九年级数学上册全部知识点总结.docx
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九年级数学上册全部知识点总结
九年级上册知识点总结
一、一元二次方程
一元二次方程复习:
1、定义:
只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫
做一元二次方程。
2、一般形式:
,其中是二次项,是二次项系数;是一次
项,是一次项系数;是常数项。
3、判断标准:
①,即二次项系数不能为0.
②只含有一个未知数
③未知数最高次数是2
④是整式方程
4、解法:
①直接开平方法
②配方法:
步骤:
1.移项:
把常数项移到等式的右边
2.把二次项系数化为1
3.方程两边都配上一个一次项系数一半的平方
4.变为完全平方式,用直接开平方法求解
③公式法:
④因式分解法:
1.形如,用提取公因式,变为
2.形如,用平方差公式,变为
3.形如,用十字相乘法,变为
5、根的判别式:
Δ=,当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根
当Δ<0时,一元二次方程有两个相等的实数根
当Δ=0时,一元二次方程没有实数根
6、根与系数的关系:
一元二次方程有两个实数根,,则有
,.
用根与系数常见的类型:
①
②
③
④
7、实际应用:
①传播问题:
1.流感传播:
2.主干+支干+分支:
3.信息获得:
②握手问题:
1.单循环:
2.双循环:
③增长率(下降率)问题:
若起始量为,一年后的产量为,
1.增长率为,则有
2.下降率为,则有
若起始量为,两年后的产量为,
1.增长率为,则有
2.下降率为,则有
④利润问题:
单件利润=售价-进价利润率=利润/成本*100%
总利润=单价利润*销售量
⑤面积问题:
根据实际问题计算剩余面积.
⑥数字问题:
1.三个连续整数:
设中间为,则其余的两个为,
2.三个连续偶数(奇数):
设中间为,则其余两个,
3.两位数的表示方法:
若十位、个位分别为、,则这两位数
可表示为
二、二次函数
一次函数复习:
1、定义:
形如,其中,当时,一次函数变为,也叫
正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。
2、性质:
①当,时,的图像经过第一、二、三象限
②当,时,的图像经过第一、三、四象限
③当,时,的图像经过第一、二、四象限
④当,时,的图像经过第二、三、四象限
特别的,当时,,当时,的图像经过第一、三象限
当时,的图像经过第二、四象限
二次函数复习:
1、定义:
形如的函数叫二次函数,其中为自变量,是二次
项,是二次项系数;是一次项,是一次项系数;是常数项。
2、解析式:
①一般式:
对称轴:
顶点坐标:
②顶点式:
对称轴:
顶点坐标:
③交点式:
,与轴的两个交点,
3、判断方法:
①,即二次项系数不能为0
②未知数最高次数为2
③是整式
4、图像和性质:
①图像:
都是一条抛物线
②开口方向:
与有关,,开口向上;,开口向下
③开口大小:
与有关,越大,开口越小;越小,开口越大
以一般式为例:
④对称轴:
⑤顶点坐标:
⑥最值:
时,时,
时,时,
⑦增减性:
时,在对称轴的左侧,随的增大而增大
在对称轴的右侧,随的增大而减小
时,在对称轴的左侧,随的增大而增大
在对称轴的右侧,随的增大而减小
所有二次函数的性质总结表
函数
性质
图像
开口方向
开口大小
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
都是一条抛物线
与有关。
时,开口向上;时,开口向下。
与有关。
越大,开口越小;越小,开口越小。
轴
,
,
在对称轴的左侧,随的增大而增大。
在对称轴的右侧,随的增大而减小。
在对称轴的左侧,随的增大而增大。
在对称轴的右侧,随的增大而减小。
轴
,
,
,
,
,
,
5、平移规律:
左加右减(x轴),上加下减(y轴)
6、根据图像判断系数的大小:
①
②
③
④
⑤若二次函数与轴的交点为、,
则一元二次方程的两根为、。
7、二次函数解析式的求法:
①知道3个点的坐标,用一般式
②知道顶点坐标,用顶点式
③知道与轴的两个交点坐标,用交点式
8、实际应用:
①面积最值问题:
根据题意列出函数解析式,求最值
②利润最值问题:
单件利润=售价-进价总利润=单件利润*销售量
③实际抛物线问题:
先建立直角坐标系,求出函数解析式,在解决实际问题。
二次函数的实际问题要注意自变量x的取值范围。
三、旋转
旋转的复习:
1、旋转:
①定义:
在平面图形中绕某一点转动某一个角度叫做图形的旋转。
其中,这一定
点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角,相对应的点叫做对应点。
②三要素:
旋转中心:
在对应点连线的垂直平分线上
旋转角:
范围0-360度
旋转方向:
顺时针旋转、逆时针旋转
③性质:
1.对应点到旋转中心的距离相等
2.对应点与旋转中心的连线所形成的夹角为旋转角,旋转角相等。
3.旋转前后的图形全等
2、中心对称:
①定义:
把一个图形绕着某一点旋转180度,如果它能和另一个图形重合,
我们就说这两个图形成中心对称。
其中,这一定点为对称中心,旋
转后所对应的点为对称点。
②性质:
1.成中心对称的两个图形,对称点的连线都经过对称中心,并且被
对称中心所平分。
反过来,如果两个图形的对称点的连线经过对
称中心,并且被对称中心所平分,则这两个图形成中心对称。
2.成中心对称的两个图形全等
③中心对称与轴对称的区别:
中心对称
轴对称
1.有一个对称中心是个点
1.有一个对称轴是条直线
2.图形绕对称中心旋转180度后重合
2.图形沿对称轴翻折180度后重合
3.对应点的连线都经过对称中心,并
被对称中心所平分
3.对称点的连线被对称轴垂直平分
3、对称点的坐标:
①关于轴对称:
横坐标不变,纵坐标为相反数,
②关于轴对称:
横坐标为相反数,纵坐标不变,
③关于原点对称:
横、纵坐标都为相反数,
④点与点关于点对称,则有,
四、圆
圆的知识点:
1、圆:
①定义:
在一个平面内,线段绕固定的一点旋转360度后所形成的图形为圆。
这一固定的点为圆心,线段为圆的半径。
②确定一个圆的要素:
1.圆心(定点):
决定圆的位置
2.半径(定长):
决定圆的大小
③圆的特征:
1.圆上各点到圆心的距离相等,都等于半径。
2.到定点的距离都等于定长的点在同一个圆上。
④圆的相关定义:
1.弦:
圆上任意两点之间的线段叫弦。
2.直径:
经过圆心的弦叫直径。
直径是最长的一条弦。
3.弧:
圆上任意两点之间的部分角弧。
弧有优弧和劣弧之分。
4.半圆:
直径把圆分为相等两部分,把弧分为相等的两半,每一
