第17章勾股定理全章导学案Word文件下载.docx
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求证:
a2b2c2
证明:
4SA+S小正=S
根据的等量关系:
由此我们得出:
2.归纳定理:
直角三角形两条的平方和等于的平方.
三、当堂检测
注意:
在用勾股定理求第三边时,分不清直角三角形的斜边和直角边;
另外不论是否是直角三角形就用勾股定理;
为了避免这些错误的出现,在解题中,同学们一定要找准直角边和斜边,同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.
1、下列说法正确的是()
A.若a、b、c是厶ABC的三边,贝Ua2b2c2
B.若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2b2c2
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边,A90,则a2b2c2
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边,C90,则a2b2c2
2、在Rt△ABC/C=90°
(1)已知a=b=5,求c
(2)已知a=1,c=2,求b(3)已知c=17,b=8,求a
3、
(1)若一个直角三角形的两直角边分别为3和4,则第三边的长为多少?
(2)若一个直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边的长为多少?
四、课后练习
1、直角三角形的一直角边长6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为_
2、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的为
3、已知,如图在△ABC中,AB=BC=CA=2,AD是边BC上的高.
求①AD的长;
②厶ABC的面积.
4、如图,已知在厶ABC中,CDLAB于D,AO20,BO15,D吐9。
(1)求DC的长。
(2)求AB的长。
C
5、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。
17.1勾股定理
(2)
1•会用勾股定理解决简单的实际问题。
2•树立数形结合的思想。
3•经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法。
4•培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值。
重点:
勾股定理的应用。
实际问题向数学问题的转化。
1.预习新知
1.①在解决问题时,每个直角三角形需知道几个条件?
2直角三角形中哪条边最长?
2.在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC长.
问题
(1)在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系?
(2)一个门框的尺寸如图1所示.
1若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过?
2若薄木板长3米,宽1.5米呢?
3
若薄木板长3米,宽2.2米呢?
为什么?
课堂展示例:
如图2,一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.
1求梯子的底端B距墙角O多少米?
2如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.
算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数).
O
OB
D
BD图2O
三•随堂练习
1.书上P26练习1、2
2•小明和爸爸妈妈^一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵
红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是米'
3.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是43米,
则这两株树之间的垂直距离是米,水平距离
是米。
C
四.课堂检测
1.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是。
2.如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一公里造价为300万元,隧道总长为2公里,隧道造价为500万元,AC=80公里,BC=60公里,则改建后可省工程费用是多少?
B
3.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,/B=60°
则江面的宽度为。
4.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去
盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为米。
5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、
两点,PQ=16厘米,且RP丄PQ贝URQ厘米。
6.如图3,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,
其面积分别用S「勺、S3表示,容易得出S「S2、S3之间有的关系式
变式:
如图4.
图3
图4
17.1勾股定理(3)
1、能利用勾股定理,根据已知直角三角形的两边长求第三条边长;
并在数轴上表示无理数。
2、体会数与形的密切联系,增强应用意识,提高运用勾股定理解决问题的能力
一、忆一忆
勾股定理的内容
(一)、探究:
我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示13的点吗?
分析:
(1)如果能画出长为的线段,就能在数轴上画出表示413的点
(2)由勾股定理知,长为42的线段是两条直角边都为的直角三角形的斜边。
长为,13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗?
由勾股定理,可以发现,长为吊的线段是直角边为正整数、的直
角三角形的斜边。
作法:
在数轴上找到点A,使OA=,作直线I垂直于OA在I上取点B,
使AB=,以原点0为圆心,以0B为半径作弧,弧与数轴的交点C即为表示
.13的点。
2.在数轴上画出表示.17的点?
(尺规作图)
(二八想一想
1.如图:
螺旋状图形是由若干个直角
三角形所组成的,其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。
那么0A=0A=
0A=,0A=,0A=,0A=,0A=,…,0A4=一…,0A=.思考:
利用课本上的方法能找出表示.6和'
280的点吗?
我的回答是:
、当堂检测
1•已知直角三角形中30°
角所对的直角边长是23cm则另一条直角边的长是
A.4cmB.4..3cmC.6cmD.6,3cm
2.^ABC中,A吐15,AC=13,高AD=12,则厶ABC的周长为()
A.42B.32C.42或32D.37或33
3.一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.
如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动()
4.
如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开
拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”•他们仅仅
少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
5.等腰△ABC勺腰长A吐10cm底BC为16cm则底边上的高为,面积
为.
1•体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。
2•理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点:
掌握勾股定理的逆定理及证明。
学习难点:
勾股定理的逆定理的证明。
一、互动冲浪
(一)、合作探究
1、怎样判定一个三角形是直角三角形?
2.画厶ABC使a=3,b=4,c=5,量出/C的度数;
若改a=2.5,b=6,c=6.5,再量出/C的度数.
猜想:
如果三角形的三边长a、b、c,满足a2b2c2,那么这个三角形是
三角形
这个猜想的题设是:
结论是:
该猜想的—.'
3、如果两个命题的题设、结论正好相反,那么这样的两个命题叫做
命题,若把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的命题.譬如:
1原命题:
若a=b,则a2=b2;
•逆命题:
.(正确吗?
答_)
2原命题:
对顶角相等;
逆命题:
答)
由此可见:
原命题正确,它的逆命可能命题,不正确的命题叫假命题验证猜想•…
△ABC中,BC+AC=AW;
/C=90°
.
