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1、掌握数字信号处理中IIR和FIR滤波器的设计。
2、增进对MATLAB的认识,加深对数字信号处理方面的理解
3、能熟练掌握MATLAB软件的使用方法。
4、了解和掌握用MATLAB实现IIR和FIR滤波器的设计方法、过程,为以后的设计打下良好基础。
5、根据所选的题目查阅专业资料,掌握设计原理,确定设定方案
6、总体要求:
Matlab原程序+仿真波形+技术指标
7、要独立写出严谨的、有理论根据的、实事求是的、文理通顺的、字迹端正的课程设计报告
二、IIR(无限脉冲响应)模拟滤波器设计——巴特沃斯模拟低通滤波器的设计
IIR滤波器的设计概述
IIR滤波器的设计可以利用模拟滤波器原型,借鉴成熟的模拟滤波器的设计结果进行双线性变换,将模拟滤波器变成满足预定指标的数字滤波器,即根据模拟设计理论设计出满足要求的传递函数H(s),然后将H(s)变换成满足要求的数字滤波器的传递函数H(z)。
设计IIR滤波器的基础是设计模拟滤波器的原型,这些原型滤波器主要有:
1、巴特沃斯(Butterworth)滤波器,其幅度响应在通带内具有最平特性;
2、切比雪夫(Chebyshev)滤波器,在通带内具有等波纹特性,且阶数小于巴特沃斯滤波器。
3、椭圆(Elliptic)滤波器,在通带和阻带内具有等波纹特性,且阶数最小。
1、设计原理
特点:
具有通带内最大平坦的振幅特性,且随f增加单调下降
(1)巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数:
其中:
wc为3dB时截止频率N为滤波器的阶数。
N越大,则过渡带越陡
低通滤波器的技术要求用图形表示如下:
wPwcwS
通带过渡带阻带
如上图表示了一个频域设计、一维低通滤波器的技术要求图。
wP和wS分别称通带截止频率和阻带截止频率。
通带频率范围为0≤︱w︱≤WP。
阻带频率范围为wS≤︱w︱≤π。
从wP到wS称为过渡带,在过渡带里,幅频特性单调下降。
在通带和阻带内的衰减一般用数dB表示。
通带内允许最大衰减是aP,阻带内允许最小衰减是aS,定义分别为:
aP=201㏒{H(ej0)/H(ejwp)}dB;
aS=201㏒{H(ej0)/H(ejws)}dB
从上式可以aP看出愈小,通带波纹与同带逼近误差就愈小;
aS愈大,阻带波纹与同带逼近误差就愈小;
wP和wS之间的距离愈小,过渡带也随之变得更加狭窄。
所以通带边界频率wP、阻带边界频率wS、通带最大衰减aP、阻带最大衰减aS决定了低通滤波器的设计指标。
(2)Matlab信号处理工具箱中提供了设计巴特沃思模拟滤波器的函buttorbuttap和butter,格式如下:
(a)[N,WC]=buttord(WP,WS,RP,RS,’S’)
用于计算巴特沃斯模拟低通滤波器的阶N和3dB截止频率Wc。
其中,Rp和Rs分别是通带最大衰减系数aP和阻带最小衰减系数aS,单位为dB。
(b)[z,p,G]=buttap(N)
用于计算N阶巴特沃思归一化(WC=1)模拟低通滤波器系统函数的零、极点和增益因子,返回长度为N的向量z和p分别给出N个零点和极点,G是滤波器增益。
得到的滤波器系统函数形式如下:
其中,
和
分别是向量z和p的第k个元素。
如果要从零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A,可以调用结构转换函数。
(c)[B,A]=zp2tf(z,p,G)结构转换后系统函数的形式为
其中,M是向量B的长度,N是向量A的长度,
分别是向量B和A的第k个元素。
(d)[B,A]=butter(N,WC,’ftype’,’s’)
用于计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数中分子和分母多项式系数向量B和A,其中N和
分别是滤波器的阶和3dB截止频率WC,返回向量B和A中的元素
分别是上面的
表示式中的分母和分子系数。
ftype缺省时,设计低通滤波器,S缺省时,设计数字滤波器。
滤波器的设计指标为:
为IIR低通滤波器,采样率为8000HZ,fp=2100HZ
fs=2500HZ,Rp=3dB,Rs=25dB。
f_N=8000;
%采样率
f_p=2100;
f_s=2500;
R_p=3;
R_s=25;
%设计要求指标
Ws=f_s/(f_N/2);
Wp=f_p/(f_N/2);
%计算归一化角频率
[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s);
%计算阶数和截止频率
[b,a]=butter(n,Wn);
%计算H(z)
freqz(b,a,1000,8000)%作出H(z)的幅频相频图,freqz(b,a,计算点数,采样率)
subplot(2,1,1);
axis([04000-303])
(2)结果显示:
图2.3.1-1巴特沃思滤波器的设计效果图
(3)主要函数说明:
其中语句[b,a]=butter(n,Wn)是计算巴特沃思低通滤波器的系数,butter函数可以设计低通,带通,高通和带阻数字滤波器,其特性可使通带内的幅度响应最大限度地平坦,但会损失截止频率处的下降斜度,使幅度相应衰减较慢。
在语句中,n为低通滤波器的阶数,Wn为低通滤波器的截止频率,b为H(Z)的分子多项式的系数,a为H(Z)的分母多项式系数.
