遵义市近十年中考数学建模类型试题的分析Word文档下载推荐.docx
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(1)65岁及以上人口占全市常住人口的百分比是;
(2)我市2010年常住人口约为万人(结果保留四个有效数字);
(3)与2000年我市常住人口654.4万人相比,10年间我市常住人口减少万人;
(4)2010年我市每10万人口中具有大学文化程度人数比2000年增加了多少人?
分析:
(1)根据扇形图其他两段的人数百分比即可得出65岁人数的百分比;
(2)根据
(1)中所求,即可得出2010年常住人口;
(3)利用
(2)中数据即可得出2000年我市常住人口654.4万人相比,10年间我市常住人口减少的人数;
(4)根据2000年每10万人具有大学文化程度人数的3倍少473人,2010年我市常住人口中,每10万人就有4402人具有大学文化程度,即可得出2000年人数.
解:
(1)1-67.13%-23.60%=9.27%;
(2)56.8÷
9.27%≈612.7万;
(3)654.4万-612.7万=41.7万;
(4)∵2000年每10万人具有大学文化程度人数的3倍少473人,2010年我市常住人口中,每10万人就有4402人具有大学文化程度,
∴2000年具有大学文化程度人数为:
(4402+473)÷
3=1625人,
∴2010年我市每10万人口中具有大学文化程度人数比2000年增加4402-1625=2777人.
此题主要考查了扇形图的综合应用,注意小题之间的联系以及计算正确性.
2.建立“方程(组)”模型
现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系,“方程(组)”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型,它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。
诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题,常可以抽象成“方程(组)”模型,通过列方程(组)加以解决
例3.(2007•遵义)某中学准备改造面积为1080m2的旧操场,现有甲、乙两个工程队都想承建这项工程.经协商后得知,甲工程队单独改造这操场比乙工程队多用9天;
乙工程队每天比甲工程队多改造10m2;
甲工程队每天所需费用160元,乙工程队每天所需费用200元.
(1)求甲乙两个工程队每天各改造操场多少平方米?
(2)在改造操场的过程中,学校要委派一名管理人员进行质量监督,并由学校负担他每天25元的生活补助费,现有以下三种方案供选择.
第一种方案:
由甲单独改造;
第二种方案:
由乙单独改造;
第三种方案:
由甲、乙一起同时进行改造;
你认为哪一种方案既省时又省钱?
试比较说明.
用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系,本题中2个等量关系为:
“甲工程队单独改造这操场比乙工程队多用9天”和“乙工程队每天比甲工程队多改造10m2.”根据这两个等量关系可列出方程组.
解答:
解:
(1)设甲乙两个工程队每天各改造操场x,y平方米,
则
解得x=30,y=40
答:
(2)由甲单独改造
由乙单独改造
由甲、乙一起同时进行改造
所以,甲乙合作最省钱.
解题关键是弄清题意,合适的等量关系:
“甲工程队单独改造这操场比乙工程队多用9天”和“乙工程队每天比甲工程队多改造10m2.”列出方程组.
例4.(2006•遵义)一商场有A、B、C三种型号的先锋牌DVD和D、E两种型号的明基牌DVD,某中学准备从这两种品牌的DVD中各选购一种型号安装到各班教室.
品牌
先锋
明基
型号
A
B
C
D
E
单价(元)
600
400
250
500
200
(1)写出所有的选购方案(利用树状图或列表方法表示);
(2)如果
(1)中的各种选购方案被选中的可能性相同,那么A型号DVD被选中的概率是多少?
(3)已知该中学用1万元人民币购买了先锋和明基两种品牌的DVD共32台(价格如下表),其中先锋牌DVD选A型号的,明基牌可选D或E型号,请你通过计算写出其中正确的购买方案,并求出购买到A型号DVD多少台?
考点:
列表法与树状图法;
一元一次方程的应用.
专题:
方案型.
(1)
(2)此题需要两步完成,所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单;
解题时要注意是放回实验还是不放回实验,此题属于放回实验;
(3)考查了学生利用方程解实际问题的能力,要注意找到等量关系.
(1)画树状图得:
选购方案有(A,D),(A,E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E)6种;
(2)A型号DVD被选中有两种方案,即(A,D)和(A,E),所以P(A)=
(3)设购买到x台A型号的DVD,
①若明基牌选D型号,则有600x+500(32-x)=10000,解得x=-60(舍去),
②若明基牌选E型号,则有600x+200(32-x)=10000,解得x=9,
∴正确的购买方案是(A,E),且购买到A型号的DVD9台.
点评:
(1)
(2)此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;
树状图法适合两步或两步以上完成的事件;
解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.
