大学物理第二章 质点动力学习题解答.docx

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大学物理第二章质点动力学习题解答

第二章习题解答

2-17质量为2kg的质点的运动学方程为

（单位：

米，秒），求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。

解：

∵,为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。

F=（242+122）1/2=12N，力与x轴之间夹角为：

2-18质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：

，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

证明：

∵

∴作用于质点的合力总指向原点。

2-19在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：

以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：

f1=μN1=μm1g，

f2=μN2=μ（N1+m2g）=μ（m1+m2）g.在水平方向对两个质点应用牛二定律：

①+②可求得：

将a代入①中，可求得：

2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m1,m2的物体（m1≠m2）,天平右端的托盘上放有砝码.问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？

不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。

解：

隔离m1,m2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：

由①②可求得：

所以，天平右端的总重量应该等于T，天平才能保持平衡。

2-21一个机械装置如图所示，人的质量为m1=60kg，人所站的底板的质量为m2=30kg。

设绳子和滑轮的质量以及滑轮轴承的摩擦力都可略去不计，若想使所站着的底板在空中静止不动，此人应以多大的力量拉绳子？

此时人对升降机的压力是多大？

解：

装置的各部分和人的受力如图所示，据题意有：

解方程组得：

代入数据得：

，即人应以220。

5N的力量拉绳子？

此时人对升降机的压力是367.5N。

2-22桌面上有一质量m1=1kg的木板，板上放一个质量为m2=2kg的物体。

已知物体和板之间的滑动摩擦系数μ2=0.4，静摩擦系数为μ0=0.5，板和桌面间的滑动摩擦系数μ1=0.3。

（1）今以水平力拉板，物体和板一起以加速度a=1m/s2运动，计算物体和板以及板和桌面间的相互作用力；

（2）若使板从物体下抽出，至少需用多大的力？

解：

以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，

（1）物体和板之间的最大静摩擦力可提供的最大加速度大于a=1m/s2，所以它们之间无相对运动。

解方程组并代入数据得：

所以物体和板以及板和桌面间的相互作用力分别为1N和2.94N。

（2）其中，N1'=N1，f1'=f1=μ0N1，f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1，m2分别应用牛顿二定律，有

解方程组，得

要把木板从下面抽出来，必须满足，即

即要把木板从下面抽出来，沿水平方向必须用大于2.352N的力。

2.23沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动）。

解：

根据推力F-t图像，可知F=4.9t（t≤20）,令F=mg，

即4.9t=2×9.8，t=4s，因此，火箭发射可分为三个阶段：

t=0—4s

为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=4—20s

为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s时，y=y1，v=vmax；

t≥20s为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大

高度时的坐标y=y2.

第二阶段的动力学方程为：

F-mg=mdv/dt

第三阶段运动学方程

令v=0,由

（1）求得达最大高度y2时所用时间（t-20）=32，代入

（2）中，得y2-y1=5030y2=ymax=5030+1672=6702（m）

2.24汽车质量为1.2×10kN，在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15°，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t（m），自t=5s开始匀速运动，试求公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力的大小，并指出是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？

解：

以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示：

v=ds/dt=1.5t2+20，v|t=5=1.5×52+20=57.5m/s，an=v2/R=57.52/100=33

设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy，应用牛顿第二定律：

②/①得：

，说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。

2.25一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tgα=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？

解：

设卡车匀速上坡时，速率为v,牵引力为F,功率为N,由质点平衡方程有，F=（0.04+sinα）mg，∴N=Fv=（0.04+sinα）mgv

设卡车匀速下坡时，速率为v’,牵引力为F',功率为N',由质点平衡方程有F'+mgsinα=0.04mg,F'=（0.04-sinα）mg,

∴N'=（0.04-sinα）mgv'.

令N'=N,即（0.04+sinα）mgv=（0.04-sinα）mgv'，可求得：

v'=v（0.04+sinα）/（0.04-sinα）.利用三角函数关系式，可求得：

sinα≈tgα=0.02,∴v'=3v=3×15×103/602m/s=12.5m/s.

