反比例函数反比例函数系数k的几何意义Word格式文档下载.docx
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12.如图,点A是反比例函数y=图象上一点,AB垂直于x轴,垂足为点B,AC垂直于y轴,垂足为点C,若矩形ABOC的面积为5,则k的值为( )
A.5B.2.5C.D.10
13.如图,已知点A在反比例函数y=(x<0)上,作Rt△ABC,点D是斜边AC的中点,连DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为8,则k的值为( )
A.8B.12C.16D.20
14.如图,四边形OABC是矩形,四边形CDEF是正方形,点C,D在x轴的正半轴上,点A在y轴的正半轴上,点F在BC上,点B,E在反比例函数y=的图象上,OA=2,OC=1,则正方形CDEF的面积为( )
A.4B.1C.3D.2
15.如图,在平面直角坐标系中,点B在y轴上,第一象限内点A满足AB=AO,反比例函数y=的图象经过点A,若△ABO的面积为2,则k的值为( )
A.1B.2C.4D.
16.如图,点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,AB⊥x轴于点B,点C在x轴上,且OB=OC,若△ABC的面积等于6,则k的值等于( )
A.3B.6C.8D.12
17.已知,A是反比例函数y=的图象上的一点,AB⊥x轴于点B,O是坐标原点,且△ABO的面积是3,则k的值是( )
A.3B.±
3C.6D.±
6
18.如图,是反比例函数y=和y=(k1<k2)在第一象限的图象,直线AB∥x轴,并分别交两条曲于A、B两点,若S△AOB=2,则k2﹣k1的值是( )
A.1B.2C.4D.8
19.如图,已知反比例函数y=的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D,与直角边AB相交于C,连结AD、OC,若△ABO的周长为4+2,AD=2,则△ACO的面积为( )
A.B.C.1D.2
20.Rt△ABC在平面坐标系中摆放如图,顶点A在x轴上,∠ACB=90°
,CB∥x轴,双曲线经过CD点及AB的中点D,S△BCD=4,则k的值为( )
A.8B.﹣8C.﹣10D.10
21.如图,A、B是双曲线y=上的两点,过A点作AC⊥x轴,交OB于D点,垂足为C.若△ADO的面积为1,D为OB的中点,则k的值为( )
A.B.C.3D.4
22.以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,双曲线y=经过点D,则正方形ABCD的面积是( )
A.10B.11C.12D.13
23.如图,两个反比例函数y=和y=(其中k1>k2>0)在第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,则四边形PAOB的面积为( )
A.k1+k2B.k1﹣k2C.k1•k2D.
24.如图,直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点,过点A作AM⊥x轴,垂足为M,连接BM,若S△ABM=2,则k的值是( )
A.2B.m﹣2C.mD.4
25.如图,直线l和双曲线(k>0)交于A、B两点,P是线段AB上的点(不与A、B重合),过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1,△BOD面积是S2,△POE面积是S3,则( )
A.S1<S2<S3B.S1>S2>S3C.S1=S2>S3D.S1=S2<S3
26.如图,点A在双曲线y=上,点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为( )
A.1B.2C.3D.4
27.函数y=和y=在第一象限内的图象如图,点P是y=的图象上一动点,PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点B.给出如下结论:
①△ODB与△OCA的面积相等;
②PA与PB始终相等;
③四边形PAOB的面积大小不会发生变化;
④CA=AP.其中所有正确结论的序号是( )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
28.如图,点A是反比例函数(x<0)的图象上的一点,过点A作平行四边形ABCD,使B、C在x轴上,点D在y轴上,则平行四边形ABCD的面积为( )
A.1B.3C.6D.12
29.如图,已知双曲线y1=(x>0),y2=(x>0),点P为双曲线y2=上的一点,且PA⊥x轴于点A,PA,PO分别交双曲线y1=于B,C两点,则△PAC的面积为( )
A.1B.1.5C.2D.3
30.如图,已知矩形OABC的面积为25,它的对角线OB与双曲线y=(k>0)相交于点G,且OG:
GB=3:
2,则k的值为( )
A.15B.C.D.9
参考答案与试题解析
【分析】作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,设反比例函数解析式为y=(k>0),根据反比例函数图象上点的坐标特征得A、B两点的纵坐标分别是、,再证明△CEB∽△CDA,利用相似比得到===,则DE=CE,由OD:
OE=a:
2a=1:
2,则OD=DE,所以OD=OC,根据三角形面积公式得到S△AOD=S△AOC=×
9=3,然后利用反比例函数y=(k≠0)系数k的几何意义得|k|=3,易得k=6.