(3)选择方案的题目是近来中考的热点,要注意等量关系的确定.
3.不等式模型
在现实世界中,正如相等关系一样不等关系也是普遍存在的,如在市场经营、生产决策和社会生活中的估计生产数量、核定价格范围、盈亏平衡分析、投资决策等许多问题中,很难确定(有时也不需要)具体的数值,则可挖掘实际问题所隐含的数量关系,建立不等式(组)模型,进而解决实际问题.
例5.(2005•遵义)某工厂有20名工人,每人每天加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这20名工人当中,派x人加工甲种零件,其余的加工乙种零件,已知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可以获利24元.
(1)写出此工厂每天所获利润y(元)与x(人)之间的函数关系式(只要求写出解析式)
(2)若要使工厂每天获利不低于1800元,问至少要派多少人加工乙种零件.
(1)某工厂有20名工人,x人加工甲种零件,则加工乙种零件的人数是20-x人.
每天工厂加工甲种零件的利润=一个甲种零件利润×
每人每天加工甲种零件数×
加工甲种零件工人数;
每天工厂加工乙种零件的利润=一个乙种零件利润×
每人每天加工乙种零件数×
加工乙种零件工人数.
(2)要使工厂每天获利不低于1800元,即加工两种零件的利润和≥1800,解出x即可知至多要派多少人加工甲种零件,则至少要派加工乙种零件的工人数也可知.
解答:
(1)由题意得y=16×
5x+24×
4(20-x)=-16x+1920;
(2)由题意得-16x+1920≥1800,解得x≤,
∵x是整数,
∴若要使工厂每天获利不低于1800元,加工甲种零件至多派工人7人.
∴至少派13名加工乙种零件.
(1)y=-16x+1920;
(2)若要使工厂每天获利不低于1800元,至少要派13人加工乙种零件.
本题考查的是用一次函数解决实际问题,此类题是近年中考中的热点问题.注意利用一次函数求最值时,关键是应用一次函数的性质;
即由函数y随x的变化,结合自变量的取值范围确定最值.
例6.(2008•遵义)某超市销售有甲、乙两种商品,甲商品每件进价10元,售价15元;
乙商品每件进价30元,售价40元.
(1)若该超市同时一次购进甲、两种商品共80件,恰好用去1600元,求能购进甲乙两种商品各多少件?
(2)该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润(利润=售价-进价)不少于600元,但又不超过610元,请你帮助该超市设计相应的进货方案.
一元一次不等式的应用;
应用题;
压轴题;
依据等量关系“购进甲、乙两种商品共80件,恰好用去1600元”列方程求得甲、乙两种商品的件数,然后依据不等关系“总利润不少于600元,但又不超过610元”列出不等式组,通过解不等式组来确定“进货方案”.
(1)设甲商品进了a件,则乙种商品进了(80-a)件,依题意得:
10a+(80-a)×
30=1600,
解得:
a=40,
即甲种商品进了40件,乙种商品进了80-40=40件.
(2)设购买甲种商品为x件,则购买乙种商品为(80-x)件,依题意可得:
(15−10)x+(40−30)(80−x)≥600
(15−10)x+(40−30)(80−x)≤610,
38≤x≤40.
即有三种方案,分别为甲38件,乙42件或甲39件,乙41件或甲40件,乙40件.
利用方程和不等式组解答的“方案设计题”是中考的热点考题,其关键点就是通过解不等式组求得某一个未知量的整数解,从而确定“设计方案”.
例7.(2009•遵义)甲、乙两家体育器材商店出售同样的羽毛球拍和羽毛球,每副球拍定价80元,每盒羽毛球定价20元,为促销,甲商店规定每买一副羽毛球拍赠送两盒羽毛球,乙商店规定所有商品打九折出售,阳光中学羽毛球队两副羽毛球拍,羽毛球若干盒(不少于4盒),设该校要买羽毛球x盒,所需商品在甲商店购买需用y1元,若在乙商店购买需用y2元.
(1)请分别求y1与x,y2与x的函数关系式;
(2)若决定在乙商店购买,且要比在甲商店购买便宜,那么至少要买多少盒羽毛球?
(1)根据题意(甲和乙的销售方式:
y1=80×
羽毛球拍数量+20×
(所需羽毛球盒数-赠送的羽毛球盒数),y2=80×
0.9×
所需羽毛球盒数)列式即可表示函数关系式;
(2)根据题意(在乙商店购买比在甲商店购买便宜)可列不等式,解不等式根据实际意义取整数解即可求解.