作Rt△AB'
C'
使/C=90
B'
=BOa,A'
C=AOb.
通过证明,我发现勾股定理的逆命题是的,它也是一个,我们
把它叫做勾股定理的.
(二八回顾与归纳
1、勾股定理是直角三角形的定理;
勾股定理的逆定理是直角三角形的定理.
2、已知三角形的三边长,判断该三角形是不是直角三角形的步骤是:
1先算两条短边的再算最长边的;
2把作比较;
3作出」
3、勾股数的特征:
①是个数;
②满足条件.
二、当堂检测
1、任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有
2、“两直线平行,内错角相等。
”的逆定理是o
3、一个三角形的三边之比为3;
4:
5,这个三角形的形状是.
4、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是.
5、适合下列条件的厶ABC中,直角三角形的个数为()
①a-,b-,c
1;
—J
②a
6,ZA=45,;
③ZA=32),ZB=58;
34
5
④a7,b24,c
25;
⑤a
2,b2,c4.
A.2个;
B.3
个;
C.4
D.5个.
&
三角形的三边长为
(ab)2
c2
2ab,则这个三角形是()
A.等边三角形;
B.
钝角三角形;
C.直角三角形;
D.锐角三角形.
三、课后作业
1.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确。
⑴如果a3>
0,那么a2>
0;
()
⑵如果三角形有一个角小于90°
那么这个三角形是锐角三角形;
⑶如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等;
()
2.在△ABC中,am2n2,b=2mr,cm2n2,则△ABC是三角形。
3.若三角形的三边是⑴1、.3、2;
(2)5,7,12;
⑶32,42,52⑷9,40,41;
则构成的是直角三角形的有()A.1个B.2个C.3个D.0个
4.已知:
在△ABC中,ZA、/B、/C的对边分别是a、b、c,分别为下列长度,判断该三角形是否是直角三角形?
并指出那一个角是直角?
⑴a=9,b=41,c=40;
⑵a=15,b=16,c=6;
⑶a=2,b=23,c=4;
⑷a=5k,b=12k,c=13k(k>
0)o
角形.
1.会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形
2.培养逻辑推理能力,体会“形”与“数”的结合。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理的应用
一、自学导航
女口图,四边形ABCD,AD//BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。
求:
四边形ABCD的面积。
归纳:
求不规则图形的面积时,要把不规则图形
、互动冲浪
1•“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”
号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海里•如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
\
/
LA
I)3
图18.2-3
2•如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算一下产量。
小明找了一卷米
尺,测得AB=4米,BC=3米,CD=13米,已知/B=90°
。
1、若厶ABC的三边ab、c,满足(a—b)(a2+b2—c2)=0,则厶ABC是()
A•等腰三角形;
B.直角三角形;
C.等腰三角形或直角三角形;
D.等腰直角三角形。
2、小强在操场上向东走80m后,又走了60m,再走100m回到原地。
小强在操
场上向东走了80m后,又走60m的方向是。
3、若厶ABC的三边a、b、c,满足a:
b:
c=1:
1:
2,试判断厶ABC的形状。
313
4、已知:
如图,四边形ABCD,AB=1,BC=3,CD=13,AD=3,且AB丄BC
44
四、课后作业
1、已知△ABC的三边为a、b、c,且a+b=4,ab=1,c=.14,试判定厶ABC的形状。
2、如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点且
EC=—BC,求证:
/EFA=90。
.
4
第十七章勾股定理复习
学习目标
1.理解勾股定理的内容,已知直角三角形的两边,会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理,判断直角三角形.
重点:
掌握勾股定理及其逆定理.
理解勾股定理及其逆定理的应用.
一.复习回顾
1.勾股定理:
(1)直角三角形两直角边的和等于的平方.就是说,对于任意的直
角三角形,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有:
.这就是勾股定理.
(2)勾股定理揭示了直角三角形—之间的数量关系,是解决有关线段计算问题的重要依据.
a2c2b2,b2c2a2,cJa2b2avc2b2,bvc2a2
J・
勾股定理的探索与验证,一般采用“构造法”.通过构造几何图形,并计算图形面积得出一个等式,从而得出或验证勾股定理.
2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形为.”
这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法•定理的证明采用了构造法•利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2),先构造一个直角边为a,b的直角三角形,由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS证明两个三角形全等,证明定理成立.
3.勾股定理的作用:
(1)已知直角三角形的两边,求第三边;
(2)在数轴上作出表示山(n为正整数)的点.
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,它不仅可以判定三角形是否为直角三角形,还可以判定哪一个角是直角,从而产生了证明两直线互相垂直的新方法:
利
用勾股定理的逆定理,通过计算来证明,体现了数形结合的思想.
222
(3)三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边,若abc,则三角形
99999
是直角三角形;
若abc,则三角形是锐角三角形;
若abc,则三角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边.
二.课堂展示
例1:
如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm,那么这个三角形的周
长和面积分别是多少?
例2:
如图,在四边形ABCD^,/C=90°
AB=13BC=4CD=3AD=12求证:
AD丄BD
4.课堂检测
当它把绳
1.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m
子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为()
A.8cm
B.10cm
C.12cm
D.14cm
2.在厶ABC中,ZC=90°
,若a=5,b=12,贝Uc=
3.等腰△ABC的面积为12cm2底上的高AD=3cm,则它的周长为.
4.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为.
5.一个三角形的三边的比为5:
12:
13,它的周长为60cm,则它的面积是.
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