【解答】解:
作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图,
设反比例函数解析式为y=(k>0),
∵A、B两点的横坐标分别是a、2a,
∴A、B两点的纵坐标分别是、,
∵AD∥BE,
∴△CEB∽△CDA,
∴===,
∴DE=CE,
∵OD:
2,
∴OD=DE,
∴OD=OC,
∴S△AOD=S△AOC=×
9=3,
∴|k|=3,
而k>0,
∴k=6.
故选B.
【点评】本题考查了反比例函数y=(k≠0)系数k的几何意义:
从反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.也考查了三角形相似的判定与性质.
【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积,然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数.
∵四边形OCBA是矩形,
∴AB=OC,OA=BC,
设B点的坐标为(a,b),
∵BD=3AD,
∴D(,b),
∵点D,E在反比例函数的图象上,
∴=k,∴E(a,),
∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣k﹣•(b﹣)=9,
∴k=,
故选C.
【点评】此题考查了反比例函数的综合知识,利用了:
①过某个点,这个点的坐标应适合这个函数解析式;
②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式.
【分析】设D(t,),由矩形OGHF的面积为1得到HF=,于是根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出E点坐标为(kt,),接着利用矩形面积公式得到(kt﹣t)•(﹣)=2,然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值.
设D(t,),
∵矩形OGHF的面积为1,DF⊥x轴于点F,
∴HF=,
而EG⊥y轴于点G,
∴E点的纵坐标为,
当y=时,=,解得x=kt,
∴E(kt,),
∵矩形HDBE的面积为2,
∴(kt﹣t)•(﹣)=2,
整理得(k﹣1)2=2,
∴k=+1.
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义:
在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
【分析】由直角边AC的中点是D,S△AOC=3,于是得到S△CDO=S△AOC=,由于反比例函数y=经过另一条直角边AC的中点D,CD⊥x轴,即可得到结论.
∵直角边AC的中点是D,S△AOC=3,
∴S△CDO=S△AOC=,
∵反比例函数y=经过另一条直角边AC的中点D,CD⊥x轴,
∴k=2S△CDO=3,
故选D.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,求得D点的坐标是解题的关键.
【分析】由PB∥OC可得出△PBQ∽△COQ,结合三角形面积比等于相似比的平方可得出PB=PA=OC,结合正方形OABC的边长为6可得出点C、点P的坐标,利用待定系数法即可求出直线CP的函数解析式,联立直线OB与直线CP的函数解析式即可得出点Q的坐标,利用待定系数法即可求出k值.
∵PB∥OC(四边形OABC为正方形),
∴△PBQ∽△COQ,
∴==,
∴PB=PA=OC=3.
∵正方形OABC的边长为6,
∴点C(0,6),点P(6,3),直线OB的解析式为y=x①,
∴设直线CP的解析式为y=ax+6,
∵点P(6,3)在直线CP上,
∴3=6a+6,解得:
a=﹣,
故直线CP的解析式为y=﹣x+6②.
联立①②得:
,
解得:
∴点Q的坐标为(4,4).
将点Q(4,4)代入y=中,得:
4=,解得:
k=16.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求函数解析式,解题的关键是求出点Q的坐标.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点Q的坐标,再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可.
【分析】设点A的坐标为(m,),直线AC经过点A,可求得直线AC的表达式为y=x.直线AC与函数y=一个交点为点C,则可求得点C的坐标当k>0时C为(﹣mk,﹣),故×
(﹣)(﹣mk+|m|)=6,求出k的值即可.
设A(m,)(m<0),直线AC的解析式为y=ax(k≠0),
∵A(m,),
∴ma=,解得a=,
∴直线AC的解析式为y=x.
∵AO的延长线交函数y=的图象交于点C,
∴C(﹣mk,﹣),
∵△ABC的面积等于6,CB⊥x轴,
∴×
(﹣)(﹣mk+|m|)=6,解得k1=﹣4(舍去),k2=3.
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义,根据题意得出直线AC的解析式,再用m表示出C点坐标是解答此题的关键.
【分析】由双曲线y=﹣(x<0)设出点P的坐标,运用坐标表示出四边形ONPM的面积函数关系式即可判定.
设点P的坐标为(x,﹣),
∵PN⊥y轴于点N,点M是x轴负半轴上的一个定点,
∴四边形OAPB是个直角梯形,
∴四边形ONPM的面积=(PN+MO)•NO=(﹣x+MO)•﹣=,
∵MO是定值,
∴四边形ONPM的面积是个增函数,即点P的横坐标逐渐增大时四边形ONPM的面积逐渐增大.
故选A.
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义,解题的关键是运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式.
【分析】设P点坐标为(x,),将四边形分割为四个三角形,四边形ABCD面积的最小,即S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC最小.