(1)y1=80×
2+20(x-4)=20x+80
y2=80×
2+20×
0.9x=18x+144;
(2)根据题意得
20x+80>18x+144
解得x>32
∵在乙商店购买,且要比在甲商店购买便宜,x为整数
∴至少要买33盒羽毛球.
本题根据实际问题考查了一次函数的运用.注意根据题意列不等式在此类问题中讨论如何购买合算是常用的一种方法.
例8.(2011•遵义)“六•一”儿童节前,某玩具商店根据市场调查,用2500元购进一批儿童玩具,上市后很快脱销,接着又用4500元购进第二批这种玩具,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了10元.
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元?
(2)如果这两批玩具每套售价相同,且全部售完后总利润不低于25%,那么每套售价至少是多少元?
(1)设第一批玩具每套的进价是x元,则第一批进的件数是:
,第二批进的件数是
,
再根据等量关系:
第二批进的件数=第一批进的件数×
1.5可得方程;
(2)设每套售价是y元,利润=售价-进价,根据这两批玩具每套售价相同,且全部售完后总利润不低于25%,可列不等式求解.
(1)设第一批玩具每套的进价是x元,
x=50,
经检验x=50是分式方程的解,符合题意.
故第一批玩具每套的进价是50元;
(2)设每套售价是y元,(套).
50y+75y-2500-4500≥(2500+4500)×
25%,
y≥70,
那么每套售价至少是70元.
本题考查理解题意的能力,关键是根据价格做为等量关系列出方程,根据利润做为不等辆关系列出不等式求解.
例9.(2012•遵义)为了促进节能减排,倡导节约用电,某市将实行居民生活用电阶梯电价方案,图中折线反映了每户每月用电电费y(元)与用电量x(度)间的函数关系式.
(1)根据图象,阶梯电价方案分为三个档次,填写下表:
档次
第一档
第二档
第三档
每月用电量x(度)
0<x≤140
140<x≤230
x>230
(2)小明家某月用电120度,需交电费元;
(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式;
(4)在每月用电量超过230度时,每多用1度电要比第二档多付电费m元,小刚家某月用电290度,交电费153元,求m的值.
一次函数的应用.
(1)利用函数图象可以得出,阶梯电价方案分为三个档次,利用横坐标可得出:
第二档,第三档中x的取值范围;
(2)根据第一档范围是:
0<x≤140,利用图象上点的坐标得出解析式,进而得出x=120时,求出y的值;
(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为:
y=ax+c,将(140,63),(230,108)代入得出即可;
(4)分别求出第二、三档每度电的费用,进而得出m的值即可.
第二档:
140<x≤230,第三档x>230;
0<x≤140,
根据图象上点的坐标得出:
设解析式为:
y=kx,将(140,63)代入得出:
k=
故y=0.45x,
当x=120,y=0.45×
120=54(元),
故答案为:
54;
y=ax+c,
将(140,63),(230,108)代入得出:
140a+c=63
230a+c=108
a=c=−7
则第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为:
y=
(140<x≤230);
(4)根据图象可得出:
用电230度,需要付费108元,用电140度,需要付费63元,
故,108-63=45(元),230-140=90(度),
45÷
90=0.5(元),
则第二档电费为0.5元/度;
∵小刚家某月用电290度,交电费153元,
290-230=60(度),153-108=45(元),
60=0.75(元),
m=0.75-0.5=0.25,
m的值为0.25.
此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式,利用图象获取正确信息是解题关键.
4.函数模型
函数反映了事物之间的广泛联系,揭示了现实世界数量关系和运动、变化规律.对于现实生活中普遍存在的最优化问题,如用料最省、成本最低、利润最大等,可透过实际背景,建立函数模型,转化为求函数最值问题.
(2008•遵义)小强利用星期日参加了一次社会实践活动,他从果农处以每千克3元的价格购进了若干千克草莓到市场上销售,在销售了10千克时,收入50元,余下的他每千克降价1元出售,全部售完,两次共收入70元,已知在降价前销售收入Y(元)与销售重量X(千克)之间成正比例关系,请你根据以上信息解答下列问题:
(1)求降价前销售收入Y(元)与售出草莓重量X(千克)之间的函数关系式;
并画出
其函数图象;
(2)小强共批发购进多少千克草莓?
小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区,那么小强的捐款为多少元?
由题目可以看出:
销售收入y(元)与售出草莓重量x(千克)之间是正比例关系,因此可以设y=kx,利用待定系数法求函数的解析式.
(1)∵50÷
10=5
∴关系式为y=5x,函数如图
(2)70-50=(5-1)x,解得x=5,所以,共购进草莓为10+5=15千克,
共捐款为70-15×
3=25(元).
共购进草莓15千克,小强的捐款为25元.
