洛伦兹变换详细推导文档格式.docx
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1.时空坐标间的变换关系作为一条公设,我们认为时间和空间都是均匀的,因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P在S系和S系中的时空坐标(x,y,z,t)、(x'
y'
,z'
,t'
),因S'
相对于S以平行于X轴的速度v作匀速运动,显然有y'
=y,z'
=z。
在S系中观察S系的原点,x=0;
在S'
系中观察该点,X'
=-vt'
,即x'
+vt'
=O。
因此X=X'
+Vt'
。
在任意的一个空间点上,可以设:
X=k(x'
+vt'
),k是一比例常数。
同样地可得到:
X'
=k'
(X-Vt)=k'
(x+(-v)t)
根据相对性原理,惯性系S系和S系等价,上面两个等式的形式就应该相同(除正、负号),所以k=k'
2・由光速不变原理可求出常数k
设光信号在S系和S'
系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进,那么在任一瞬时t(或t'
),光信号到达点在S系和S'
系中的坐标分别是:
x=ct,x'
=ct'
,贝,
xx=c2tt二k2x-vtxvt二k2ct-vtctvt
二k2ttc2
可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。
3.讨论
(1)可以证明,在洛仑兹变换下,麦克斯韦方程组是不变的,而牛顿力学定律则要改变。
故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象,而牛顿力学不适用描述高速现象,故它有一定的适用范围。
(2)当|v/c|<
<
1时,洛仑兹变换就成为伽利略变换,亦即后者是前者在低速下的极限情形。
故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形一低速极限。
四、相对论速度变换公式
洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系,根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。
()(FFF)
设物体在s、s'
系中的的速度分别为Ux,uy,Uz,Ux,uy,Uz,根据洛仑兹
变换式可得:
讨论
(1)当速度u、v远小于光速c时,即在非相对论极限下,相对论的速度变换公式即
(2)
假设两个事件Pi和P2,在s系和S系中测得其时空坐标为:
S:
人,y1,弓,t1,x2,y2,z2,t2
S:
x,yi,W,ti“2,y2,Z2,t2
由洛伦兹变换得:
t2-VX2c2
在S系和S系中测得的时间间隔为七2一t1和(t2-ti),它们之间的关系为:
/2
.._氏-匕)-V(X2-X1)/Ct^t1■
t2十"
X2J
-(v,c)2
r
(1)在S系中同时发生:
t2=ti,但在不同地点发生,X2
这就是同时的相对性。
t-XVc2
因为v>
c,u>
c,所以与At同号。
即事件的因果关系,相互顺序不会颠倒。
tVuvc
u一
也t丿
有:
h-(Vc)2
得到
(4)上述情况是相对的。
同理在s'
系中不同地点同时发生的两个事件,在S系看来同样也是不同时的。
(5)当v5寸,人tt,回到牛顿力学。
二、长度收缩(洛伦兹收缩)
假设一刚性棒AB静止于S系中1X2_X1,在S系中同时t1
"
x2"
X1。
由洛伦兹坐标变换式:
、x1-vt1、x2-vt2
X1)vc2,「1-vc
得:
I=IJ-(v/c)2
1.
固有长度
观察者与被测物体相对静止时,长度的测量值最大,称为该物体的固有长(或原长),用Io表示。
即
I=
2.洛伦兹收缩(长度缩短)
观察者与被测物体有相对运动时,长度的测量值等于其原长的
倍,即物体沿运动方向缩短了,这就是洛伦兹收缩(长度缩
短)。
讨论:
(1)长度缩短效应具有相对性。
若在s系中有一静止物体,那么在S系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短,同理有
r=iJ1_(v/c)2
即看人家运动着的尺子变短了。
(3)当v<
c时,有I"
I
三、时间膨胀(时间延缓)
中的时间间隔为"
t=t?
一ti,事件Pi、P2在s'
系中的时间间隔为"
t"
t^t1o如果在S'
系中两事件同地点发生,即x2=xi,则有:
i.固有时间(原时)的概念
在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔,叫固有时间(原时)。
T
用0表示,且:
2.时间膨胀
心tXC
在S系看来:
0,称为时间膨胀。
(i)时间膨胀效应具有相对性。
若在S系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为
At(称为原时),则同理有
(2)当vvvc时,有’tt
(3)实验已证实
卩子,n介子等基本粒子的衰变,当它们相对实验室静止和高速运动时,其寿命完全不同。
例i:
在惯性系S中,有两个事件同时发生,在XX轴上相距
3
i.0i0m处,从另一惯性系S中观察到这两个事件相距
2.0i0m。
问由s'
系测得此两事件的时间间隔为多少?
例2:
半人马星座
a星是离太阳系最近的恒星,它距地球为4.3汉10m。
设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座a星之间。
若宇宙飞船的速度为0.999
_s_24.31016一厂0.9993108
c,按地球上的时钟计算,飞船往返一次需多少时间?
如以飞船上的时钟计算,往返一次的时间又为多少?
At解:
以地球上的时钟计算:
8
=2.87109a(a为annual之首字母);
=t=.
若以飞船上的时钟计算:
(原时),因为
所以得宀t一*t
-vc2二2.87108\1-0.9992
1.28107s二0.4a
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