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F=kx
a=
对A用牛顿第二定律
f=ma=
kx
〖点评〗A、B无相对运动,故可以综合运用整体法、隔离法分析整个系统和A或B物体的运动和力的关系。
例2如图7-1-2所示,一个竖直弹簧连着一个质量M的薄板,板上放着一个木块,木块质量为m.现使整个装置在竖直方向做简谐运动,振幅为A。
若要求在整个过程中小木块m都不脱离木板,则弹簧劲度系数k应为多大?
〖解析〗木板运动到最高点又不脱离,弹簧可能处于两种状态:
无形变状态和压缩状态。
若恰好脱离,则弹簧此时无形变,m、M的加速度均为g,此时,系统回复力为F=(M+m)g
所以弹簧在平衡位置时的弹力为
kA=(M+m)g
k=
g
若弹簧处于压缩状态,则系统在最高点的回复力为
F’<
(M+m)g
则弹簧在平衡位置时的弹力为
F’=(M+m)g>
kA
则k<
所以k≤
〖点评〗关键是判断清楚木块与板脱离的临界条件:
相互之间无弹力,且加速度都等于g.还要注意最高点与平衡位置间的距离就是振幅。
例3一弹簧振子做简谐运动,周期为T,则正确的说法是()
A、若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B、若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相同,则Δt一定等于
的整数倍
C、若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D、若Δt=
,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
〖解析〗从平衡位置出发
后,振子将又回到平衡位置,所以A选项错误。
当振子沿同一方向经过关于平衡位置对称的任意一对位置时,其速度的大小、方向均一样,所以B选项错误。
根据简谐运动的对称性,C选项正确。
当振子先后出现在两个端点时,恰相隔半个周期,而弹簧长度不等,所以D选项错误。
所以选B。
〖点评〗做简谐运动的物体,经过一个周期,其速度、位移、加速度、回复力等都恢复原来的数值和方向。
而只经过半个周期,一些物理量大小恢复,但方向相反。
如果不从平衡位置或端点出开始,则一些物理量恢复原值未必需要半个或一个周期。
例4如图7-1-3所示,一质点在平衡位置o点两侧做简谐运动,在它从平衡位置出发,向端点A处运动过程中,经0.15s第一次经过M点,在经0.1s第二次经过M点,则该质点的振动频率为()
A、0.8HzB、1HzC、1.25HzD、1.5Hz
〖解析〗O到M用时0.15s,M到A再回到M用时0.1s,根据对称性,M到A用时为0.05s,所以O到A用时为0.2s,因此周期为0.8s,而频率为1.25Hz.所以C选项正确。
〖点评〗简谐运动的对称性包括状态的对称性和过程的对称性,这题就是利用了M到A和从A回到M的等时对称性。
例5图7-1-4所示为一沿水平方向振动的弹簧振子的振动图象,求⑴从计时开始,什么时刻第一次达到弹性势能最大?
⑵在第2s末到第3s末这段时间内振子的加速度、速度、动能、弹性势能各怎么变化?
⑶该振子在前100s内总位移是多少?
总路程是多少?
〖解析〗⑴第1s末振子位移最大,所以势能最大。
⑵这段时间内振子的位移变大,所以加速度、弹性势能变大;
速度、动能变小。
⑶T=4s,100s为25个周期,所以位移为0,路程为s=25×
4A=500cm=5m.
〖点评〗正确读取图象所含信息是解图象题的关键,不仅要复习好有关图象的知识,还要善于将图象与实际振动过程结合起来。
四、变式迁移
1、如图7-1-5所示,一个质量为m的木块放在质量为M的平板小车上,他们之间的最大静摩擦力为f,在劲度系数为k的轻弹簧的作用下,沿光滑水平面做简谐运动。
为使小车能跟木块一起运动,不发生相对滑动,机械运动的振幅不能大于()
A、
B、
C、
D、
2、如图7-1-6所示,质量为m的木块放在弹簧上,弹簧在竖直方向做简谐运动。
当振幅为A时,物体对弹簧的最大压力是弹簧的1.5倍,则物体对弹簧的最小压力是多少?
欲使物体在振动中不离开弹簧,其最大振幅是多少?
