34两个重要的极限Word文件下载.docx
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limg(x)B.例2设limf(x)A,
(1)若在某U0(x0)内有f(x)g(x),问是否有AB?
为什么?
(2)证明:
若AB,则在某U0(x0)内有f(x)g(x).
2、质5-性质6(迫敛性、四则运算)常用于计算.
2(sinxcosxx)2P51:
1、
(1)lim
x
2
2
;
x21
1;
(2)lim2
x02xx1x212
;
(3)lim2
x12xx13
(4
)x4
4
3(3x6)70(8x5)20370820
(5)lim.9090x(5x1)52、lim
xsinx
0.
xx24sinx
1.
x0x
例lim
二、关于归结原则(Heine定理)
(一)定理的内容
(二)定理的意义(三)定理的用途
1、明极限不存在,如limx0sin1
x
的极限不存在;
2、用数列极限的性质证明函数极限的性质.
(1)证明函数极限的唯一性.
(2)证明函数极限四则运算.(3)证明单调有界定理.3、用函数极限求数列极限.
(1)nlimnsin
1
n.
11
(2)nlim(1
nn2).
4、结原则有不同的叙述(在不同的极限形式下),要注意灵活应用.
三、关于单调有界定理
(一)内容.
(二)意义.
四、关于Cauchy准则
(一)内容
(二)意义(三)用途
1、明limx
f(x)存在;
2、明1
xlim
f(x)不存在.如xlim
sin
.证明中用到归结原则,数列极限的Cauchy准则.
一、lim
sinx
1的证明
在单位圆盘D{(x,y)|x2y2
1}上,x是圆心角AOB,以弧度计,即它恰好等于AB
而
sinxBC是弦长BB之半,它的几何意义是
sinx2sinxBB1(x0)
x2xBB,
即圆心角趋于0时,对应的弦长与弧长之比趋于1.
证明设
0x
2,AOB面积扇形AOB面积AOD面积,即
111sinx
sinxxtgxcosx1222x,,
用偶函数性质,这不等式在
令x0,x0
x0
时也成立.
lim
limcosx1
1
x0x,两边夹得出.
推论xR,sinxx,等号成立当且仅当x0.
sinx|sinx|1x0x
|x|2显然成立,而x0时等号成立,且只2时,x证明,当
有x0时等号成立.二、lim
1的应用
1cosx
例1求x0x.
解x
2sin2
x1(sin)2
t2
x22,则
x,令
1cosx1sint21lim()t02t0;
故有x0x2t2.
例2求xx.
解令tx,则sinxsin(t)sint;
且当x时t0,
sinxsint
lim1
xxt0t故.
sinmx
例3求x0sinnx(n0,x0).
证明当m0时
sinmxmxm
sinnxsinnxnn
nx;
m
当m0时原式0.
limnsin1,直接利用limsinx1是不严注利用归结原则,可求数列极限.如求lim
x0nn1xn
n
sinx
1,故取xn,(n1,2,,则)格的;
但已知lixn0(n),从而由归结原则
x0xn
1limf(xn).0nnn
1三、证明lim1e或lim1e.
0x
x
证明先证x情况,当x1时,有
1
111
11[x]1x[x].1x11
)
(1)x
(1)x
[x]1x[x],
(1
1[x]11
)
(1)x
(1)[x]1
[x]1x[x]
e
e
lim
(1)xe
x所以x.
再证x情况,令xy,y,
xlim(11x)xylim(11y)yylim1y11
(1y1)(1y1)e由极限与单侧极限关系定理,得limx(11
x)xe
.
t
推论limt0
(1t)e
证明令t
x,即得.
四、应用
1例1求limx0
(12x)
12解令u2x,则x
u;
且当x0时u0(x0时u0),
12xu
因此,limx0(12x)lim0(1u)lim1
u0[(1u)u]2e2
u.
1x
例2求limx0
(1x)
解令xu,则当x0时u0,
1limx)x
lim1u
1因此,x0
(1u(1u)
limu0[(11u)u]1
例3求xlim(
2x1x
2x3).
解
(
2x1)x
12x3
(121
x12x1)(1x2)x
lim1x(1
x2)xlimx(11x2)x2(11x2)
e1e
,
故原式
1e.
limf(x)A0
limf(x)B
也可利用以下结论:
xa,xa,则xa
limf(x)g(x)AB
2x1x2x2()
(1)[
(1)2x32x32x3
11n
).nn2
2x32x
2x32
]
e1
例4求lim(1
n
1n
练习P394
(1)为递增数列.
n1
1
P399
(1)n1为为递减数列.
P552设f为定义在[a,)上的增(减)函数,证明:
limf(x)存在f在[a,)
x
上有上(下)界.
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