本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题,由此看来一次函数是常用的解答实际问题的数学模型,是中考的常见题型
例10.(2006•遵义)我市某停车场在“五•一”节这天停放大小车辆共300辆次.该停车场的收费标准为:
大车每辆次5元,小车每辆次3元.解答下面的问题:
(1)写出“五•一“节这天停车场收费总金额y(元)与大车停放辆次x(辆)之间的函数关系式;
(2)如果“五•一“节这天停放大车辆次占停车总辆次的15%~35%.请你估计“五•一”节这天停车场收费金额的范围.
(1)只要注意300两次是大车与小车这和就行了;
(2)先根据百分数求出大车的数量,再代入解析式进行计算.
(1)y=5x+3(300-x)=2x+900
(2)因为300×
15%=45,300×
35%=105
所以,当x=45时,y=2×
45+900=990.
当x=105时,y=2×
105+900=1110,
故“五•-“节这天停车场收费金额的范围为:
990≤y≤1110.
本题是贴近社会生活的应用题,赋予了生活气息,使学生真切地感受到“数学来源于生活”,体验到数学的“有用性”.这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景-建立模型-解释、应用和拓展”的数学学习模式.
例11.(2010•遵义)某酒厂每天生产A,B两种品牌的白酒共600瓶,A,B两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如下表:
设每天生产A种品牌白酒x瓶,每天获利y元.
(1)请写出y关于x的函数关系式;
(2)如果该酒厂每天至少投入成本26400元,那么每天至少获利多少元?
A
B
成本(元/瓶)
50
35
利润(元/瓶)
20
15
(1)A种品牌白酒x瓶,则B种品牌白酒(600-x)瓶;
利润=A种品牌白酒瓶数×
A种品牌白酒一瓶的利润+B种品牌白酒瓶数×
B种品牌白酒一瓶的利润,列出函数关系式;
(2)A种品牌白酒x瓶,则B种品牌白酒(600-x)瓶;
成本=A种品牌白酒瓶数×
A种品牌白酒一瓶的成本+B种品牌白酒瓶数×
B种品牌白酒一瓶的成本,列出方程,求x的值,再代入
(1)求利润.
(1)A种品牌白酒x瓶,则B种品牌白酒(600-x)瓶,依题意,得
y=20x+15(600-x)=5x+9000;
(2)A种品牌白酒x瓶,则B种品牌白酒(600-x)瓶,依题意,得
50x+35(600-x)=26400,解得x=360,
∴每天至少获利y=5x+9000=10800.
根据题意,列出利润的函数关系式及成本的关系式,固定成本,可求A种品牌酒的瓶数,再求利润.
5.几何或三角模型
在现实中我们经常会遇到如测高、测距、航海、拦水坝、人字架等实际问题,一般说来,这些问题的解决通常可建立三角模型,转化为解三角形问题没.几何与人类生活密切相关.诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复残轮和跑道设计等应用问题,都涉及到一定几何图形及其性质,这就需要建立几何模型,转化为几何问题进行求解.
例12.(2013•遵义)我市某中学在创建“特色校园”的活动中,将本校的办学理念做成宣传牌(AB),放置在教学楼的顶部(如图所示).小明在操场上的点D处,用1米高的测角仪CD,从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°
,然后向教学楼正方向走了4米到达点F处,又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°
.已知教学楼高BM=17米,且点A,B,M在同一直线上,求宣传牌AB的高度(结果精确到0.1米,参考数据:
,sin37°
≈0.60,cos37°
≈0.81,tan37°
≈0.75).
首先
,解此方程即可求得答案.
过点C作CN⊥AM于点N,则点C,E,N在同一直线上,
设AB=x米,则AN=x+(17-1)=x+16(米),
在Rt△AEN中,∠AEN=45°
∴EN=AN=x+16,
在Rt△BCN中,∠BCN=37°
,BM=17,
∴
经检验:
是原分式方程的解.
宣传牌AB的高度约为1.3m.
此题考查了仰角的定义.注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键.
例13.(2007•遵义)如图所示,小明家住在32米高的A楼里,小丽家住在B楼里,B楼坐落在A楼的正北面,已知当
地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°
.
(1)如果A,B两楼相距米,那么A楼落在B楼上的影子有多长?
(2)如果A楼的影子刚好不落在B楼上,那么两楼的距离应是多少米?
(结果保留根号)
此题可根据A楼,地面和光线正好构成直角三角形,利用勾股定理求解.
(1)如图,过D作DE⊥CG于E,
∵ED=,∠CDE=30°
∴CE=DE•tan30°
=
故DF=EG=CG-C
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