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P在左支)1
22xxyyxy00,,1,,15.若在双曲线(a,0,b,0)上,则过的双曲线的切线方程是.Pxy(,)P00002222abab
22xxyyxy00,,1,,16.若在双曲线(a,0,b,0)外,则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P,则切点弦PP的直线方程是.Pxy(,)12120002222abab
22xy,,17.双曲线(a,0,b,o)的左右焦点分别为F,F,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为,,FPF,121222ab
2Sbco,t.,FPF122
22xy,,1Fc(,0),Fc(,0)8.双曲线(a,0,b,o)的焦半径公式:
(,1222ab
Mxy(,)||MFexa,,||MFexa,,当在右支上时,,.102000
Mxy(,)||MFexa,,,||MFexa,,,当在左支上时,,102000
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N
两点,则MF?
10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A为双曲线实轴上的顶点,AP和AQ交于点M,AP和AQ交于点N,则MF?
2222bxbxxy0011.AB是双曲线(a,0,b,0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。
,1KK(x,y)K,,,00OMABAB2222abayay00
2222xxyyxyxy000012.若在双曲线(a,0,b,0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是.,,1Pxy(,),,,000222222ababab
2222xxyyxyxy0013.若在双曲线,,1(a,0,b,0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.Pxy(,),,,000222222ababab
椭圆与双曲线的对偶性质--
椭圆
2222xyxy,,1,,11.椭圆(a,b,o)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于PP时AP与AP交点的轨迹方程是.Aa(,0),Aa(,0)、121122212222abab
222xybx0,,12.过椭圆(a,0,b,0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).Axy(,)k,00BC222abay0
22xyac,,,tantco,,1,3.若P为椭圆(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F,F是焦点,,,PFF,,,,PFF,,则.12122122ac22,ab
22xy,,1,,FPF,4.设椭圆(a,b,0)的两个焦点为F、F,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在?
PFF中,记,12121222ab
sin,c,,PFF,,,FFP,,,则有,,.e1212,sinsina,,
22xy5.若椭圆(a,b,0)的左、右焦点分别为F、F,左准线为L,则当0,e?
时,可在椭圆上求一点P,使得PF是P到对应准,,121,12122ab
线距离d与PF的比例中项.2
22xy6.P为椭圆(a,b,0)上任一点,F,F为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三,,12||||||2||aAFPAPFaAF,,,,,AFP,,12211222ab
点共线时,等号成立.
22()()xxyy,,22222007.椭圆与直线有公共点的充要条件是.,,1AxByC,,,0AaBbAxByC,,,,()2200ab22xy111122,,1(a,b,0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.
(1);
(2)|OP|+|OQ|的8.已知椭圆OPOQ,,,,222222ab||||OPOQab
22224abab最大值为S;
(3)的最小值是.,OPQ2222ab,ab,22xy||PFe,,19.过椭圆(a,b,0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.,22ab||2MN
222222xyabab,,,,1Px(,0),,,x10.已知椭圆(a,b,0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.0022abaa
222xy2b,,1,,,FPF,||||PFPF11.设P点是椭圆(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点记,则
(1).
(2)12121222,ab,1cos
2Sb,tan.,PFF122
22xy,,PAB,12.设A、B是椭圆(a,b,0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,,,,c、e分别是椭圆的半焦距,,1,,PBA,,,BPA,22ab2222ab2|cos|ab,2离心率,则有
(1).
(2).(3).,,Scot,tantan1,,,,e||PA,PAB22222,ba,accos,
22xylClBCx,13.已知椭圆(a,b,0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且E,,122ab
轴,则直线AC经过线段EF的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
离心率).16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e((注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
22xy1.双曲线(a,0,b,0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于PP时AP与AP交点的轨迹方程是,,1Aa(,0),Aa(,0)、1211222122ab
22xy.,,122ab
222xybx02.过双曲线,,1(a,0,b,o)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且Axy(,)k,,00BC222abay0
(常数).
22xyca,,,anttco,,13.若P为双曲线(a,0,b,0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F,F是焦点,,,则,,,PFF,,,PFF,12122122ca22,ab
ca,,,tantco,(或).ca22,
22xy,,14.设双曲线(a,0,b,0)的两个焦点为F、F,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在?
PFF中,记,,,FPF,12121222ab
sin,c,,PFF,,,FFP,,,则有.,,e1212,,(sinsin)a,,
22xy,,121,5.若双曲线(a,0,b,0)的左、右焦点分别为F、F,左准线为L,则当1,e?