三、IIR(无限脉冲响应)数字滤波器设计——巴特沃斯数字带通滤波器的设计
1、数字滤波器
数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。
数字滤波实质上是一种运算过程,实现对信号的运算处理。
输入数字信号(数字序列)通过特定的运算转变为输出的数字序列,因此,数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程,也可以理解为是一台计算机。
描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则,使其按照这个规则完成对输入数据的处理。
时域离散系统的频域特性:
其中
、
分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性(或称为频谱特性),
是数字滤波器的单位取样响应的频谱,又称为数字滤波器的频域响应。
输入序列的频谱
经过滤波后
因此,只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的,适当选择
,使得滤波后的
满足设计的要求,这就是数字滤波器的滤波原理。
数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性,可分为两种,即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。
IIR数字滤波器的特征是,具有无限持续时间冲激响应,需要用递归模型
来实现,其差分方程为:
系统函数为:
设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z),使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标,即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。
2、用双线性变换法设计IIR数字滤波器
IIR数字滤波器的设计借助模拟滤波器原型,再将模拟滤波器转换成数字滤波器,这些过程已经成为一整套成熟的设计程序。
模拟滤波器的设计已经有了一套相当成熟的方法,它不但有完整的公式,而且还有较为完整的图表查询,因此,充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大的方便。
已知数字低通滤波器的设计要求wp,ws,Rp和As,首先设计一个等效的模拟滤波器,然后再将它映射为所期望的数字滤波器来确定H(z)。
实验原理:
双线性变换法的基本思路是用表征数字滤波器H(z)的差分方程作为模拟滤波器H(s)所对应的微分方程的近似解。
双线性变换法的S域与Z域间的变换关系为:
S=(2/T)(1-Z-1)/(1+Z-1)
由式
(1)可以看出,z和s之间可以直接代换,由于这是一非线性变换,需考察一下是否能把jΩ映射成单位圆,以及是否能将s域左半平面映射到单位圆内部。
对于5平面上的虚轴jΩ,用s=jΩ代入式
(1)得:
可见:
上式表明S平面与Z平面一一单值对应,S平面的虚轴(整个jΩ)经映射后确已成为z平面上的单位圆,但Ω与为非线性关系,因此,通过双线性变换后两个滤波器的频率特性形状不能保持相同,双线性变换不存在混迭效应。
对于s域的左半平面,用s=σ+jΩ入式
(1),得到:
此式表明,当σ<
0,有|z|<
1,因而s平面的左半平面被映射在单位圆内部,这意味着稳定的模拟滤波器经双线性变换可以映射成稳定的数字滤波器。
IIR数字滤波器的设计借助模拟滤波器原型,再将模拟滤波器转换成数字滤波器,这些过程已经成为一整套成熟的设计程序。
对这个过程所要求的步骤是:
主要有以下步骤:
1)选取T并确定模拟频率:
2)利用设计参数Ωp,Ωs,Rp和As,设计一个模拟滤波器Ha(s);
这可以利用模拟滤波器的原型来完成;
3)3)再将
(1)代入Ha(s),求出H(z)。
设计的滤波器技术指标为:
其中带通的中心频率为ωp0=0.5π,;
通带截止频率ωp1=0.4π,ωp2=0.6π;
通带最大衰减αp=3dB;
阻带最小衰减αs=15dB;
阻带截止频率ωs2=0.7π;
ws1=wp0-(ws2-wp0)=0.3π;
由以上参数我们可由公式计算得:
1);
用Ω=2/T*tan(w/2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变,得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率ωp1,ωp2;
阻带截止频率ωs1,ωs2的转换。
为了计算简便,对双线性变换法一般T=2s
通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2)=tan(0.4π/2)=0.7265
wc2=(2/T)*tan(wp2/2)=tan(0.6π/2)=1.3764
阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)=tan(0.3π/2)=0.5095
wr2=(2/T)*tan(ws2/2)=tan(0.7π/2)=1.9626
阻带最小衰减αs=3dB和通带最大衰减αp=15dB;
