等时圆模型最全Word文档下载推荐.docx
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)
三、等时性的证明
设某一条弦与水平方向的夹角为
,圆的直径为
(如右图)。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动,加速度为
,位移为
,所以运动时间为
即沿各条弦运动具有等时性,运动时间与弦的倾角、长短无关。
四、应用等时圆模型解典型例题
例1:
如图1,通过空间任一点A可作无限多个斜面,若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下,那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是()
A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定
【解析】:
由“等时圆”可知,同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上,所以A正确。
O
A
B
L
D
图2
例2:
如图2,在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部,又知OB=L。
求小环从A滑到B的时间。
可以以O为圆心,以L为半径画一个圆。
根据“等时圆”的规律可知,从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间,所以有
例3:
如图5所示,在同一竖直线上有A、B两点,相距为h,B点离地高度为H,现在要在地面上寻找一点P,使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板,满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等,求O、P两点之间的距离
。
图6
P
H
h
O1
图5
解析:
由“等时圆”特征可知,当A、B处于等时圆周上,且P点处于等时圆的最低点时,即能满足题设要求。
如图6所示,此时等时圆的半径为:
所以
θ
图8
C
例4:
如图7,AB是一倾角为θ的输送带,P处为原料输入口,为避免粉尘飞扬,在P与AB输送带间建立一管道(假使光滑),使原料从P处以最短的时间到达输送带上,则管道与竖直方向的夹角应为多大?
图7
借助“等时圆”,可以过P点的竖直线为半径作圆,要求该圆与输送带AB相切,如图所示,C为切点,O为圆心。
显然,沿着PC弦建立管道,原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。
因而,要使原料从P处到达输送带上所用时间最短,需沿着PC建立管道。
由几何关系可得:
PC与竖直方向间的夹角等于θ/2。
三、“形似质异”问题的区分
1、还是如图1的圆周,如果各条轨道不光滑,它们的摩擦因数均为μ,小滑环分别从a、b、c处释放(初速为0)到达圆环底部的时间还等不等?
bd的长为2Rcosθ,bd面上物体下滑的加速度为a=gcosθ-μgsinθ,tbd=
=2
可见t与θ有关。
2、如图9,圆柱体的仓库有三块长度不同的滑板aO、bO、cO,其下端都固定于底部圆心O,而上端则搁在仓库侧壁,三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。
若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑(忽略阻力),则()
a
b
c
A、a处小孩最先到O点B、b处小孩最先到O点
C、c处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到O点
三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑,但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上,所以下滑时间不一定相等。
设圆柱底面半径为R,则
=
gsinθt2,t2=
,当θ=450时,t最小,当θ=300和600时,sin2θ的值相等。
图3
如图3,在设计三角形的屋顶时,为了使雨水能尽快地从屋顶流下,并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。
试分析和解:
在屋顶宽度(2L)一定的条件下,屋顶的倾角应该多大?
雨水流下的最短时间是多少?
gsinθt2,t2=
,当θ=450时,t最小
训练
1、如图所示,oa、ob、oc是竖直面三根固定的光滑细杆,O、a、b、c、d位于同一圆周上,d点为圆周的最高点,c点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),三个滑环都从o点无初速释放,用
、
依次表示滑环到达a、b、c所用的时间,则(
A.
B.
C.
D.
答案详解D解:
以O点为最高点,取合适的竖直直径oe作等时圆,交ob于b,如图所示,显然o到f、b、g、e才是等时的,比较图示位移
故推得
选项ABC错误,D正确.
2、身体素质拓展训练中,人从竖直墙壁的顶点A沿光滑杆自由下滑倾斜的木板上(人可看做质点),若木板的倾斜角不同,人沿着三条不同路径AB、AC、AD滑到木板上的时间分别为t1、t2、t3,若已知AB、AC、AD与板的夹角分别为70°
、90°
和105°
,则
( )
A.t1>
t2>
t3B.t1<
t2<
t3C.t1=t2=t3
D.不能确定t1、t2、t3之间的关系
若以OA为直径画圆,如图,则AB交圆周与E点,C点正好在圆周上,D点在圆周之,AD的延长线交圆周与F点,设AC与AO的夹角为α,
根据牛顿第二定律得人做初速为零的匀加速直线运动的加速度为:
a=gcosα
由图中的直角三角形可知,人的位移为:
S=AOcosα
则可知人从A到C得时间为:
,可知与斜面的倾角无关,即人从A带你滑到ECF的时间是相等的,则可知人从A点滑到BCD的时间关系t1>
t3,故A正确;
故选:
3、竖直正方形框有三条光滑轨道OB、OC和OD,三轨道交于O点,且与水平方向的夹角分别为30o、45o和60o。
现将甲、乙、丙三个可视为质点的小球同时从O点静止释放,分别沿OB、OC和OD运动到达斜面底端。
则三小球到达斜面底端的先后次序是
A.
甲、乙、丙B.
丙、乙、甲C.
甲、丙同时到达,乙后到达
D.
不能确定三者到达的顺序
4、如图所示,地面上有一固定的球面,球半径为R,球面的斜上方P处有一质点(P与球心O在同一竖直平面).已知P到球心O的距离为L,P到地面的垂直距离为H,现要使此质点从静止开始沿一光滑斜直轨道在最短时间滑到球面上,求所需的最短时间.
解:
(1)求证:
如图所示小球从竖直平面的半径为R'
的圆的顶点,沿光滑轨道运动到任何方向圆外边缘,
任取一条轨道PQ,PQ与水平面的夹角为,
由三角关系得PQ的长度为:
由牛顿第二定律得,沿光滑斜面下滑的加速度为:
由位移时间公式得,运动时间:
即运动时间与角度无关,故对应任何轨道的时间均相同.
(2)作图:
以P为顶点作一半径为r的球面,使其与所给球面相切与Q,如图所示:
由
(1)可以知道右上圆从P点到圆的外边缘的时间是相同的,故、用时均长于PQ用时,则线段PQ即为所求的用时最短的轨道.
(3)解题:
把上图转化如下:
由三角关系得:
联立以上两式计算得出:
由
(1)知,运动时间:
答:
所需的最短时间为.
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