江苏专版高考数学二轮复习6个解答题专项强化练四数列Word文件下载.docx
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当p=1时,an+1—an=31,
--an=ai+(st—ai)+(a3—a2)+•••+(an—an—1)
=2+(1+3+•••+3n—2)=2+—3
1.3n-1
2,
即=3.符合题意.
•••p的值为0或1.
(2)法一:
若p=1,贝Uan+1—an=3n—1—nq,
n—2、
•an=a1+(a2—a"
+任一比)+…+(an—an—1)=1+(1+3+-+3n—2)—[1+2+-+(n
1n—1
—1)]q=尹—n(n—1)q].
t数列{an}的最小项为a4,
*1—1
•••对任意的n€N,有2【3n—1—n(n—1)q]》a4=2(27—12q)恒成立,
n—12*
3—27》(n—n—12)q对任意的n€N恒成立.
n=1时,
有—26》—12q,「.q》13;
n=2时,
有—24》—10q,「.q》12
n=3时,
有—18》—6q,「.q》3;
n=4时,
有0》0,二q€R;
n》5时,
2n—1
2n—2n—123+54n
>
0,
n—16
n—9
即数列{Cn}为递增数列,•
27
qw6=匚・
综上所述,q的取值范围为
3,匚.
法二:
Tp=1,•an+1—an:
n—1
=3—nq,
n=
又a4为数列{an}的最小项,
a4-a3<
0,9-3qw0,
•••即
a5-a4>
0,27-4q>
•3<
qw.
4
此时a2-ai=1-q<
0,a3-比=3-2q<
•ai>
a2>
a3》a4.
ni^4i^^^^^^7
当n》4时,令bn=an+1—an,bn+1—bn=2,3—q》2,3>
•bn+1>
bn,「.0Wb4<
b5<
b6<
…,
即a4<
a5<
&
<
a7<
….
综上所述,当3<
qw~4时,a4为数列{an}的最小项,
即q的取值范围为
n*
3•数列{an}的前n项和为S,a=2,S=an3+r(r€R,n€N).
(1)求r的值及数列{an}的通项公式;
⑵设bn=n(n€N),记{bn}的前n项和为Tn.
an
①当n€N时,入<T2n-Tn恒成立,求实数入的取值范围;
n-1
②求证:
存在关于n的整式g(n),使得(Tn+1)=Tn•g(n)—1对一切n》2,n€N
i=1
都成立.
⑴当n=1时,
12
S=a13+r,•r=3,
n2
•Sn=an3+3.
当n》2时,$-1=an-13+3.
两式相减,得
n+2n+1an=—厂an——厂an-1,
annn+1
a=厂
•'
•an=n(n+1)(n》2),
又ai=2适合上式.
•an=n(n+1).
⑵①•••an=n(n+1),
111
T2n-Tn=后+n+3+…+时.
人rTT111
令B=T2n-Tn=+灵+•••+时.
小r111
则Bn+1=++…+.
n+3n+42n+3
Bi+1—Bn=+—_
+2n+2+2n+3n+2
即(n+1)Tn—nTn—1=Tn—1+1.
n—1
•••当n时,(Tn+1)=(3T2—2T1)+(4T3—3T2)+(5T4—4T3)+…+[(n+1)Tn—nTn
i=1
••Tn—Tn—1
n+7,
—1]=(n+1)Tn—2T1=(n+1)Tn—1.
n—1
•存在关于n的整式g(n)=n+1,使得(Tn+1)=Tn•g(n)—1对一切n》2,n€N
4.已知数列{an}满足ai=2,对任意的正整数mP,都有a计p=am-ap.
⑴证明:
数列{an}是等比数列;
bib2b3b4n+1bn
(2)若数列{bn}满足an=2+1—2刍1+23+1—24+1+…+(—1)2n+1,求数列{bn}的
通项公式;
(3)在⑵的条件下,设Cn=2"
+入bn,则是否存在实数入,使得数列{6}是单调递增数
列?
若存在,求出实数入的取值范围;
若不存在,请说明理由.
(1)证明:
•••对任意的正整数m,P,都有sm+P=am-环,二令m=n,p=1,得an+1
•••数列{an}是首项和公比都为2的等比数列.
(2)
由an=
b1
2+1
b1b2b3b4
a“一1—2~+3~4
2+12+12+12+1
nbn—1
…+(—1)厂+〒(心2),
由
(1)可知,an=尹
b2b3b4n+1bn如
乔+乔—2+1+…+(—1)2+1得,
n+1bn
故an—an-1—(—1)2“+1(n》2),
故bn=(—1)n*+1(n>
2).
当n=1时,a1=2+1,解得b1=2,不符合上式.
3
2,n=1,
••bn—
n1*
—1歹+1,n》2,n€N.
(3)Tcn—2+入bn,
•■•当n》2时,6=2+(—1)2*+1入,
——1
当n》3时,Cn-1—21+(—1)"
12n-1+1入,
故入的取值范围为一第,+3.
2n—1
5.已知各项不为零的数列{an}的前n项和为S,且a1=1,panan+1(n€N),p€R.
