习题六 样本及抽样分布解答Word文档格式.docx
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「2)的一个样本,则i服从
n挡
知参数。
13设总体X服从N(~匚2),X和S2分别为来自总体X的样本容量为n的样本均值和方
F(9,9)
设X1,X2/,Xn是取自正态总体X〜NC\-2)的
(Xj-X)2,则丫=n-1仪」)服从的分布是(nii
记S2诂肿”4匕Xi-X)2,『亠我-听
X-1
S4n-1
F(x)是X总体的
均值,则下列各选项中的量不是统计量的是(
则下列各选项中的量不是统计量的是(C)。
1n
s:
二^(Xj—・i)2,则服从自由度n—1的t分布的随机变量是T二(A);
nia
A.—X二b._X二c.—X]
s、、n-1S>
.n-1S3、n-1
5.设Fn(x)是经验分布函数,基于来自总体X的样本,而
分布函数,则下列命题错误的为,对于每个给定的x,Fn(x)
nXi2
D.min{Xi}
C.'
Q)2
i1、_
8.
设X「X2,…,Xn和分别来自两个正态总体N(-1,22)和N(2,5)的
样本,且相互独立,S2,S2分别为两个样本的样本方差,则服从F(7,9)的统计量
是(B)
和样本方差,则下面结论不成立的有(
1n„
X与rV(Xj—」)相互独立
CT\_i
C.X与一(Xi-X)相互独立D•
CTi4
1n_
10.设X「X2,…,Xn是正态总体N(」f2)的一个样本,S2(X\-X)2,
n-1\丄
则D(S2)等于()
4a
4
CT
2二4
A.——
B.
C.
D.
n
n—1
n-1
11.设X1,X2,.
..,Xn是正态总体N(怙
2)的一个样本,
x和s2
分别为样本均
值和样本方差,则服从自由度为n一1的t—分布的随机变量是(C)
12.设Xi,X2,…,Xn是正态总体N(r;
「2)的一个样本,X和s2分别为样本均
值和样本方差,则(C)
22
X(n-1)X
A.孑~卩(1,n-1)B.s^~F(1,n「)
C.答~F(1,n—1)D.(ngx〜F(1,n—1)
ss
13•设随机变量X,Y都服从标准正态分布,则()。
14•设总体X服从N(1,9),X1,…X9为X的样本,则有()。
15•设X1^Xn是来自正态总体N(0,1)的简单随机样本,X和s分别为样本的均值和标
准差,则有(
(A)nX〜N(0,1)(B)X〜N(0,1)(C)X〜t(n-1)(D八X:
〜2(n)
Sy
16.设X,Y相互独立,
X〜N(r,6),Y〜N02f2),Xi,…Xni为X的样本,
Yi/Yn2为Y的样本,则有()。
22221C2iC2
(A)X-Y〜NGV"
2,1-)(B)X-Y〜N(r_」2,1-)
n1n2n1n2
(C)X—Y〜WJ,—12)(D)X—Y〜
n1n2
N(—,厂1V)
\mn2
三、解答题
1.设X1,X2,X3是总体NOf2)的一个样本,其中已知而二0未知,则以下
的函数中哪些为统计量?
为什么?
(1)X1X2X3;
是
(2)X331;
(3)X1;
(4)X;
;
;
Xi/
(5)72;
不是
/CT
(6)max{Xj};
(7)二X3;
2.在总体N(52,6.32)中随机地抽取一个容量为36的样本,求样本均值X落在
50.8与53.8之间的概率。
n7X
_,X,x0
f(X)]0Z0
_X_52
P〈50.8:
:
X:
53&
=Pf—1.1421.714/
6.3/6
=G(1.714)_:
.:
」(—1.142)=0.8293
3.对下列两种情形中的样本观测值,分别求出样本均值的观测值X与样本方差
的观测值s2,由此你能得到什么结论?