时,可在双曲线上求一点P,使得PF是12122ab
P到对应准线距离d与PF的比例中项.2
22xy6.P为双曲线(a,0,b,0)上任一点,F,F为二焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点,,1||2||||AFaPAPF,,,AFP,,1221222ab
共线且和在y轴同侧时,等号成立.PAF,2
22xy222227.双曲线(a,0,b,0)与直线有公共点的充要条件是.,,1AaBbC,,AxByC,,,022ab
22xy8.已知双曲线,,1(b,a,0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且.OPOQ,22ab22224abab111122
(1);
(2)|OP|+|OQ|的最小值为;
(3)的最小值是.S,,,,OPQ22222222ba,ba,||||OPOQab
22xy||PFe,,19.过双曲线(a,0,b,0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.,22ab||2MN
2222xyab,,,1x,10.已知双曲线(a,0,b,0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或Px(,0)0022aab
22ab,x,,.0a
222xy2b,,1,,,FPF,||||PFPF11.设P点是双曲线(a,0,b,0)上异于实轴端点的任一点,F、F为其焦点记,则
(1).
(2)12121222,ab,1cos
2Sb,cot.,PFF122
22xy,,PAB,,,112.设A、B是双曲线(a,0,b,0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,,,,c、e分别是双,,PBA,,,BPA,22ab
22|cos|ab,曲线的半焦距离心率,则有
(1),.||PA222,|s|acco,
222ab2
(2).(3).,,Scottantan1,,,,e,PAB22,ba
22xylCl13.已知双曲线(a,0,b,0)的右准线与x轴相交于点,过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线EF,,122ab
BCx,上,且轴,则直线AC经过线段EF的中点.
14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:
在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
圆锥曲线问题解题方法
圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解
题,还须掌握一些方法和技巧。
一.紧扣定义,灵活解题
灵活运用定义,方法往往直接又明了。
2y2例1.已知点A(3,2),F(2,0),双曲线,,1,P为双曲线上一点。
x3
1||||PAPF,求的最小值。
2
解析:
如图所示,
1||PF双曲线离心率为2,F为右焦点,由第二定律知即点P到准线距离。
?
2
15?
,,,,,||||||||PAPFPAPEAM22
二.引入参数,简捷明快
参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。
l例2.求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
l解:
取如图所示的坐标系,设点F到准线的距离为p(定值),椭圆中心坐标为M(t,0)(t为参数)
2b,而?
p,ct,c
2?
,bpcpt
再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y),则
xct,,,,,ybpt,,,,
2消去t,得轨迹方程ypx,
三.数形结合,直观显示
将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。
熟练的使用它,常
能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
y,322m,例3.已知,且满足方程,又,求m范围。
xyR,,xyy,,,30()x,3
y,322?
m,解析:
的几何意义为,曲线上的点与点(,3,,3)连线的斜率,如图所示xyy,,,30()x,3
kmk,,PAPB
33,35,?
,m22
四.应用平几,一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。
22例4.已知圆和直线的交点为P、Q,则的值为________。
ymx,||||OPOQ,()xy,,,34
解:
,OMPOQN~
||||||||OPOQOMON,,,,5
五.应用平面向量,简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
22xyxy2,,1lll例5.已知椭圆:
,直线:
,,1,P是上一点,射线OP交椭圆于一点R,点Q在OP上且满足,当点P在上移动时,求点||||||OQOPOR,,2416128
Q的轨迹方程。
分析:
考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
,,,,,,,,,
OQOROP,,OROQ,,OPOQ,,OQxy,(),ORxy,(),,,OPxy,(),,,解:
如图,共线,设,,,则,
,,2?
||||||OQOPOR,,
,222?
,||||OQOQ,
,,
l点R在椭圆上,P点在直线上?
2222xy,,,,xy1?
,,,,,11282416
22xyxy,,,即2416128
化简整理得点Q的轨迹方程为:
22()()xy,1,12,,1yx,,(直线上方部分)553
23
六.应用曲线系,事半功倍
利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。
所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。
2222xy,,,40例6.求经过两圆和的交点,且圆心在直线上的圆的方程。
xyx,,,,640xyy,,,,6280
设所求圆的方程为:
2222xyxxyy,,,,,,,,646280,()
22()()()11662840,,,,,,,,,,,,xyxy
,3,3则圆心为,在直线上(),xy,,,40,,1,1,
,,7解得?
22故所求的方程为xyxy,,,,,7320
七.巧用点差,简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。
2y2例7.过点A(2,1)的直线与双曲线,,1相交于两点P、P,求线段PP中点的轨迹方程。
x12122
设,,则Pxy(),Pxy(),111222
2,y21,,,,11x,1,2,2y2,2,,,,12x2,2,
<
2>
<
1>
得
,()()yyyy2112,,,()()xxxx21122
yy,2()xx,2112即,xx,yy,2112
设PP的中点为,则Mxy(),1200
yyx,2210k,,PP12xxy,210
y,10k,又,而P、A、M、P共线12AMx,20
y,12x00?
kk,即,PPAM12x,2y00
22中点M的轨迹方程是?