设P点坐标为(x,),x>0,
则S△AOD=×
|﹣3|×
||=,S△DOC==6,
S△BOC=×
|﹣4|×
|x|=2x,S△AOB=×
3×
4=6.
∴S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC
=12+2x+
=12+2(x+)≥12+2×
2×
=24.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,三角形的面积,本题借用考查四边形面积的最小值来考查反比例函数图象的应用,综合能力较强.
【分析】根据图形可得,△CPF与△CPD的面积相等,△APE与△APG的面积相等,四边形BCFG的面积为8,点C(3,4),可以求得点D的坐标,从而可以求得k的值.
由图可得,S▱ABCD,
又∵S△FCP=S△DCP且S△AEP=S△AGP,
∴S▱OEPF=S▱BGPD,
∵四边形BCFG的面积为8,
∴S▱CDEO=S▱BCFG=8,
又∵点C的纵坐标是4,则▱CDOE的高是4,
∴OE=CD=,
∴点D的横坐标是5,
即点D的坐标是(5,4),
∴4=,解得k=20,
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
【分析】由题意得:
S△ABC=2S△AOC,又S△AOC=|k|,则k的值即可求出.
设A(x,y),
∵直线与双曲线y=交于A、B两点,
∴B(﹣x,﹣y),
∴S△BOC=|xy|,S△AOC=|xy|,
∴S△BOC=S△AOC,
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=2S△AOC=5,S△AOC=|k|=,则k=±
5.
又由于反比例函数位于一三象限,k>0,故k=5.
【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点.
【分析】根据A点在y=(x<0)的图象上,A点坐标为(﹣4,2),可以求得k的值,根据B是y=(x<0)的图象上的任意一点,以B为圆心,BO长为半径画弧交x轴于C点,可知OB=BC,设出点B的坐标,即可表示出△BCO面积,本题得以解决.
∵A点在y=(x<0)的图象上,A点坐标为(﹣4,2),
∴k=(﹣4)×
2=﹣8,
∴,
又∵B是y=(x<0)的图象上的任意一点,以B为圆心,BO长为半径画弧交x轴于C点,
∴设点B的坐标为(a,),OB=CB,
∴OC=﹣2a,点B到OC的距离为,
∴=8,
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是明确反比例函数图象的特点,利用数形结合的思想解答问题.
【分析】设点A的坐标为(x,y),用x、y表示OB、AB的长,根据矩形ABOC的面积为5,列出算式求出k的值.
设点A的坐标为(x,y),
则OB=x,AB=y,
∵矩形ABOC的面积为5,
∴k=xy=5,
故选:
A.
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义,证明△ABC∽△EOB,根据相似比求出BA•BO的值,从而求出△AOB的面积.
∵△BCE的面积为8,
∴BC•OE=8,
∴BC•OE=16,
∵点D为斜边AC的中点,
∴BD=DC,
∴∠DBC=∠DCB=∠EBO,
又∠EOB=∠ABC,
∴△EOB∽△ABC,
∴AB•OB•=BC•OE
∴k=AB•BO=BC•OE=16,
C.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,解决本题的关键是证明△EOB∽△ABC,得到AB•OB•=BC•OE.
【分析】先确定B点坐标(2,1),根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2,则反比例函数解析式为y=,设CD=t,则OD=1+t,所以E点坐标为(1+t,t),再根据反比例函数图象上点的坐标特征得(1+t)•t=2,利用因式分解法可求出t的值.
∵OA=2,OC=1,
∴B点坐标为(2,1),
∴k=2×
1=2,
∴反比例函数解析式为y=,
设CD=t,则OD=1+t,
∴E点坐标为(1+t,t),
∴(1+t)•t=2,
整理为t2+t﹣2=0,
解得t1=﹣2(舍去),t2=1,
∴正方形ADEF的边长为1.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:
反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.
【分析】如图,过点A作AD⊥y轴于点D,结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为1,根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值.
如图,过点A作AD⊥y轴于点D,
∵AB=AO,△ABO的面积为2,
∴S△ADO=|k|=1,
又反比例函数的图象位于第一象限,k>0,
则k=2.
B.
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注.
【分析】首先确定三角形AOB的面积,然后根据反比例函数的比例系数的几何意义确定k的值即可.
∵OB=OC,
∴S△AOB=S△ABC=×
6=3,
∴|k|=2S△ABC=6,
∵反比例函数的图象位于第一象限,
∴k=6,
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义,解题的关键是能够确定三角形AOB的面积,难度不大.
17.已知,A是反比例函数y=的图象上的一点,AB⊥x轴于点B,O是坐标原点,且△ABO的面积是3,
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