电磁场与电磁波杨儒贵第二版课后答案1Word文档下载推荐.docx
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0;
无旋场:
()
格林定理:
第一和第二标量
:
v(
2)dV■S()dS
(22)dV:
:
dS
VS
第一和第二矢量格林定理:
v[(
P)(Q)
P
Q]dV
。
PQdS
v【Q(
P)
P(
Q]dV<
)S[PQQP]dS
亥姆霍
兹定理:
F(r)
(r)
A(r),式中
1
F(r)dV
A(r)
1F(r)dV
4Vr
r
4Vrr
三种坐标系中矢量表示式之间的转换关系:
Ar
cos
sin
题
解
第一
'
早
1-1
已知三
个矢
量
分
别为
为
ex2e
y3ez
|A|,
|B|,|C|;
②单位矢量ea,
eb
ec
③A
B:
④
及(AB)C
B3exey2ez;
C2exez。
试求①
⑤(AB)C及(AC)B;
®
(AC)B
解①A%;
AxaA2V'
122232yF\4
BB;
B;
V321222v'
14
ea
ec
1-2已知
B「
cy
.14
C
.5
c;
22
ex
•14
3ex
o2
2ey
2exez
3ez
2ez
23
By
Bz
3
12
7
11
5
11ex
2
7ex11ey5ez
AxBxAyByAzBz
22ez
2ex5ey
Cx
Cy
Cz
4
6ex
8ey13ez
113
215
C72
119。
4ez
3ey
z0平面的位置矢量A与X轴的夹角为,位置矢量B与X轴的夹角为
,试证
cos()coscossinsin
证明由于两矢量位于z0平面,因此均为二维矢量,它们可以分别表示为
AexAcoseyAsin
BexBcoseyBsin
已知ABABcos,求得
a||b|coscos|ABsinsin
cosHBI
cos(
)coscossinsin
1-3已知空间三角形的顶点坐标为R(0,1,2),P2(4,1,3)及Pa(6,2,5)。
试问:
①该三角
形是否是直角三角形;
②该三角形的面积是多少?
解由题意知,三角形三个顶点的位置矢量分别为
P1ey2ez;
P24exey3ez;
P36ex2ey5ez
那么,由顶点P1指向P2的边矢量为
P2P14exez
同理,由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为
P3P22exey8ezRP36exey7ez
因两个边矢量(P2P1)(P3P2)
0,意味该两个边矢量相互垂直,所以该三角形是直角三
角形。
因P2P1、4212,17
P3P2IV221282769,
所以三角形的面积为
1
S-|P2P1IIP3P20.5J1173
P1及P2之间的抛物线x2y2或直线RE为积分路径,试求线积分“Adi
P2
的方向上的方向导数解已知梯度
exeyez岂屮e『(2xyz2)ez3yz2
xyz
ex3ey3ez
2ex
ez2631
1-6
试证式
(1-
5-11
),式
5-12
)及式(1-5-13)
证明
式(1-5-
■11
)为
,该式左边为
ex—
ey-
ez-
ez——一
zz
exey
yz
即,。
根据上述复合函数求导法则同样可证式(1-5-12)和式(1-5-13)。
1-7已知标量函数sinxsinyez,试求该标量函数在点P(1,2,3)处的最大变化
率及其方向。
解标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。
已知标量函数的梯度为
—eyeZ
那么
P点最大变化率方向的方向余弦为
1-8若标量函数为
试求在P(1,2,1)点处的梯度
解已知梯度ex——ey—ez——,将标量函数代入得
ex2xy3ey4yx2ez6z6
P3ex9ey
再将P点的坐标代入,求得标量函数在P点处的梯度为
1-9试证式(1-6-11)及式(1-6-12)。
1-10试求距离|r1r2|在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式解在直角坐标系中
I1222
r1avX2为y2y1z乙
在圆柱坐标系中,已知xrcos,yrsin,zz,因此
zrcos,因此
在球坐标系中,已知xrsincos,yrsinsin
r1r2r2sin2cos2nsin1cos12r2sin2sin2r1sin1sin12r2cos2r1cos12
r;
r122r2r1sin2sin1cos21cos2cos1
1-11已知两个位置矢量r1及a的终点坐标分别为(r「1,1)及(°
2,2),试证口与a之间的
夹角为
cossin1sin2cos(12)cos1cos2
证明根据题意,两个位置矢量在直角坐标系中可表示为
r1exr1sin1cos1
eyr1sin1sin1
ezr1cos1
r2exr2sin2cos2
eyr2sin2sin
ezr2cos2
已知两个矢量的标积为r1
这里
为两个矢量的夹角。
因此夹角为
「1|「2
式中
r1r2(sin1coscos1cos2)
1sin2cos2
1sin
1sin2sin2
因此
sin1sin2(cos
sin1sin2cos(
1cos2sin
2)cos
icos
2)
1-12
试求分别满足方程式
fi(r)r
cos1cos2
f2(r)r
0的函数f1(r)及f2(r)。
解在球坐标系中,为了满足
3f1
即要求r
dr
3fir
dfir
Inf1
3lnrInC
在球坐标系中,
为了满足
由于f2rr0,r0,即上式恒为零。
故f2r可以是r的任意函数。
1-13试证式(1-7-11)及式(1-7-12)。
证明①式(1-7-11)为CACA(C为常数)
令AAxe*Ayey,CACA^CA『eyCAzez,贝U
exeyez
CA
CA
CAxCAyCA
AAyAz
令AAxexAy
eyAzez,
AAxex
Ayey
Azez,则
—Az-
—Ay
Axey—
—Axez
-Az
