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(3)该微分方程不含变量及其导数的高次幕或乘积项,所以该系统为线性系统,但第一项
tdc(t)
dt的系数为t,是随时间变化的变量,因此该系统为线性时变系统。
(4)因为c(t)的表达式中r(t)的系数为非线性函数cost,所以该系统为非线性系统。
(5)因为该微分方程不含变量及其导数的高次幕或乘积项,且各项系数均为常数,所以该系统为线性定常系统。
(6)因为c(t)的表达式中包含变量的二次项『(t),表示二次曲线关系,所以该系统为非线性系统。
0(t:
6)
a—
(7)因为c(t)的表达式可写为c(t)=ar(t),其中1(t-6),所以该系统可看作是线性时变系统。
第二章
2-3试证明图2-5(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
Q
/A7-W/7
Hr
(b)
分析首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式,然后两者进行对比,找岀两者之间系数的对应关系。
对于电网络,在求微分方程时,关键就是将元件利用复阻抗表示,电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数,然后变换成微分方程的形式,
关键就是系统的力学分析,然后利用牛顿定律列岀系统的方程,最后联立求微分方程。
证明:
(a)根据复阻抗概念可得:
&
+1
C2s
rt
r1C1:
C2Sr1
Uo
Ui
RRGCqS2+(RQ+R2C2+RC2)s+1
RiR2GC2s(r1c1r2c2RC2)1
C1s
d2u0du0
20(RC「R2C2R1C2)0u0二R1R2C1C2dtdt
取A、B两点进行受力分析,可得:
dxodxodx
f1(不盂)WFF頁一即
dxodx
整理可得:
d2x
叮2今
经比较可以看岀,电网络(a)和机械系统(b)两者参数的相似关系为
rr2c1c2
d2ui
dt2
dx
(f1K1f1K2f2K1)0-K1K2xo
d2xi
然后利用对于机械系统,
dui
(R1C1R2C2)iui
dt
1f2祚(gf2K1),K1K2X
11
K1,f^lR-i,K2,f2」R2
c1c2
2-5设初始条件均为零,试用拉氏变换法求解下列微分方程式,并概略绘制x(t)曲线,指
岀各方程式的模态。
⑴2x(t)x(t)二t;
(2)x(t)2x(t)x(t)-(t)。
2-7由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-6所示,试求闭环传递函数Uc(s)/U
r(s)。
图2-6
控制系统模拟电路
由图可得
Ri
R2Ro
U21
U1R)C2s
联立上式消去中间变量U1和U2,可得:
Uo(S)RR2
Uj(s)-r3r1C1C2s2R;
C2sr1r2
2-8某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。
已知电位器最大工作角度入ax=330°
,功
率放大级放大系数为K3,要求:
(1)分别求岀电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2;
画岀系统结构图;
图2-7位置随动系统原理图
分析:
利用机械原理和放大器原理求解放大系数,然后求解电动机的传递函数,从而画岀系统结
构图,求岀系统的传递函数。
3
-3010
10103
入(S)1
石二Tms2「K2K3KmKts
K0K1K2&
KmK°
K1K2K3Km
2-9若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时,零初始条件下的输岀响应qt)二1-。
^■e
试求系统的传递函数和脉冲响应。
利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示,进而求解出系统的传递函数,
然后对传递函数进行反变换求岀系统的脉冲响应函数。
R(s)」
(1)s,则系统的传递函数
.11.1s4s2
C(s)-