五、能力突破
1、一质点做简谐运动的图象如图7-1-7所示,该质点在t=3.5s时刻()
A、速度为正、加速度为正
B、速度为负、加速度为负
C、速度为负、加速度为正
D、速度为正、加速度为负
2、一物体做简谐运动的图象如图7-1-8所示,则在t=
T和t=
T两个时刻,物体的()
A、位移相同B、回复力相同
C、动量相同D、动能相同
3、做简谐运动的质点通过平衡位置时,具有最大的物理量是()
A、加速度B、速度C、位移
D、动能E、势能F、回复力G、动量
4、一质点做简谐运动,先后以相同的动量通过A、B两点,历时1s.质点B点后再经过1s又第二次通过B点,这2s内质点的总路程为12cm,则指点的振动周期和振幅分别为()
A、3s,6cmB、4s,6cmC、4s,9cmD、2s,8cm
5、一平台沿竖直方向做简谐运动,一物体置于平台上随平台运动,振动平台处于什么位置时,物体对台面的压力最大?
()
A、当振动平台运动到最高点时
B、当振动平台向下运动过振动中心时
C、当振动平台运动到最低点时
D、当振动平台向上运动过振动中心时
6、某质点做简谐运动,从质点经过某一位置时开始计时()
A、当质点再次经过此位置时,所经历的时间为一个周期
B、当质点的速度再次与零时刻速度相同时,所经历的时间为一个周期
C、当质点的加速度再次与零时刻加速度相同时,所经历的时间为一个周期
D、以上说法均不对
7、一个做简谐运动的物体连续通过某一位置的时间间隔为1s,紧接着再经过0.4s到达平衡位置,则简谐运动的周期为()
A、1.2sB、2.4sC、3.6sD、4.8s
8、如图7-1-9所示,某质点做简谐运动,先后以同样的速度通过相距8cm的M、N两点,历时0.6s,过N点后又经过0.5s质点以大小相同、方向相反的速度再次通过N点,则质点振动的周期是多少?
9、如图7-1-10所示,一个劲度系数为k的轻弹簧竖直立在桌面上,下端固定在桌面上,上端与质量为M的金属盘固定连接,金属盘内放一个质量为m的砝码。
先让砝码随金属盘一起在竖直方向做简谐运动。
⑴为使砝码不脱离金属盘,振幅最大不能超过多少?
⑵振动过程中砝码对金属盘的最大压力是多少?
10、如图7-1-11所示,在质量为M的无下底的木箱顶部用一请弹簧悬挂质量均为m(m≤M)的A、B两个物体,箱子放在水平地面上,平衡后剪断A、B间的细线,此后A将做简谐运动。
当A运动到最高点时,木箱对地面的压力是多少?
2单摆简谐运动的能量受迫振动和共振
1、单摆,在小振幅条件下单摆做简谐运动Ⅱ
2、单摆周期公式Ⅱ
3、振动中的能量转化Ⅰ
4、自由振动和受迫振动,受迫振动的频率Ⅰ
5、共振及其常见的应用Ⅰ
1、单摆:
一根上端固定的细线,下系一个小球就构成了单摆。
要求细线的质量、弹性可以忽略,线的长度比小球的直径大得多。
单摆的回复力是摆球重力的切向分力。
在偏角很小的情况下,单摆做简谐运动。
单摆的周期公式为T=2π
2、简谐运动的能量:
简谐运动的能量就是振动系统的总机械能。
振动系统的机械能与振幅有关,振幅越大,则系统机械能越大。
阻尼振动的振幅越来越小。
3、简谐运动的过程是系统的动能和势能相互转化的过程,转化过程中机械能的总量保持不变。
在平衡位置处,动能最大势能最小,在最大位移处,势能最大,动能为零。
4、受迫振动:
物体在外界驱动力的作用下的运动叫做受迫振动。
物体做稳定的受迫振动时振动频率等于驱动力的频率,与物体的固有频率无关。
5、共振:
当驱动力的频率接近物体的固有频率时,受迫振动的振幅增大,这种现象叫做共振。
当驱动力的频率等于物体的固有频率时,受迫振动的振幅最大。
驱动力的频率与物体的固有频率相差越远,受迫振动的振幅越小。
声波的共振现象叫做共鸣。
例1铁道上每根钢轨长12.5m,若支持车厢的弹簧和车厢组成的系统周期为0.6s,那么列车的速度为多大时,车厢振动得最厉害?