PP240xyxy,,,,12
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.
,,,,,例1已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t(0<
t<
1),以AB为直腰作直角梯形,使垂直且等于AT,使垂直且等于BT,交AABBAABBAB半圆于P、Q两点,建立如图所示的直角坐标系.
,
(1)写出直线的方程;
(2)计算出点P、Q的坐标;
AB
(3)证明:
由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q.
'
讲解:
通过读图,看出点的坐标.A,B
‘,,
(1)显然,于是直线,,,,A1,1,tB,1,1,t,AB
的方程为;
y,,tx,1
2,,,1,xy222t1,tQ,(,)
(2)由方程组解出P(0,1)、;
221,t1,t,,,1,ytx,2t,1,202t,t111,01,1kk,,,(3),.QTPT,,,2tttttt2(,)10,t,2t,1由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q.
需要注意的是,Q点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗?
22xy例2已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程(,,1(a,b,0)22ab
ll讲解:
从直线所处的位置,设出直线的方程,
由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为y,kx,m(k,0).
22222222222222代入椭圆方程得bx,ay,ab,bx,a(kx,2kmx,m),ab.
222222222化简后,得关于的一元二次方程x(ak,b)x,2kamx,am,ab,0.
于是其判别式,,(2kam),4(ak,b)(am,ab),4ab(ak,b,m).
2222由已知,得?
=0(即?
ak,b,m.
m在直线方程中,分别令y=0,x=0,求得y,kx,mR(,,0),S(0,m).k
my,,x,,,k,,,,,kx,,令顶点P的坐标为(x,y),由已知,得解得,,y,m.m,y.,,,,,,
22ab代入?
式并整理,得,即为所求顶点P的轨迹方程(,,122xy
22ab方程形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗?
,,122xy
22xy233,,1e,.例3已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是A(a,0),B(0,,b)223ab2
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y,kx,5(k,0)交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.
abab3d,,,.c23xyc2a,b讲解:
(1)原点到直线AB:
的距离.22,,1,,
aba3?
b,1,a,3.
2x2故所求双曲线方程为,y,1.3
2222
(2)把中消去y,整理得.(1,3k)x,30kx,78,0y,kx,5代入x,3y,3
设的中点是,则C(x,y),D(x,y),CDE(x,y)112200
y,1xx,1551k012BExykxk,,,,,,,,,5,.0002221313,,kkxk0
15k5k2,,k,0,又k,0,?
k,7即?
x,ky,k,0,00221,3k1,3k
kk7故所求k=?
.为了求出的值,需要通过消元,想法设法建构的方程.
例4已知椭圆C的中心在原点,焦点F、F在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且?
FPF的最大值为90?
,直线l过左焦点F与椭圆交于A、B两点,?
ABF的面积121212
最大值为12(
(1)求椭圆C的离心率;
(2)求椭圆C的方程(
||,||,||2PFrPFrFFc,,,讲解:
(1)设,对由余弦定理,得,PFF,11221212
1222222222r,r,4c(r,r),2rr,4c4a,4c4a,4c121212,,1,2e,0cos,FPF,,,,1,,112r,r2rr2rr2rr2121212122()2
2解出e,.2
l
(2)考虑直线的斜率的存在性,可分两种情况:
i)当k存在时,设l的方程为„„„„„„?
y,k(x,c)
22xy22222椭圆方程为由得.a,2c,b,c,,1,A(x,y),B(x,y)e,.112222ab2
222于是椭圆方程可转化为„„„„„„?
xyc,,,220
2222将?
代入?
,消去得,yx,2k(x,c),2c,0
22222整理为的一元二次方程,得.x(1,2k)x,4ckx,2c(k,1),0
2222c1,k22c(1,k)2,,则x、x是上述方程的两根(且12|x,x|,|AB|,1,k|x,x|,2121221,2k1,2k也可这样求解:
k||AB边上的高h,FF,BFF,c,||sin2,121221,k1S,|FF|,|y,y|121222,11k|k|,S22c()2c22,212k,1k,c,|k|,|x,x|12
2241||1,,kkkk2222,,,,2222222.cccc224112144,,,kkk4,42kk,
212ii)当k不存在时,把直线x,,c代入椭圆方程得ycABcScc,,,,,,||2,2222
22222由?
知S的最大值为2c由题意得=12所以c,62,b2ca,122
22xy故当?
ABF面积最大时椭圆的方程为:
2,,1.12262下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣:
设过左焦点的直线方程为:
„„„„?
x,my,c
(这样设直线方程的好处是什么,还请读者进一步反思反思.)
22xy椭圆的方程为:
,,1,A(x,y),B(x,y)112222ab
22222222由得:
于是椭圆方程可化为:
„„?
x,2y,2c,0a,2c,b,c,e,.2222把?
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