ss+2s+1s(s+1)(s+2)
R(s)(s+1)(s+2)
(2)系统的脉冲响应
C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。
2-10试简化图2-9中的系统结构图,并求传递函数
N
(b)图2-9题2-10系统结构图
分别假定R(s)=o和N(s)=O,画出各自的结构图,然后对系统结构图进行等效变换,将其化成最简单的形式,从而求解系统的传递函数。
(a)令N(s)=0,简化结构图如图所示:
C(s)G1G2
可求出:
R(s)_1(1HJGG令R(s)=0,简化结构图如图所示:
N(s)
C(s)G3G2〜(1GG2HJ
所以:
N(s)1G1G2G1G2H1
(b)令N(s)=0,简化结构图如下图所示:
■
G1G2
R
■
—O—►
G4「
-C*G2+G3
R(s)1G2G4G3G4
(s)=0,简化结构图如下图所示:
G2G3
G4
C(s)=
N(s)1■G2G4'
G3G4
2-12试用梅逊增益公式求图2-8中各系统信号流图的传递函数C(s)/R(s)j
图2-11题2-12系统信号流图
存在三个回路:
人=1G3H1G2G3H2G3G4H3
解:
(a)
存在两条前向通路:
R=GiG2G3GG5,也1=1
F2=G6,丄2八
C(s)GG2G3G4G5
G6
R(s)1G3H1G3G4H3G2G3H2
(b)9个单独回路:
Li-(2已丄2--G4H2,L3-(6日3丄4--G3G4G5H4,L5--G1G2G3G4G5G6H5
LG7G3G4G5G6H5,L7=-GGsGgH5,a=G7HiGgGeH5,L9=G&
H4Hi
6对两两互不接触回路:
三个互不接触回路1组:
L1L2L3
4条前向通路及其余子式:
R=GiG2G3G4G5G6,1=1;
£
=6763646566,2=1;
P3=-G7H1G8G6^3=1+G4H2;
Fi=G1G8G6,-4=1+G4H2
4
所以,
C(s)
R(s)
Pk兀
kJ:
96
1八La'
LbLc-dLs
a41
3-4已知二阶系统的单位阶跃响应为
h(t)=10-12.5esin(1.6t53.1°
)试求系统的超调量b%、峰值时间tp和调节时间ts。
解:
依题意
t=tp时h(tp),并且tp是使h(tp)第一次为零的时刻(tp一°
)
=1°
-12.5e(cos53.1°
sin1.6tsin53.1°
cos1.6t)
h(t)=15e'
.2tsin(1.6t53.1°
)-2°
e'
.2tcos(1.d53.1°
)=25e'
.2tsin1.6t
可见,当h(t)第一次为°
时,1.6tp=二一tp=1.96,所以
根据调节时间ts的定义:
°
.95he厂:
h(ts厂j.o5^:
),即
12t
9.5£
1°
-12.5ev°
.5,得
所以•"
%=9.5%tp=1.96sts=2.68s
3-5设图3-3是简化的飞行控制系统结构图,试选择参数K1和Kt,使系统con=6>
求出系统传递函数,如果可化为典型二阶环节形式,则可与标准二阶环节相对照,
从而确定相应参数。
解对结构图进行化简如图所示。
25Ki
"
(s)=s(s°
8)2江
仆25Ki(KtS+1)s+(0.^25K1Kt)^25K1故系统的传递函数为s(s'
°
,8)
和标准二阶系统对照后可以求出:
2“
国n2两一08
K1-=1.44,Ktn0.31
125t25K1
3-7已知系统特征方程如下,试求系统在s右半平面的根数及虚根值。
s6+4s5—4s4+4s3-7s2-8s+10=0
分析系统在右半平面的根数即为劳思表第一列符号改变的次数,虚根值可通过构造辅助函数求得。
解由系统特征方程,列劳思表如下
6s
1
-4
-710
5s
-8
4s
-5
10
3s
(出现了全零行,
要构造辅助方程)
由全零行的上一行构造辅助方程-5s4-5s2•10=0,对其求导,得
-20s—10s=0
故原全零行替代为
s3-20-10
s2-2.510
s1—90
s010
表中第一列元素变号两次,故右半s平面有两个闭环极点,系统不稳定。
42
对辅助方程-5s-'
5s/O=0化简得
(s2—1)(s22)=0①
由D(s)/辅助方程,得余因式为