〖解析〗车厢振动的最厉害是因为发生了共振,由共振条件可知
T驱=T固=0.6s
T驱=
V=
=21(m/s)
〖点评〗火车行驶时,每当通过钢轨的接缝处时就受到一次冲击,该力即为驱动力。
当驱动力的频率与振动系统的固有频率相等时就发生了共振,车厢振动得最厉害。
例2单摆做简谐运动时,下列说法正确的是()
A、摆球质量越大、振幅越大,则单摆振动的能量越大
B、单摆振动能量与摆球质量无关,与振幅有关
C、摆球到达最高点时势能最大,摆线弹力最大
D、摆球通过平衡位置时动能最大,摆线弹力最大
〖解析〗对于无阻尼单摆系统,机械能守恒,其数值等于最大位移处摆球的重力势能或平衡位置处摆球的动能。
摆球质量越大、振幅越大,则最大位移处摆球的重力势能越大,所以A选项正确,而B选项错误;
在最高点时速度为零,所需向心力为零,故摆线弹力最小,所以C选项错误;
同理,D选项正确。
选AD.
〖点评〗有同学认为振幅越大系统能量越大,其实这是在摆球质量一定的前提下才适用的结论。
应该从系统具体的能量形式来分析。
例3一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面所受万有引力的
.在地球上走时准确的机械摆钟移到此行星表面上后,摆钟的分针走一圈所用的时间为地球时间()
hB、
hC、2hD、4h
〖解析〗
=
t’=2h
C选项正确。
〖点评〗机械摆钟是利用利用机械传动装置使摆锤带动指针运动,因此表盘指针运动的周期与摆锤振动周期成正比
例4在水平方向做简谐运动的弹簧振子,其质量为m,最大速率为v,则下列说法正确的是()
A、从某时刻起,在半个周期时间内,弹力做功一定为零
B、从某时刻起,在半个周期时间内,弹力做的功可能是0到
mv2之间的某一个值
C、从某时刻起,在半个周期时间内,弹力的冲量一定为零
D、从某时刻起,在半个周期时间内,弹力的冲量可能是0到2mv之间的某一个值
〖解析〗做简谐运动的物体,半个周期后的速率一定与半个周期前相等,动能变化量为零,故弹力做功为零,所以A选项正确,B选项错误;
从端点到端点,速度由零到零,冲量为0,从平衡位置到平衡位置,速度由v变到-v,冲量为2mv,起点为其他位置时,冲量介于两者之间,所以C选项错误,D选项正确。
所以酸AD.
〖点评〗要注意动能和功是标量,而速度、动量和冲量是矢量。
例5如图7-2-1所示,一向右运动的车厢顶上悬挂着两个单摆M、N,它们只能在图示平面内摆动。
某一时刻出现图示情景。
由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢的运动情况是()
A、车厢做匀速直线运动,M在摆动,N静止
B、车厢做匀速直线运动,M在摆动,N也在摆动
C、车厢做匀速直线运动,M静止,N也静止
D、车厢做匀加速直线运动,M在摆动,N也在摆动
〖解析〗车厢做匀速直线运动时,单摆的平衡位置在最低点,故M一定在摆动,而N可能在摆动,也可能静止,所以A、B选项均正确,而C选项错误;
若车厢向右做匀加速直线运动,则单摆的平衡位置在最低点的左侧,N不在平衡位置上,故M可能在摆动也可能静止,而N一定在摆动,所以D选项正确。
所以选ABD.
〖点评〗振动系统在惯性系(静止或匀速直线运动的环境)中的规律完全相同,而在非惯性系(做变速运动的环境)中的规律则要做一定调整。
如平衡位置、等效重力加速度等。
1.有一天体,其半径为地球半径的两不日,平均密度与地球相同。
在地球表面走时准确的机械摆钟移到该天体表面,秒针走一圈的实际时间为地球时间()
minB、
minC、
minD、2min
2.在盛沙的漏斗下方放有一木板,让漏斗摆动起来,同时让其中的细沙匀速流出,一段时间后,观察木板上沙子的堆积情况,则沙堆的剖面图应图7-2-2中的()
1.物体做阻尼运动时,它的()
A、周期越来越小B、位移越来越小
C、振幅越来越小D、机械能越来越小
2.图7-2-3为某个弹簧振子做简谐运动的图象,由图象可知()
A、由于在0.1s末振幅为零,所以振子的振动能量为零
B、在0.2s末振子具有最大势能
C、在0.4s末振子具有的能量尚未达到最大值
D、在0.4s末振子的动能最大
3.摆长为l摆球质量为m的单摆,以摆角θ(θ<
50)摆动,摆球从最大位移处摆到平衡位置的过程中,下列说法中正确的是()
A、重力的冲量为πm
B、重力做的功为mglcosθ
C、合外力的冲量为m
D、合外力的冲量为零
4.如图7-2-4所示,两单摆摆长相同,摆球体积、形状完全相同,平衡时两摆球刚好接触。
现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一很小角度后释放,碰撞后两球分开各自做简谐运动。
以mA、mB分别表示摆球A、B的质量,则下列说法正确的是()
A、mA>
mB,下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B、mA<
mB,下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C、无论两球质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D、无论两球质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
