中考数学模型飞镖模型与8字型模型讲课教案Word格式.docx
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中考数学模型飞镖模型与8字型模型讲课教案Word格式.docx
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(1)如图①,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________;
解法一:
利用角的8字模型.如图③,连接CD.∵∠BOC是△BOE的外角,
∴∠B+∠E=∠BOC.∵∠BOC是△COD的外角,∴∠1+∠2=∠BOC.
∴∠B+∠E=∠1+∠2.(角的8字模型),∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E
=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=∠A+∠ACD+∠ADC=180°
.
解法二:
如图④,利用三角形外角和定理.∵∠1是△FCE的外角,∴∠1=∠C+∠E.
∵∠2是△GBD的外角,∴∠2=∠B+∠D.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°
(2)如图②,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________.
(2)解法一:
如图⑤,利用角的8字模型.∵∠AOP是△AOB的外角,∴∠A+∠B=∠AOP.
∵∠AOP是△OPQ的外角,∴∠1+∠3=∠AOP.∴∠A+∠B=∠1+∠3.①(角的8字模型),同理可证:
∠C+∠D=∠1+∠2.②,∠E+∠F=∠2+∠3.③
由①+②+③得:
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=360°
利用角的8字模型.如图⑥,连接DE.∵∠AOE是△AOB的外角,
∴∠A+∠B=∠AOE.∵∠AOE是△OED的外角,∴∠1+∠2=∠AOE.
∴∠A+∠B=∠1+∠2.(角的8字模型)
∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F=∠1+∠2+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F
=360°
.(四边形内角和为360°
)
练习:
1.
(1)如图①,求:
∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=;
解:
如图,∵∠1=∠B+∠D,∠2=∠C+∠CAD,
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°
.故答案为:
180°
(2)如图②,求:
∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=.
由三角形的外角性质,知∠BAC=∠E+∠ACE,∠EAD=∠B+∠D,
又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°
,∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=180°
2.如图,求:
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=.
∵∠G+∠D=∠3,∠F+∠C=∠4,∠E+∠H=∠2,∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2,
∵∠B+∠2+∠1=180°
,∠3+∠5+∠A=180°
,∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
模型2:
角的飞镖模型
如图所示,有结论:
∠D=∠A+∠B+∠C.
如图①,作射线AD.
∵∠3是△ABD的外角,∴∠3=∠B+∠1,∵∠4是△ACD的外角,∴∠4=∠C+∠2
∴∠BDC=∠3+∠4,∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
如图②,连接BC.
∵∠2+∠4+∠D=180°
,∴∠D=180°
-(∠2+∠4)
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°
,∴∠A+∠1+∠3=180°
∴∠D=∠A+∠1+∠3.
(1)因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.
(2)飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用.
如图,在四边形ABCD中,AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB,AM与CM交于M,探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系.
解答:
利用角的飞镖模型
如图所示,连接DM并延长.∵∠3是△AMD的外角,∴∠3=∠1+∠ADM,
∵∠4是△CMD的外角,∴∠4=∠2+∠CDM,∵∠AMC=∠3+∠4
∴∠AMC=∠1+∠ADM+∠CDM+∠2,∴∠AMC=∠1+∠2+∠ADC.(角的飞镖模型)
∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB,∴
∴
,∴
(四边形内角和360°
),∴
,∴2∠AMC+∠B-∠ADC=360°
.
1.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.
【答案】230°
提示:
∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º
.(飞镖模型),∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º
.
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º
+115º
=230º
2.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D=.
【答案】220°
如图所示,连接BD.
∠AED=∠A+∠3+∠1,∠BFC=∠2+∠4+∠C,
∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º
模型3边的“8”字模型
如图所示,AC、BD相交于点O,连接AD、BC.结论AC+BD>
AD+BC.
∵OA+OD>
AD①,OB+OC>
BC②,由①+②得:
OA+OD+OB+OC>
BC+AD
即:
AC+BD>
AD+BC.
如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
求证:
(1)AB+BC+CD+AD>
AC+BD;
(2)AB+BC+CD+AD<
2AC+2BD.