(s-1)(s+5)=0②
求解①、②,得系统的根为
s,2==jV2电4=二1E=1民=-5
所以,系统有一对纯虚根。
3-9已知单位反馈系统的开环传递函数
(1)
G(s)
10(2s1)
~22
s(s6s100)
试求输入分别为r(t)二2t和r(t)=2•2t•t时,系统的稳态误差。
可分解
最后叠
用静态误差系数法求稳态误差比用误差传递函数求解更方便。
对复杂的输入表达式,
为典型输入函数的线性组合,再利用静态误差系数法分别求各典型输入引起的误差,加起来即为总的误差。
解
(1)
判别系统的稳定性
D(s)=(0.1s1)(s5)100=0
10D(s)=(s10)(s5)1000二s215s1050=0
s11050
s115
s1050
可见,劳思表中首列系数全部大于零,该系统稳定。
求稳态误差
K=100/5=20,系统的型别'
=0,
22
ess1===0.095
当n(t)=2时,1+心1+20
ess2=一=—
当,)=4时,ss2Kv0
所以,氐r_2t,
二oO
ess2
⑵判断稳定性22,:
.—:
D(s)二s(s10)(s5)500=s315s250s500s4110010
s3620
s96.710
1562
s
9
劳斯表中首列系数全部大于零,该系统稳定。
K=10/100=0.1,系统的型别訂=2,
=0
当r1(t)=2时,
002A20t
3-11设随动系统的微分方程为
Td2c(t)dc(t)
二K2u(t)
T12
u(t)+[r(t)-b(t)]
T2警b(t)=c(t)
其中,Ti、T2和K2为正常数。
若要求r(t)=1+t时,c(t)对r(t)的稳态误差不大于正常数&
0,试问K1应满足什么条件?
先求出系统的误差传递函数,再利用稳态误差计算公式,根据题目要求确定参数。
对方程组进行拉普拉斯变换,可得
(T;
s2s)C(s)=K2U(s)
U(s)=K1[R(s)-B(s)]
(T2s1)B(s)二C(s)
按照上面三个公式画出系统的结构图如下:
所以
K1K2T2SK1K2
(T1T2)ssK1K2
1_QKT2
—0k1k1-
,可得k2(;
oT2),因此,当k2(;
oT2)时,满足条件。
第四章
4-4设单位反馈控制系统开环传递函数如下,试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确
定分离点坐标d):
②起点:
p1=0,p2=-2,p3=-5;
没有零点,终点:
3条根轨迹趋向于无穷远处。
渐进线:
分离点:
求解得:
d1=-3.79(舍去),d2=_0.88;
作出根轨迹如图所示:
111
r=
④分离点:
dd0.5d1
d1°
29,d?
—1.707;
4-
6设单位反馈控制系统的开环传递函数如下,要求:
2*432**
D(s)-s(s10)(s20)K(sz^s30s200sKsKz=0
令s=j代入D(s)=0,并令其实部、虚部分别为零,即:
Re[D(j1)]=1_200+K*z=0,Im[D(j1)]=—30+K*=0解得:
K*=30,z=6.63
画出根轨迹如图所示:
30
20
10-
0
-10
-20
-30
-40>
-
-60-40
-200
4-10设单位反馈控制系统的开环传递函数
要求:
(1)画出准确根轨迹(至少校验三点);
⑵确定系统的临界稳定开环增益Kc;
(3)确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K。
利用解析法,采用逐个描点的方法画出系统闭环根轨迹。
然后将j'
代入特
征方程中,求解纯虚根的开环增益,或是利用劳斯判据求解临界稳定的开环增益。
对于临界
阻尼比相应的开环增益即为实轴上的分离点对应的开环增益。
d1八21.3,d2=-78.8(舍去);
di一-8.47
整理得d2=0.47(舍去)
出射角:
入=180°
arctan2-90°
=135°
根轨迹如图所示:
第五章
5-2若系统单位阶跃响应为
h(t)=1-1讨+0.8e^
试确定系统的频率特性。
分析先求出系统传递函数,用j'
替换s即可得到频率特性。
从h(t)中可求得:
h(0)=0,h(0)=0
R(s)之间