—22
(1)5,2,3,5,8:
x=4.6s-2.059
(2)105,102,103,105,108X=104.6s2=2.0592
4.设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本.在下列三种情形下,分别写出样
本X1,X2,…,Xn的概率函数或密度函数:
(1)X~B(1,p);
⑵X~Exp(-);
(3)
X~U(0,力门0。
解:
(1)
P(X二Xi)=pX(1-p)J,i=0,1
1
I1>
⑶f(x)二J
0,心0
f(X1,X2,…,Xn)=口f(Xi)=wn'
0牛兰日(i=1,2…,n)
Qo.w
5.设Xi,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本•在下列三种情形下,分别求出
E(X),D(X),E(S2).
⑶X~U(0,R,r0。
E(X),D(X),E(S2)=
212n12
XX
~N(0,1),L(i=1,2n)独立,
CTCT
nnx
4Xi2八(纠2〜fn)
(2)
n、Xi
、Xi~N(0,nJ,7~N(0,1)
gn
2
(1)
丸XJ2
7•设X1,X2是取自总体X的一个样本.试证:
X1-X与X2-X相关系数等
于-1.
解:
-X1+X21r12
cov(X1,X)=cov(X1,12)=cov(X1,X1)covXX2)](二0)
222
12
-CT
2
D(X1—X)=D(X1)D(X)-2cov(X11X)^r
二21
2匚
<
_1_1
同理cov(X2,X)2,D(X2-X)二一
cov(X1-X,X2-X)
+=
2CF-0-
a
二cov(X1,X2)—cov(X1,X)—cov(X,X2)cov(X,X)
T
■X1^,X2瓦
cr
2CT
_cov(X1-X,X2-X)
-D(X1-X)、,D(X2-X)
8.设X1,X2,...,Xn是取自正态总体N(h「2)的一个样本,试求统计量
EcXi的
i=4
分布,其中cji=1,2,...,n)是不全为零的已知常数。
nnn
'
•qXj〜N(vc/〕q”2)
i1i吕i1
9.设X1,X2,...,Xn和Y,Y2,…,Ym分别是取自正态总体N(气,时)和N岸2®
)的样
本,且相互独立,试求统计量U=aXbY的分布,其中a,b是不全为零的已知
常数;
2—壬—a%:
Xi〜N(%G),i=1,2,,n,X〜NCl1^^),aX〜N(a%L)
nn
2屮_2
Yj~Nd工;
),j=1,2,,m,Y〜N(,2,H),bX~N(b」2,—
aXbX〜N(aUbU日也)nn
10.设X!
X2,...,X5是取自正态总体N(0»
2)的一个样本,试证:
(1)当「2时,kJx;
.⑷;
00s
(&
N〜
oCXIr
(LeN〜zLLscxlo)N〜ZXCXI—LX-<
XZ—X
•S1〜」X寸—xe)q+JXCXI—>
¥
te
bo
0"
(>
+>
)0
bCXI
b
(卩1x+r「x(&
(ZX+X)
X)
CXIrb(N)
〜>
rb
x+x+x
豆-0)简〜Z(N)z-g-寸OH「(L-O)N〜
Xc
(co叮〜
(LeN〜
0—XI
专嘖O)N〜>
+x
9;
&
-L上-(VO)N〜X(L)x+x+xpzh
(Xi—2X2)2.(3X3-4X4)2〜2
(2)
、、20..100
12122
(Xi-2X2)2(3X3-4X4)2~2
(2)
20100
1.1
a,b=
12.设X,,X2,...,Xn,Xn1是取自正态总体N(T2)的一个样本,记
X;
丄°
Xi,s:
(Xi—X)2
nyni二
试证:
统计量,Xn,Xn~t(门);
13.设总体X服从正态分布N(,2),从中抽取简单随机样本Xi,X2,..・,X2n,其样
2nn
本均值为X=—xXi,求统计量Y八(XiXni-2X)2的数学期望
2niid
11
cov(XjXni,X)=cov(Xj,X)cov(Xn「X)=DXjDX
2n2n
D(XiXni-2X)二D(XiXni)4DX-2cov(XjX.i,X)
2二2二22
=2;
「2422~
2nn
nn
EY二E'
(XiXni-2X)2八E(XiXn^2X)^2n二2
i=1iT
E(XiXni-2X)2=[E(XiXni-2X)]2D(XiX.,-2天)=02;
「=2二2
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