2)运用低通到带通频率变换公式λ=(((Ω^2)-(Ω0^2))/(B*Ω))将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。
B=wc2-wc1=0.6499
normwr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(B*wr1))=2.236
normwr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(B*wr2))=2.236
normwc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(B*wc1))=1
normwc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(B*wc2))=1
得出,normwc=1,normwr=2.236
模拟低通滤波器指标:
normwc=1,normwr=2.236,αp=3dB,αs=15dB
程序如下:
clear
wp0=0.5*pi;
wp1=0.4*pi;
wp2=0.6*pi;
Ap=3;
ws2=0.7*pi;
As=15;
T=2;
%数字带通滤波器技术指标
ws1=wp0-(ws2-wp0);
%计算带通滤波器的阻带下截止频率
wc1=(2/T)*tan(wp1/2);
wc2=(2/T)*tan(wp2/2);
wr1=(2/T)*tan(ws1/2);
wr2=(2/T)*tan(ws2/2);
w0=(2/T)*tan(wp0/2);
%频率预畸变
B=wc2-wc1;
%带通滤波器的通带宽度
normwr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(B*wr1));
normwr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(B*wr2));
normwc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(B*wc1));
normwc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(B*wc2));
%带通到低通的频率变换
ifabs(normwr1)>
abs(normwr2)
normwr=abs(normwr2)
elsenormwr=abs(normwr1)
end
normwc=1;
N=buttord(normwc,normwr,Ap,As,'
s'
);
%设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率
[bLP,aLP]=butter(N,normwc,'
%计算相应的模拟滤波器系统函数G(p)
[bBP,aBP]=lp2bp(bLP,aLP,w0,B);
%模拟域频率变换,将G(P)变换成模拟带通滤波器H(s)
[b,a]=bilinear(bBP,aBP,0.5);
%用双线性变换法将H(s)转换成数字带通滤波器H(z)
w=linspace(0,2*pi,500);
h=freqz(b,a,w);
subplot(2,1,2);
plot(w,abs(h));
gridon
xlabel('
w(rad)'
)
ylabel('
|H(jw)|'
title('
频谱函数'
subplot(2,2,1);
plot(w,20*log10(abs(h)));
axis([0,2*pi,-120,20]);
20*lg|H(jw)|(db)'
20*lg|H(jw)|--w'
仿真图波形:
图
程序运行结果:
normwr=2.2361
由设计流程计算得normwr=2.236与运行结果相同。
低通原型的每一个边界频率都映射为带通滤波器两个相应的边界频率。
根据通带截至频率和阻带截至频率与频谱函数曲线比较,满足设计要求
四、FIR(有限脉冲响应)数字滤波器设计——凯泽窗设计FIR数字高通滤波器
FIR滤波器的数学表达式为:
式中:
N为FIR滤波器的抽头数;
x(n)为第n时刻的输入样本;
h(i)为FIR滤波器第i级抽头系数。
普通的直接型FIR滤波器结构下图所示:
在自适应处理、数据通信等领域中往往要求信号在传输过程中不能有明显的相位失真,FIR滤波器可以做到线性相位满足此要求。
FIR滤波器实质上是一个分节的延迟线,把每一节的输出加权累加,得到滤波器的输出。
对于FIR滤波器的单位脉冲响应h(i)只要满足以下2个条件之一,则为线性相位滤波器。
线性相位的FIR滤波器具有中心对称的特性,其对称中心在N/2处。
FIR滤波器的结构主要是非递归结构,没有输出到输入的反馈。
并且FIR滤波器很容易获得严格的线性相位特性,避免被处理信号产生相位失真。
而线性相位体现在时域中仅仅是h(n)在时间的延时,这个特点在图像信号处理、数据传输等波形传递系统中是非常重要的。
此外,他不会发生阻塞现象,能避免强信号淹没弱信号,因此特别适合信号强弱相差悬殊的情况。
其主要的不足之处是,其较好的性能是以较高的阶数为代价换来的。
因此,在保证相同性能的前提下,努力降低其阶数是FIR数字滤波器设计的重要因素之一。
滤波器的设计包含在工具箱的Signal中,它提供了多重FIR滤波器设计方法。
下面介绍标准频率响应设计法fir1和任意频率响应法fir2.