在零初始条件下,系统输出的拉普拉斯变换H(s)与系统输出的拉普拉斯变换
的关系为
H(s)=:
」(s)R(s)
令s=j'
,则系统的频率特性为
5-
7已知系统开环传递函数为
当取3=1时,•G(jJ=T80G(J3)|=0.5。
当输入为单位速度信号时,系统
的稳态误差为0.1,试写出系统开环频率特性表达式G(J3)。
根据系统幅频和相频特性的表达式,代入已知条件,即可确定相应参数。
由题意知:
K-10
当'
=1时,
■^G(j1)--90°
-arctanT2-arctanT|--180°
由上两式可求得T1二20,T2二0.05,因此
G(j)=
10(-j0.05■1)
j(20j■1)
5-14已知下列系统开环传递函数
(参数K、T、T
i>
0,i一1;
2,…,6)
K
(T1S-1)(T2s1)(T3S1)
(8)
(9)
s(「s1)(T2s1)
2s(Ts1)
K(「s1)
~~2
S2(T2S1)
_K(T1S1)(T2S1)
K(T5S1)(T6S1)
-s(T1s1)(T2s1)(T3s1)(T4s1)
_Ts-1
-K
-Ts1
s(Ts_1)
(10)
其系统开环幅相曲线分别如图5-6
(1)〜(10)所示,试根据奈氏判据判定各系统的闭环稳定
图5-6题5-8系统开环幅相曲线
由开环传递函数可知系统在右半平面开环极点个数P,由幅相曲线图可知包围点
(一1,j0)的圈数。
(1)P=°
N=-1
Z=P-2N=0-2(T)=2
所以系统在虚轴右边有2个根,系统不稳定。
(2)P=°
N=0
Z=P—2N=0-20=0
L
r
5)
U
M
所以系统在虚轴右边有0个根,系统不稳定。
(3)P2N—1
ZP-2N=0-2(-1)=2
(4)P7N=0
Z=P-2N=0-20=0
所以系统在虚轴右边有0个根,系统稳定。
(5)P7N「1
Z=P—2N=0-2(-1)=2
(6)P=0,N=0
ZP-2N0-20=0
(7)P=0,N=0
P=1,N二
(8)2
Z=P-2N=1-20
(9)P"
,N=0
ZP-2N1-20=1
所以系统在虚轴右边有1个根,系统不稳定。
P=1,N=
(10)2
Z=P_2N=1_2()=2
5-21设单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)二
as1
2~
S
根据相角裕度的定义计算相应的参数值。
G(「厂丄字严八°
0)
开环幅相曲线如图所示
以原点为圆心做单位圆,开环幅相曲线与单位圆交于
A点,在A点有
①
要求相角裕度J8O0=45°
,即
(•c)二arctanac-180°
=45°
-180°
=-135°
ac=1
联立①、②两式可求解得■'
C=1.19,a=0.84
第六早
G(s)K
6-2设单位反馈系统的开环传递函数
s(s+3)(s+9)
(1)如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超调量二%=20%,试确定K值;
(2)根据所求得的K值,求出系统在单位阶跃输入作用下的调节时间,以及静态速度误差
系数Kv;
(3)设计一串联校正装置,使系统的Kv一20s_l,二%叮5%乙减小两倍以上。
分析设计校正装置时,只要满足性能指标要求即可,所以确定K值时,通常选择满足
条件的最小K值。
解
(1)由高阶系统频域指标和与时域指标的关系式有:
•:
;
=0.160.4(Mr-1)
二-0.160.2-0.16d…
11=1.10.4
Mr
0.4
1Mr=.
sinr
V.1
二arcsin
Mr
=65.4。
000■.■■■c■-■■■c
又因为=180G(j»
180一90—arctan「arctan6
arctan生+arctan
因此
c=180。
-900-65.40=24.60
tan24.6二~~9
12c
1一27
整理得:
「c■26・21'
c一27=0
解得:
=二匕匕一2.27(舍去)
开环增益为:
39
21.5(Mr-1)2.5(Mr-1)2■:
ts
--6.83s
Kv
27
Kv20二K_540
(3)27
取K=540
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