—Ay
——Az——
Axey
AyAxez
xz
xy
A7
AzAx
AyAx
e
汶
e
②式(1-7-12)为
若将式(1-7-12)的右边展开,也可证明。
1-14试证r0,-0及厶0
rr
证明已知在球坐标系中,矢量A的旋度为
e
rsin
②(Ae^-)CkAeckr;
③(Aeckr)CkAeckr
证明①证明eCkrCkeCkr。
利用公式FF,贝U
eCkr
eCkr
Ckr
Cekr
CkAe
而krkxxkyykzz
求得eCkrCkeCkr。
②证明AeCkr
利用公式AA
AeCkrA
再利用①的结果,则
exkxeykyezkzk
,则
AA
AeCk
CkAeCkr
③证明
ACkr
Ae
利用公式AAA,则
证明已知在球坐标系中
证明利用公式
ABAB
令上式中的AB
2E
—2E
将上式整理后,即得
1-18已知矢量场F的散度
q(r),旋度
0,试求该矢量场。
根据亥姆霍兹定理,Fr
Ar,
其中
1-19
dV
那么因
Fqr,求得
er
已知某点在圆柱坐标系中的位置为
4,l,3,
试求该点在相应的直角坐标系及圆
球坐标系中的位置。
解已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
xrcos,yrsin,zz
因此,该点在直角坐标下的位置为
x4cos-2;
y4sin22、3;
z=3
33
同样,根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系,
;
arctan—zx
获
r‘X2y2z2;
arctan—
可得该点在球坐标下的位置为
120
arctan53;
1-20已知直角坐标系中的矢量Aaexbe『cez,式中a,b,c均为常数,A是常矢量吗?
试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解由于A的大小及方向均与空间坐标无关,故是常矢量。
已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
62y
rxy;
arctan;
zz
b
sin
v'
a2b2
又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
Acossin0A
Asincos0Ay
A001A.
将上述结果代入,求得
即该矢量在圆柱坐标下的表达式为
Aera2b2ezc
直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为
22
yarctan
arctan
由此求得
矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
sinsin
cossin
求得
a
2,22
、abc
c
即该矢量在球坐标下的表达式为Aera2b2c2。
1-21已知圆柱坐标系中的矢量Aaerbe冷,式中a,b,c均为常数,A是常矢量吗?
试求A及A以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解因为虽然a,b,c均为常数,但是单位矢量er和e均为变矢,所以A不是常矢量。
已知圆柱坐标系中,矢量A的散度为
aerbecez代入,
得
A1
矢
量A的旋度为
rA
arb
rAr
ar
将
1A
00-
xrcos;
yrsin;
将上述接结果代入,
x-ya
J
yx
即该矢量在直角坐标下的表达式为
矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
rob
2C
a_
逸a-rc-ro
a-r
AAA
即该矢量在球坐标下的表达式为Arerbe
1-22已知圆球坐标系中矢量Aaerbece,式中a,b,c均为常数,A是常矢量吗?
试求A及A,以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。
解因为虽然a,b,c均为常数,但是单位矢量er,e,e均为变矢,所以A不是常矢量在球坐标系中,矢量A的散度为
将矢量A的各个分量代入,求得A空-cot
矢量A的旋度为
rsinA
2.rsin
rsin
b-er
rb
rsinc
利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
ra
za
brz
Z-
zr
求得其在圆柱坐标下的表达式为
.bb
Arzercezrez。
aa
1-23
若标量函数
1(x,y,z)
xy
2z
2(x,,z)
rzsin
3(r,
智,试求21,
x2
z2
2xz
1-24
一rzsinr
rzsin
2.
2・2rsin
122sin1
~r3~2~_
rrrrsin
sincos
2sin
2cos
4.
sin2
A(x,y,z)
xyzex
xzey
yez
A(r,,z)
2“c
errcos
3_■
ezrsin
A(r,,
errsin
1.sinr
e2cos
试求
yAy
3xyz
(此处利用了习题26中的公式)
1.
rsincos
3e
3r
-e
er3
2cose3
2r
er2Ar
务A
sinA
2・rsin
3sin
2a
~2rsin
2cosA
22rsin
-2~:
~2rsin
~2~:
~
A-2cosA
2.2rsin
将矢量A的各个坐标分量代入上式
9cos2
Aer
4cos
3~r
2sin
3"
r
e~4~~2
1-25若矢量A
AdV,式中V为A所在的区域。
解在球坐标系中
dV
2・
r2sin
-r2Ar
将矢量A的坐标分量代入,
AdV
2cos2.」—rsindrr
1-26试求
cos2
◎S(er3sin
dS,
S为球心位于原点,半径为5的球面。
解利用高斯定理,
AdV,则
SAdSvAdV
5江r2sindr752
0r
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