5.如图7-2-5所示,在一根张紧的水平绳上挂有5个单摆,其中b摆球质量最大,其余4个摆球质量相等,摆长关系为Lc>
Lb=Ld>
La>
Le,现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放,经过一段时间后,其余各摆均振动起来并达到稳定时的情况是()
A、4个单摆的周期Tc>
Td>
Ta>
Te
B、4个单摆的频率fa=fc=fd=fe
C、4个单摆的振幅Aa=Ac=Ad=Ae
D、4个单摆中d摆的振幅最大,且Ae<
Aa
6.在用单摆测定重力加速度的实验中,下列说法中正确的是()
A、对重力加速度测量值影响较大的周期的测量
B、应选用较长的细线做摆线,密度较大的金属小球做摆球
C、实验发现测量值偏小,可能是由于摆动次数多数一次
D、实验中如果发现测量周期等于秒摆周期,则摆长约为1m
7.关于单摆,下列说法正确的是()
A、单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线对摆球拉力的合力
B、单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
C、在最大位移处,重力势能最大,摆球动能为零
D、在平衡位置时,摆线弹力最大,回复力为零
8.如图7-2-6所示,一块涂有碳黑的玻璃板,质量为2kg,在竖直拉力F的作用下,由静止开始竖直向上做匀加速运动。
一个装有水平振动的频率为5Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线,量得OA=1cm,OB=4cm,OC=9cm,求F的大小。
9.如图7-2-7所示,将摆长为l的单摆放在以加速度a匀加速上升的升降机中,求单摆的振动周期。
10.、如图7-2-8所示,有一水平轨道AB,在B点处与半径为300m的光滑弧形轨道BC相切,一质量为0.99kg的木块静止于B处,现有一质量为10g的子弹以500m/s的水平速度从左边射入木块且未穿出。
已知木块与该水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5,g取10m/s2,求:
子弹射入木块后,木块需经多长时间才能停下来?
3机械波波的图象
1、波,横波和纵波Ⅱ
2、波的图象Ⅱ
3、波长、频率和波速的关系Ⅱ
1、机械波:
机械振动在介质中的传播,形成机械波。
机械波产生的条件是,
(1)要有波源,
(2)要有传播振动的介质。
它与振动的关系是,有振动未必有波。
有波一定有振动。
机械波传播的是运动形式,也是传播能量和信息的方式之一。
机械波传播过程中,介质中的各个质点只是在平衡位置附近做受迫振动,质点并没有随波迁移。
机械波分为横波和纵波两类,质点振动方向与波的传播方向垂直的叫横波,质点振动方向与波的传播方向在同一直线上的叫纵波。
,
2、波的图象:
波的图象反映了介质中各个质点在某一时刻相对平衡位置的位移。
从图象中我们可以读出各个质点的位置、波长、振幅等。
3、波长:
在波的传播方向上,相对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离,叫波长。
一个周期时间内波传播的距离是一个波长。
在横波中,两个相邻的波峰(或波谷)间的距离,等于波长。
在纵波中,两个相邻的密部(或疏部)间的距离,等于波长。
4、波的周期和频率:
在波的传播过程中,波的周期和频率等于波源的周期和频率。
波的频率是由波源决定的,波长是由波源和介质共同决定的。
5、波速:
波速反映波在介质中传播的快慢。
f
波速是由介质决定的。
例1如图7-3-1所示,沿波的传播方向上有间距为1m的六个质点a、b、c、d、e、f,均静止在各自的平衡位置。
一列横波以1m/s的速度向右传播,t=0时刻到达a质点,质点a开始由平衡位置向上运动。
t=1s时,质点a第一次到达最高点,则在4s<
t<
5s这段时间内()
A、质点c的加速度逐渐增大
B、质点a的速度逐渐增大
C、指点d向下运动
D、质点f保持静止
〖解析〗由波速可知,波传到c需2s,t=4s时,c已震动2s,正向下经过平衡位置,接下来1s向波谷运动,加速度增大,所以A选项正确;
此时,a正从平衡位置向波峰运动,速度减小,所以B选项错误;
d正离开波峰向平衡位置运动,所以C选项正确;
波传播距离不到5m,所以D选项正确。
所以,选ACD。
〖点评〗要了解介质中由近及远的各点的振动情况的关系。
例2如图7-3-2所示,S是上下振动的波源振动频率为f=100Hz,它所产生的横波向左、右传播,波速v=80m/s.在波源左、右两侧有Q、P两点,与波源S在同一水平直线上,切SP=17.4m,SQ=16.2m,当S通过平衡位置向上振动时()
A、P在波峰、Q在波谷
B、PQ都在波峰
C、P在波谷、Q在波峰
D、P通过平衡位置向上振动、Q通过平衡位置向下振动
〖解析〗由波源S向两侧传播的波形是对称的,此刻波形如图7-3-3所示,两列波的波长均为
=0.8m
SP=17.4m=21
SQ=16.2m=21
所以,此刻P点恰在波峰,Q点恰在波谷。
所以A.
