浅析向量的数量积在几何中的应用.docx
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浅析向量的数量积在几何中的应用
浅析向量的数量积在几何中的应用
王华标(岳西职教中心)
随着高中新课程改革,高中数学教材引入了许多新的内容,比如空间向量,其目的也很明确:
为研究函数、空间图形,提供新的研究手段,即充分体现它们的工具性,关于空间向量的数量积有这样三条性质:
(1),
(2),(3)。
利用这些性质可以解决空间的角度和距离问题,下面就这些方面谈谈向量的数量积的应用.
首先它是空间三大角(即线线角、线面角、二面角的平面角)用向量法求解的“对接点”。
(一)用向量求空间的线线角
我们把这两条线赋予恰当的两个向量,问题就化归为两个向量的夹角(两个向量所成的角的范围为),即,我们能否加以重新认识这个公式呢?
如图,
,此时OB1可以看作是与方向上的单位向量的数量积,这就是由数量积这条性质滋生而成的;故此结论重新可以理解为:
(这里刚好满足三角函数中余弦的定义:
邻边比斜边)。
(二)用向量求空间的线面角
(其中为平面的一个法向量),此结论重新可以理解为:
,此时OP又可以看作是在上的投影,即与方向上的单位向量的数量积,,故(这里刚好满足三角函数中正弦的定义:
对边比斜边)。
(三)用向量求空间的二面角的平面角
=(其中是两二面角所在平面的各一个法向量)此结论重新可以理解为:
(这里刚好满足三角函数中余弦的定义:
邻边比斜边)。
★三大角的统一理解:
、、、
其从上述梳理完全可以看出其本质特征:
这里的“空间角”的求法,完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影,即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积,而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图,学生完全可以达到“系统化”和“自主化”,因为直角三角形中的三角函数定义,他们太熟悉了!
即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”,那学习就会水到渠成!
其次它又是空间三大距离(即点线距、点面距、异面直线间距离)用向量法求解的“联系点”。
空间中有七大距离(除球面上两点间的距离外)基本上可转化为点点距、点线距、点面距,而点线距和点面距又是重中之重!
另外两异面直线间的距离,高考考纲中明确要求:
对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。
因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。
教材按排中引进了向量法来解决距离问题,也给问题的解决带来新的活力!
不用作出(或找出)所求的距离了。
(一)用向量求空间点面距离
(其中为平面的一个法向量),此结论重新可以理解为:
,即在上的投影,即与方向上的单位向量的数量积。
(二)用向量求空间的点线距离
1)如图,若存在有一条与l相交的直线时,就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量,则点P到l的距离。
2)若不存在有一条与l相交的直线时,
我们可以先取l上的一个向量,再利用来解,即:
而数量OB可以理解为在l上的向量的投影,也即为:
。
(三)用向量求异面直线间距离
从这几年的高考《考纲说明》观察,我们不难发现,对异面直线间距离的考查本意不能太难,但若出现难一点的考题,命题者又能自圆其说的新情况。
实际上,这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法:
只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。
那也就是说,在不要作出公垂线(也许学生作不出!
)的情况下,也可以求出它们的距离的!
那就是用向量法!
如图所示:
若直线l1与直线l2是两异面直线,求两异面直线的距离。
略解:
在两直线上分别任取两点A、C、B、D,构造三个向量,记与两直线的公垂线共线的向量为,则由,得,则它们的距离就可以理解为:
在上的投影的绝对值,即:
。
★三大距离的统一理解:
(点面距)、(异面距)、(点线距之一)、
且(点线距之二)、
其本质特征是:
一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影,也即数量积此性质的直接应用。
下面通过例题来说明向量的具体的应用
例1如图,已知长方体
直线与平面所成的角为,垂直于
,为的中点.
(I)求异面直线与所成的角;
(II)求平面与平面所成的二面角;
(III)求点到平面的距离.
解:
在长方体中,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系;
由已知可得,,又平面,从而与平面所成的角为,又,,,从而易得
(I)因为所以
,易知异面直线所成的角为
(II)易知平面的一个法向量,
设是平面的一个法向量,由即
所以
即平面与平面所成的二面角的大小(锐角)为
(III)点到平面的距离,即在平面的法向量上的投影的绝对值,所以距离=所以点到平面的距离为
例2如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、C1的一点,EA⊥EB1,已知AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=,求:
(Ⅰ)异面直线AB与EB1的距离;
(Ⅱ)二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.
解:
(I)以B为原点,、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1,BB1=2,AB=,∠BCC1=,在三棱柱ABC—A1B1C1中有
B(0,0,0),A(0,0,),B1(0,2,0),A1(0,2,)
,设
;
,
则得,(令y=1),故=1
(II)由已知有故二面角A—EB1—A1的两个半平面的法向量为。
。
通过上述例题的分析,我们不难看出:
立体几何中的几何法的“难在找(或作)所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化(方法的转化与知识之间的转化),其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中,从而体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。
参考文献:
1、2009年普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科.数学)
2、2009年普通高等学校招生安徽省统一考试大纲(理科.数学)
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- 浅析 向量 数量 几何 中的 应用