2.26如图所示，质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N，木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度。

2.26题图

解：

以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B，只有拉力T做功：

设木块到达B时的速度为v，由动能定理：

，方向向右

2.27如图所示，质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。

绳端作用以恒力F,F=60N,木块在A处有向上的速度v0=2m/s,求木块被拉至B时的速度。

3.86m/s.

0.5my0.5m

B

θ

0.5mFNF

W

AAx

解：

以地为参考系，建立图示坐标A-xy，木块在由A到B的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是：

AN=0；AW=-mg（yB-yA）=-1.2×9.8×0.5=-5.88J；F大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。

由动能定理：

代入数据，求得vB=3.86m/s.

2.28质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离l为

证明：

质点m由弹簧原长位

置运动到最远位置l，弹力F和滑

动摩擦力f对质点做负功，导致质

点动能由mv02/2变为0。

根据动能定理：

AF+Af=0-mv02/2……①

其中，，

代入①中，并整理，有：

kl2+2μmgl-mv02=0.这是一个关于l的一元二次方程，其根为：

，负根显然不合题意，舍去，所以，

2.29滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度vc刚好在水平方向，已知A、B两点的垂直距离为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30º角，不计摩擦，求：

⑴运动员离开B处的速率vB；⑵B、C的垂直高度差h及沟宽d；⑶运动员到达平台时的速率vc.

解：

运动员在整个运动过程中,只有重

力做功,故机械能守恒，取B点为势能零点。

∵mgH=mvB2/2

∴

运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。

由斜抛运动规律可知，vc=vBcos30º=19.1m/s

∵mvB2/2=mvc2/2+mgh∴h=（vB2-vc2）/2g=6.3m；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：

∵0=vBsin30º-gt∴t=vB/2g=1.13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距离d=vBcos30ºt=21.6m.

2.30装置如图所示，球的质量为5kg，杆AB长1m，AC长0.1m，A点距O点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。

解：

取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为v，弹簧原长：

，在小球从水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：

，可求得：

2.31卢瑟福在一篇文章中写道：

可以预言，当α粒子和氢原子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明，氢原子速度可达α粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射α粒子能量的64%。

试证明此结论（碰撞是完全弹性的，且α粒子质量接近氢原子质量的四倍）。

证明:

设氢原子质量为m,碰前速度为零,碰后速度vH',α粒子质量为4m,碰前速度为vα,碰后速度为vα'.根据完全弹性碰撞基本公式：

即，

⑴＋⑵×4，得8vα=5vH',∴vH'=8vα/5=1.6vα

2．32m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率v滑行并与m碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s然后静止。

求轨道作用于车的阻力。

解：

整个过程可分为两个阶段：

第一阶段，机车与车厢发生完全非弹性碰撞而获得共同速度v’，由于轨道阻力远小于冲力，可认为质点系动量守恒，

Mv=（M+m）v’,v’=Mv/（M+m）

第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了s，速度由v’变为零，由动能定理，有

–fs=0-（M+m）v’2/2,

将v’代入，可求得

2.33如图所示，质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg，用l=1m长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度，问摆沿铅直方向升起若干？

解：

用v0,v分别表示子弹穿过摆前后的速度，u表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为h

由动量守恒：

，可得

由能量守恒：

2.34如图所示一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅快在高30cm处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。

解：

框架静止时，弹簧伸长Δl=0.1m，由平衡条件mg=kΔl,求得：

k=mg/Δl=0.2×9.8/0.1=19.6N/m

铅块落下h=30cm后的速度v0，可由能量守恒方程求出：

设铅快与框架碰后的共同速度为v，由动量守恒：

设框架下落的最大距离为x，由机械能守恒：

，进行整理并代入数据，可得x的一元二次方程：

2.35如图所示，质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。

质量为m0=0.01kg的子弹以速率v0=100m/s沿水平方向射于m1内，问弹簧最多压缩了多少？

解：

整个过程可分为两个阶段处理。

第一阶段：

子弹射入m1内，发生完全非弹性碰撞，动量守恒，设子弹质量为m0，子弹与m1获得的共同速度为v,则有

m0v0=（m1+m0）v∴v=v0m0/（m1+m0）

（1）

第二阶段：

子弹与m1以共同速度