〖点评〗波源向两个相反方向发出的波是对称的,同时要理解由于周期性,21
处质点位置与
处质点的位置是相同的。
例3如图7-3-4所示,一列向右传播的简谐横波,波速大小为0.6m/s,P质点的横坐标为x=0.96m从图示时刻开始计时,求:
⑴P质点刚开始振动时振动方向如何?
⑵经过多长时间P质点第二次到达波峰?
〖解析〗⑴波上每一点开始振动的方向都与此刻波上最前端质点的振动方向相同,即向下振动。
⑵P质点第二次到达波峰也就是第二个波峰传到P点,第二个波峰到P点的距离为
s=x+
=1.14m
所以t=
s=1.9s
〖点评〗机械波在介质中传播时,可以看作是波形沿着传播方向做匀速直线运动,所以,这类问题用匀速直线运动规律处理非常方便。
例4一列简谐横波在x轴上传播,在t1=0和t2=0.05s时刻,其波形图分别如图7-3-5中的实线和虚线所示,求:
⑴这列波可能具有的波速?
⑵当波速为280m/s时,波的传播方向?
〖解析〗⑴若波向x正方向传播
s=2+n
(m)(n=0,1,2,3,......)
v=
=(40+160n)(m/s)(n=0,1,2,3,......)
若波向x负方向传播
s=6+n
=(120+160n)(m/s)(n=0,1,2,3,......)
⑵将v=280m/s代入上述结果,可得:
波向x负方向传播。
〖点评〗利用波形计算波速时有两点必须考虑:
⑴波的传播方向的讨论。
传播方向不同,图中所示的传播距离可能不同。
⑵波形的周期性,这导致波速的解通常是一个通解。
例5如图7-3-6所示,一根张紧的水平弹性绳上有a、b两点,b点在a点的右方,相距s=14m.一简谐波沿此绳向右传播,当a到达波峰时,b恰好下下经过平衡位置。
t=1s后,当a向下经过平衡位置时,b恰好到达波谷,则这列波的波速可能等于()
A、4.67m/sB、6m/sC、10m/sD、14m/s
〖解析〗a、b间杂第一时刻的最简单波形如图7-3-6所示,根据波形的周期性特点,所以s=(n+
)
同样由于周期性,t=(m+
)T
T=
(s)(m=0,1,2,3,......)
所以v=
(m/s)(n=0,1,2,3,......m=0,1,2,3,......)
所以选AC.
〖点评〗波的周期性特点反映在时间的周期性和空间的周期性上,这两方面都会导致多解。
1、如图7-3-7所示,S为波源,振动频率为100Hz,所产生的横波向右传播,波速为80m/s,P、Q是途中两质点,SP=4.2m,SQ=5.4m,当S通过平衡位置向上运动时,则()
A、P在波谷、Q在波峰
B、P在波峰、Q在波谷
C、PQ都在波峰
2、图7-3-8所示为一列简谐波在两个不同时刻的波形。
虚线波形为实线所示横波在Δt=0.5s后的波形,则
⑴若质点的振动周期T<
Δt<
3T,则在Δt内波想前传播的距离Δx是多少?
⑵若波速为v=1.8m/s,则波向哪个方向传播?
1、关于机械波的概念,下列说法中正确的是()
A、质点的振动方向总是垂直于波的传播方向
B、简谐波沿长绳传播,绳上相距半个波长的两个质点振动位移的大小相等
C、任一质点每经过一个周期在波的传播方向上移动一个波长的距离
D、相隔一个周期的两个时刻,简谐波的波形图相同
2、图7-3-9所示为一简谐横波的图象,波沿x轴正方向传播,下列说法中正确的是()
A、质点A、D振幅
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