C,D是类比推理.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·
黄山模拟)观察下列等式:
13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第n个等式为 .
【解析】观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13+23+…+n3==.
答案:
13+23+…+n3=
【加固训练】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;
类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )
A.289 B.1024
C.1225 D.1378
【解析】选C.观察三角形数:
1,3,6,10,…,记该数列为{an},
则a1=1,
a2=a1+2,
a3=a2+3,
…
an=an-1+n.
所以a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)⇒an=1+2+3+…+n=,
观察正方形数:
1,4,9,16,…,记该数列为{bn},则bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1225.
7.(2016·
襄阳模拟)在平行四边形ABCD中有AC2+BD2=2(AB2+AD2),类比这个性质,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有A+B+C+D= .
【解题提示】根据平行六面体的性质,可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形,多次使用已知条件中的定理,再将所得等式相加,可以计算出正确结论.
【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形,
因此,在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2)…①;
在平行四边形ACC1A1中,A1C2+A=2(AC2+A)…②;
在平行四边形BDD1B1中,B1D2+B=2(BD2+B)…③;
②、③相加,得A1C2+A+B1D2+B=2(AC2+A)+2(BD2+B)…④
将①代入④,再结合AA1=BB1得,A+B1D2+A1C2+B=4(AB2+AD2+A)
4(AB2+AD2+A)
【加固训练】观察下列几个三角恒等式:
①tan10°
tan20°
+tan20°
tan60°
+tan60°
tan10°
=1;
②tan5°
tan100°
+tan100°
tan(-15°
)+tan(-15°
)tan5°
③tan13°
tan35°
+tan35°
tan42°
+tan42°
tan13°
=1.
一般地,若tanα,tanβ,tanγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 .
【解析】所给三角恒等式都为tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1的结构形式,且α,β,γ之间满足α+β+γ=90°
所以可猜想当α+β+γ=90°
时,
tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.
当α+β+γ=90°
时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1
8.已知数列{an}为等差数列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则am+n=.类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>
0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到bm+n= .
【解析】设数列{an}的公差为d1,则d1==.
所以am+n=am+nd1=a+n·
=.类比推导方法可知:
设数列{bn}的公比为q,由bn=bmqn-m,可知d=cqn-m,所以q=,
所以bm+n=bmqn=c·
=.
【一题多解】本题还可以采用如下解法:
(直接类比)设数列{an}的公差为d1,数列{bn}的公比为q,因为等差数列中an=a1+(n-1)d1,等比数列中bn=b1qn-1,
因为am+n=,所以bm+n=.
(15分钟 30分)
1.(5分)观察下式:
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
据此你可归纳猜想出一般结论为 ( )
A.1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)
B.1+3+5+…+(2n+1)=n2(n∈N*)
C.1+3+5+…+(2n-1)=(n+1)2(n∈N*)
D.1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*)
【解析】选D.观察可见第n行左边有n+1个奇数,右边是(n+1)2.
2.(5分)命题p:
已知椭圆+=1(a>
b>
0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题q:
已知双曲线-=1(a>
0,b>
0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2的 的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.
【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,从而OM∥F1Q且|OM|=|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|
+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.
内角平分线
3.(5分)(2016·
黄冈模拟)观察下列等式:
①cos2α=2cos2α-1;
②cos4α=8cos4α-8cos2α+1;
③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;
④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;
⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.
可以推测,m-n+p= .
【解析】m=128×
4=512;
p=10×
5=50,根据系数和等于1,可以求出n=-400.
962
(2016·
武汉模拟)在计算“1×
2+2×
3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:
先改写第k项:
k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],
由此得1×
2=(1×
3-0×
1×
2),
3=(2×
4-1×
3),
……
n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].
相加,得1×
3+…+n(n+1)
=n(n+1)(n+2).
类比上述方法,请你计算“1×
3+2×
4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果是
(结果写成关于n的一次因式的积的形式).
【解析】先改写第k项:
k(k+1)(k+2)=[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],由此得1×
3=(1×
4-0×
4=(2×
5-1×
4),……,
n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)·
(n+2)],相加得1×
4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3).
n(n+1)(n+2)(n+3)
4.(15分)已知椭圆具有性质:
若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线-=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.
【解析】类似的性质为:
若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.
证明如下:
设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则N(-m,-n).
因为点M(m,n)在已知双曲线上,
所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.
则kPM·
kPN=·
==·
=(定值).
【加固训练】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°
+cos217°
-sin13°
cos17°
;
②sin215°
+cos215°
-sin15°
cos15°
③sin218°
+cos212°
-sin18°
cos12°
④sin2(-18°
)+cos248°
-sin(-18°
)cos48°
⑤sin2(-25°
)+cos255°
-sin(-25°
)cos55°
.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.
(2)根据
(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
【解析】
(1)选择②式,计算如下:
sin215°
=1-sin30°
(2)归纳三角恒等式sin2α+cos2(30°
-α)-sinαcos(30°
-α)=.
sin2α+cos2(30°
-α)
=+-sinα(cos30°
cosα+sin30°
sinα)
=-cos2α++(cos60°
cos2α+sin60°
sin2α)-sinαcosα-sin2α
=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)
=1-cos2α-+cos2α=.
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- 高考 数学 一轮 复习 第六 不等式 推理 证明 64 合情 演绎 课时 提升 作业
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