半都是一个半圆,半圆是弧。
2、圆的对称性:
①圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
②圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。
3、垂径定理:
①定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
②推论:
1.平分弦(这条弦不能是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对
的两条弧。
2.弦的垂直平分线一定经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
3.平分弦所对的一条弧的直径则一定垂直于弦,并且平分弦所对的
另一条弧。
4.在同圆中,若两条弦互相平行,那么这两条平行弦所夹的弧相等。
(直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧,这三个条件满足其一,剩下的必定满足)
4、圆心角:
①定义:
顶点在圆心上,并且与圆相交的角叫做圆心角。
②定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
③推论:
1.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那它所对的圆心角相等,所对
的弧也相等。
2.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那它所对的圆心角相等,所对
的弦也相等。
(两个圆心角、两条弦、两条弧,这三个条件满足其一,剩下的也必定满足)
5、弦心距:
①定义:
圆心到弦的距离叫做弦心距。
②定理:
在同圆或等圆中,如果两条弦的弦心距相等,那么这两条弦也相等。
反过来,如果两条弦相等,则这两条弦心距也相等。
6、圆周角:
①定义:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角为圆周角。
②定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
③推论:
1.同弧或等弧所对的圆周角相等。
2.直径所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径。
7、圆内接四边形:
①定义:
如果一个四边形的所有顶点都是同一个圆上,这个四边形就叫
圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的内接圆。
②性质:
1.圆内接四边形的对角互补。
2.圆内接四边形的外角等于它的内对角。
8、点和圆的位置关系:
圆的半径为,点到圆心的距离为,则有:
①②③
9、确定圆的条件:
不在同一条直线上的三点确定一个圆。
10、三角形的外接圆:
①定义:
经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形
的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形。
②三角形外接圆的圆心:
1.定义:
三角形外接圆的圆心是三条边垂直
平分线的交点。
2.位置:
①锐角三角形外接圆的圆心在三角形内
②钝角三角形外接圆的圆心在三角形外
③直角三角形外接圆的圆心在斜边的中
点上。
直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半,又等于斜边上的中线,即
③外心:
1.定义:
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
2.性质:
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,都等
于三角形外接圆的半径。
11、反证法:
①定义:
先假设命题的结论不成立,经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假
设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法。
②适用范围:
反证法主要用来证明直接证法不易证明或不能证明的命题。
12、直线和圆的位置关系:
圆的半径为,圆心到直线的距离为,则有:
①
②
③
注意:
如果直线上的一点到圆心的距离等于半径,那这条直线与圆的
位置关系为相交或相切。
13、圆的切线:
①切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②切线的判定方法:
1.定义:
直线与圆只有一个公共点,这条直线与圆相切
2.数量关系:
圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切
3.判定定理:
经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线
③切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径。
14、切线长:
①定义:
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆
的切线长。
②定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心
的连线平分两条切线的夹角。
15、三角形内切圆:
①定义:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
②三角形内切圆的圆心:
1.定义:
三角形内切圆的圆心是三角形三个
角平分线的交点
2.位置:
三角形内切圆的圆心都在三角形内
直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和减去斜边的差的一半,即
③内心:
1.定义:
三角形内切圆的圆心也叫做三角形的内心。
2.性质:
三角形的内心到三角形三条边的距离相等,都等于
三角形内切圆的半径。
三角形的外接圆与内切圆以及外心和内心的对比
图形
圆的名称
的名称
圆心的确定
心的性质
心的位置
圆是的外接圆
是圆的内接三角形
圆心是三角形三条边垂直平分线的交点(也叫外心)
外心到三角形三个顶点的距离相等,都等于半径。
锐角三角形:
外心在三角形的内部。
钝角三角形:
外心在三角形的外部。
直角三角
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