(1).fir1函数
用来设计标准频率响应的FIR滤波器,可实现加窗线性相位FIR数字滤波器设计。
语法:
b=fir1(n,
b=fir1(n,
’ftype’);
’Window’);
’ftype’,Window);
其中,n为滤波器的阶数;
为滤波器的截止频率;
ftype参数用来决定滤波器的类型,ftype=high时,可设计高通滤波器,当ftype=stop时,可设计带阻滤波器。
Window参数用来指定滤波器采用的窗函数类型,其默认值为汉明窗。
使用fir1函数可设计标准的低通、高通、带通和带阻滤波器。
(2).fir2函数
用来设计有任意频率响应的各种加窗FIR滤波器。
语法:
b=fir2(n,f,m);
b=fir2(n,f,m,Window);
b=fir2(n,f,m,npt);
b=fir2(n,f,m,npt,Window);
b=fir2(n,f,m,npt,lap);
b=fir2(n,f,m,npt,lap,Window);
其中,参数n为滤波器的阶数;
f为频率矢量,且
,f=1对应于
。
矢量f按升序排列,且第一个元素必须为0,最后一个必须为1,并可以包含重复的频率点;
m为幅度点矢量,在矢量m中包含了与f相对应的期望得到的滤波器幅度;
Window是用来指定所使用的窗函数类型,其默认值为汉明;
参数npt用来指定fir2函数对频率响应进行内插的点数;
lap是用来指定fir2函数在重复频率点附近插入的区域大小。
FIR滤波器的设计方法有窗函数法、频率取样法和最优化设计法。
其中窗函数法是设计FIR滤波器最简单有效的方法,也是最常用的方法。
在本设计中,所用到的滤波器的系数都是借助于窗函数法完成的。
窗函数设计法是一种通过截短和计权的方法使无限长非因果序列成为有限长脉冲响应序列的设计方法。
利用加窗函数进行截断和平滑,实现一个物理可实现且具有线性相位的FIR滤波器的设计目的。
FIR滤波器的窗函数法设计过程为:
Hd(ejΩ)为逼近的理想滤波器频率响应;
hd(k)为理想滤波器的单位脉冲响应,是无限长序列。
为获取实际应用的FIR滤波,需将hd(k)截断,用有限长的h(k)近似表示,用窗函数可以避免吉布斯现象h(k)=hd(k)ω(k),最后得到实际FIR滤波的频率响应H(ejΩ)。
设计常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、海明窗、凯撒窗等。
矩形窗是一种比较容易实现的窗,本设计选择矩形窗实现.
在MATLAB下,这些窗函数分别为:
1.矩形窗:
w=boxcar(n),产生一个n点的矩形窗函数。
2.三角窗:
w=triang(n),产生一个n点的三角窗函数。
3.汉明窗:
w=hamming(n),产生一个n点的汉明窗函数。
4.汉宁窗:
w=hanning(n),产生一个n点的汉宁窗函数。
5.布莱克曼窗:
w=Blackman(n),产生一个n点的布莱克曼窗函数。
6.凯泽窗:
w=Kaiser(n,beta),产生一个n点的凯泽窗数,其中beta为影响窗函数旁瓣的参数。
用凯泽窗设计FIR数字高通滤波器
技术指标:
fs=22050;
fb=5000;
fc=4800;
As=100;
Ap=1;
fs=22050
fb=5000;
fc=4800;
As=100;
Ap=1;
ws=fc/fs*2*pi;
wp=fb/fs*2*pi;
w1=(ws+wp)/2;
width=wp-ws;
%滤波器带宽
N=ceil(12.8*pi/width)+1;
%计算滤波器阶数
ifAs>
=50
beta=0.1102*(As-8.7);
end
20&
As<
50
beta=0.5842*((As-21)^0.4)+0.07886*(As-21);
ifAs<
=20
beta=0;
end%根据阻带容限计算beta值
window=kaiser(N,beta);
%凯泽窗
w1=w1/pi;
b=fir1(N-1,w1,'
high'
window);
[h,w]=freqz(b,1,4096);
fs1=fs/2;
w=w/pi*fs1;
%将幅频响应表示成分贝并画出图形
频率/Hz'
);
幅度/dB'
频率响应
五、设计心得体会
通过本次课程设计,使我们对数字信号处理相关知识有了更深刻的理解,尤其是对各个滤波器的设计,并且也对MATLAB这个软件的使用有了初步的掌握。
综合运用本课程的理论知识进行频谱分析以及滤波器设计,通过理论推导得出相应结论,利用MATLAB作为工具进行实现,复习巩固课堂所学的理论知识,将理论化为实践,从实践上初步实现对滤波器的设计.做课程设计,最大的困难是MATLAB代码学习和查找,和不断的调试代码。
不过在这过程中我学到了很多,虽说调试代码总是反反复复很累也很烦,但使我们学到了课本上无法学到的知识,同时也提高了动手能力和思考能力,使我们对以后的走上社会更有信心。
六、参考文献:
(
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 数字信号 处理 课程设计 模板