(1)若a1,a2,a3成等比数列,求实数p的值;
(2)若a1,a2,a3成等差数列,
1求数列{an}的通项公式;
2在an与an+1间插入n个正数,共同组成公比为中的等比数列,若不等式(qn)(n+1)(n+
a)we(e为自然对数的底数)对任意的n€N恒成立,求实数a的最大值.
由a2=a1a3,
a1+a21
当n=2时,a1+aa=pa2a3,a3==1+-.
pa2p
2/只
(2)①因为a1,a2,a3成等差数列,所以
2a2=ai+a3,得p=?
故a2=2,
a3=3,
p+p—1=0,
所以Sn=@anan+1.
11
当n》2时,an=S—Sn—1=^8nan+1—^an—1an,
因为anM0,所以an+1—an—1=2.
故数列{an}的所有奇数项组成以1为首项,2为公差的等差数列,
n+1
其通项公式an=1+2—1x2=n,
同理,数列{an}的所有偶数项组成以2为首项,2为公差的等差数列,
其通项公式是an=2+2—1x2=n,
所以数列{an}的通项公式是an=n.
即qn=凹£
所以(qn)(n+1)(n+a)we,
也n+e,
n
两边取对数得(n+a)ln哼w1
nn+1
—n恒成立.
分离参数得aw—n+
In一一n
1,x€(1,2],
n+11
令〒=x,x*(1,2],则木i^xx—1
令f(x)=|丄一匕,x€(1,2],
inxx—1
2x—12
Inx—
x
贝yf,(x)=:
2—,
Inxx—1
x—1
下证inx<
x€(1,2],
Vx
令g(x)=x—1—2lnx,x€[1,+R),则g'
(x)=—>
0,所以g(x)>
g
(1)=0,
xx
1x1
即2lnx<
x—-,用:
x替代x可得inx<
.,x€(1,2],
2x—1Inx—
所以f,(x)=.2~<
Inxx—1'
所以f(x)在(1,2]上递减,
所以实数a的最大值为占-1.
In2
6.设三个各项均为正整数的无穷数列{an},{bn},{Cn}.记数列{bn},{Cn}的前n项和
分别为$,Tn,若对任意的n€N,都有an=bn+Cn,且S>
Tn,则称数列{少}为可拆分数列.
⑴若an=4n,且数列{bn},{Cn}均是公比不为1的等比数列,求证:
数列{刘为可拆分数列;
(2)若an=5n,且数列{bn},{Cn}均是公差不为0的等差数列,求所有满足条件的数列{bn},{Cn}的通项公式;
(3)若数列{an},{bn},{Cn}均是公比不为1的等比数列,且al》3,求证:
数列{an}为可拆分数列.
⑴证明:
由an=4n=4・4n-1=3・4n-1+4n-1,令bn=3・4n-1,C=4n-1.
则{bn}是以3为首项,4为公比的等比数列,{Cn}是以1为首项,4为公比的等比数列,
故Sn=4—1,Tn=
所以对任意的n€N*,都有an=bn+Cn,且S>
Tn.所以数列{an}为可拆分数列.
(2)设数列{bn},{Cn}的公差分别为d1,d2.
由an=5n,得
b+(n—1)d1+C1+(n—1)d2=(d1+d2)n+b1+c—d1—d2=5n对任意的n€N都成立.
d1+d2=5,
d1+d2=5,
所以
即
①
b1+C1—d1—d2=0,
b+C1=5,
口nn—1
nn—1
d1
d22,
d1d2
由Sn>
Tn,得nb1+2
d1>
nc1+2
d2,贝U2—
$n+b1—c
;
—"
2+?
n>
d1d2d1d2*
由n》1,得—2n+b1-C1—?
+"
2>
0对任意的n€N成立.
则§
—
d2d1d2
且2—2+
b1—C1——+—>
0即d1>
d2且b1>
C1.
由数列{bn},{Cn}各项均为正整数,则b1,C1,d1,d2均为正整数,
d1=4,d2=1,或
b1=3,C1=2
当d1=d2时,由d1+d2=5,得d1=d2=2?
n*,不符合题意,所以7皿.③
d1=4,d2=1,联立①②③,可得
b1=4,C1=1
或d=3,d2—2,
b1=4,C1=1或d-3,d=2,b1=3,C1=2.
bn=4n,bn=4n—1,bn=3n+1,
所以或或
Cn=nCn=n+1Cn=2n—1
bn=3n,或
Cn=2n.
当q为无理数时,32=aq为无理数,与勿€N矛盾.
b
故q为有理数,设q=(a,b为正整数,且a,b互质).
a
此时3n=31•
n—1.a
则对任意的n€N,an—1均为a1的约数,则an—1=1,即a=1,b**
故q=—=b€N,所以q€N,q》2.
所以an=ag=(a—1)q+q,
令bn=(a1—1)•q,Cn=q.
则{bn},{Cn}各项均为正整数.因为a1>
3,
所以a1—1>
2>
1,则S>
Tn,所以数列{an}为可拆分数列.
n2—n—12>
0,所以有q<
n——12恒成立,
3—27*
cn=2(n》5,n€N),
n—n—12'
'
八
解得p=
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