证明:
(1)∵AB+BC>
AC①,CD+AD>
AC②,AB+AD>
BD③,BC+CD>
BD④
由①+②+③+④得:
2(AB+BC+CD+AD)>
2(AC+BD).即AB+BC+CD+AD>
AC+BD.
(2)∵AD<
OA+OD①,BC<
OB+OC②,由①+②得:
AD+BC<
OA+OD+OB+OC.
∴AD+BC<
AC+BD.(边的8字模型),同理可证:
AB+CD<
∴AB+BC+CD+AD<
2AC+2BD.
模型4边的飞镖模型
如图所示有结论:
AB+AC>
BD+CD.
如图,延长BD交AC于点E。
∵AB+AC=AB+AE+EC,AB+AE>
BE,∴AB+AC>
BE+EC.①,∵BE+EC=BD+DE+EC,
DE+EC>
CD,∴BE+EC>
BD+CD.②,由①②可得:
BD+CD.
如图,点O为三角形内部一点.
(1)2(AO+BO+CO)>
AB+BC+AC;
(2)AB+BC+AC>
AO+BO+CO.
(1)∵OA+OB>
AB①,OB+OC>
BC②,OC+OA>
AC③
由①+②+③得:
2(AO+BO+CO)>
AB+BC+AC
(2)如图,延长BO交AC于点E,
∵AB+AC=AB+AE+EC,AB+AE>
BE,∴AB+AC>
BE+EC.①
∵BE+EC=BO+OE+EC,OE+EC>
CO,∴BE+EC>
BO+CO,②
由①②可得:
AB+AC>
BO+CO.③(边的飞镖模型)
同理可得:
AB+BC>
OA+OC.④,BC+AC>
OA+OB.⑤
由③+④+⑤得:
2(AB+BC+AC)>
2(AO+BO+CO).即AB+BC+AC>
1.如图,在△ABC中,D、E在BC边上,且BD=CE。
AD+AE.
【答案】
如图①,将AC平移至BF,AD延长线与BF相交于点G,连接DF。
由平移可得AC=BF,∵AC∥BF,∴∠ACE=∠BFD,∵BD=CE
∴△AEC≌△FDB,∴DF=AE
如图,延长AD交BF于点G,∵AB+BF=AB+BG+GF.∵AB+BG>
AG,
∴AB+BF>
AG+GF①,∵AG+GF=AD+DG+GF,∵DG+GF>
DF,
∴AG+GF>
AD+DF②,由①②可得:
AB+BF>
AD+DF.(飞镖模型)
∴AB+AC=AB+BF>
AD+DF=AD+AE.∴AB+AC>
如图②,将AC平移至DF,连接BF,则AC=DF,∵AC∥DF,∴∠ACE=∠FDB.
∵BD=CE,∴△AEC≌△FBD.∴BF=AE.∵OA+OD>
AD①,OB+OF>
BF②
由①+②得:
OA+OD+OB+OF>
BF+AD.∴AB+DF>
BF+AD.(8字模型)
∴AB+AC=AB+DF>
BF+AD=AE+AD.∴AB+AC>
2.观察图形并探究下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由.
(1)如图①,△ABC中,P为边BC一点,请比较BP+PC与AB+AC的大小,并说明理由.
(2)如图②,将
(1)中的点P移至△ABC内,请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.
(3)图③将
(2)中的点P变为两个点
、
,请比较四边形
的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.
(1)如图①,BP+PC<
AB+AC.
理由:
三角形两边之和大于第三边。
(或两点之间线段最短)
(2)△BPC的周长小于△ABC的周长。
如图②,延长BP交AC于M。
在△ABM中,BP+PM<
AB+AM①
在△PMC中,PC<
PM+MC②,由①+②得:
BP+PC<
∴△BPC的周长小于△ABC的周长。
(3)四边形
的周长小于△ABC的周长。
如图③,分别延长
交于M,由
(2)知,BM+CM<
又∵
<
+
BM+CM<
∴四边形
的周长小于△ABC的周长.
如图④,做直线
分别交AB、AC于M、N。
在△BM
中,
BM+
①
在△AMN中,
AM+AN②,在△
+NC③
由①+②+③得:
AB+AC.∴四边形
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