数学建模优秀论文Word下载.docx
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模型一从宏观上考虑租赁活动,通过分析题目所给的条件,做出适当的假设,以
简化问题。
按悲观估计给出购买方案,从而保证了目标的实现,并且模型简单,
易于求解。
模型二从微观上进行分析,结合实际和常识,对会员租赁周期的分布
做出合理的假设,根据会员租出、归还的规律进行建模,较好的反映了复杂的租
赁活动,给出的购买方案能更好的贴合实际。
此外,我们还用蒙特卡洛法对结果
进行了检验。
两种模型求得的购买方案如下表:
问题2)是一个最优分配问题,可将其化为0—1规划问题。
求出最优分配
时会员的满意度为:
89.18%。
文章中我们给出了前30名会员获得DVD的情况,
以及他们的满意度。
问题3)中,我们认为“得到想看的DVD”是指会员至少得到一张他想看
的DVD。
我们利用问题1)中求得的数据,对问题二中的模型进行适当修改,
得到0—1规划模型。
我们发现,满意度的定义不同,求得的结果会有较大的差异。
按照我们定
义的满意度,求得的结果如下表:
会员提交订单时,总想知道能否及时得到自己想看的DVD,在问题4)中,
我们将此问题提出,并以问题1)中的DVD1为例,建立了相应的模型进行求解。
会员在提交订单时,网站可以立即告诉会员最有可能在哪一天得到他想看的
DVD,另外,我们还对DVD的时效性等有关问题进行了讨论。
3
一问题分析
1、对问题1)的分析:
首先,问题1)中的“保证”可理解为是寻找悲观情况下能达到要求的购
买方案;
由于实际租赁活动中的租和还都是概率事件,当会员数量足够大时,租
赁情况应服从统计规律,这种理解下,购买方案也可按照统计数据去计算。
因此,
在对问题1)的建模过程中,我们先按悲观估计求出一个购买方案,在这个基础
上对模型进行修改,使其更符合实际,应用统计学规律求出一个更贴合实际的方
案。
要对问题1)进行求解,关键是要对每一张DVD在这个月的租出次数进行
分析,而租出次数跟会员租赁DVD的时间分布和寄还时间的分布密切相关。
由
于会员发来订单的时间和寄还时间都是概率事件。
实际情况下,会员在均值附近
归还的人数较多,离均值越远归还的越少。
对这样一种“两头小,中间大”的分
布,可以用正态分布来近似描述。
如果网站会员数量足够大(如题中所给数据),
那么就可以假设:
每天下订单的会员数目为一常数稳定不变;
任一会员从下订单
到寄还DVD的时间间隔,以及上一次下订单到这一次下订单的时间间隔都服从
正态分布。
历史数据显示,60%的会员每月租赁DVD两次,而另外的40%只租一次,
根据这组数据有如下分析:
由于二类会员每个月会下两次订单,而一类会员只下
一次订单,则在每一个月内一类会员的订单数及二类会员的订单数之比应为
0.4:
(0.6⨯2),即1:
3,由于会员数很多,可以认为,一天内一类会员的订单数及
二类会员之比也为1:
3。
2、对问题2)的分析:
问题2)是一个最优分配问题,这种优化问题可以采用0-1规划进行求解,
目标是使得满意度最大。
要求得最大的满意度,首先要给出满意度的定义。
容易想到满意度可定义
为实际的满足值及理想的满足值之比。
另外,考虑到排序号为1的DVD是该会
员最希望租到的,其地位是其它DVD不能替代的,同时根据实际生活中的经验,
第1想要的满足值及第2想要的满足值之差应大于第2想要的满足值及第3想要
的满足值之差,因此,模型定义的满意度应能反映出这种差别才是符合实际的。
3、在第三问中,题目要求使一个月内95%的会员得到他想看的DVD,我们认为
在一个月内会员只要看到一张他想要看到的DVD就认为该会员得到了他想看的
DVD。
4
二模型假设
5
6
7
8
9
10
11
会员提交订单时都如第三问中表格,既每次给出多个想看的DVD,并给
出了偏爱程度。
假设不愿意观看某种DVD的会员不会租看它。
公司每天收到的总订单数一定。
DVD邮寄过程的时间忽略。
会员提交的订单把他想看的DVD都列上了。
不考虑新会员入会和老会员退会的情况。
会员不会第二次租以前看过的DVD。
问卷调查能反映总体真实情况。
一个月30天。
历史数据能代表以后的需求形势。
DVD供过于求,不会在公司逗留。
三符号说明
kci
ndi
cbi
bi
kqi
ri
hki
N0
Pij
P1000⨯100
第i天的库存量
第i天的需求量(即第i天的订单总数)、
第i天的可借出量
第i天的实际借出量
第i天的空缺量(即当天交了订单却没得到DVD的人数)
第i天的归还总数
表示第k天租第i天还的人数
一天收到的总订单数
为第i位会员租到第j张DVD的满足值
为满足值矩阵
四
模型的建立及求解
说明:
我们称每月租赁一次的为一类会员,每月租赁两次的为二类会员。
问题1):
模型一:
为简化问题,我们不妨做如下假设:
1、希望观看某DVD的会员中,40%的为一类会员,60%为二类会员,这个
比例稳定不变;
2、新买的DVD是从月初开始出租的;
通过假设我们可以做出如下分析:
当新DVD上市后,租赁到一类会员手中的DVD在一个月内只能够租出一
次,而租赁到二类会员手中的DVD在一个月内至少可以租出两次。
考虑悲观情
况,即租赁到二类会员手中的DVD只循环两次,可以得到如下结果:
我们假设DVDi需要准备xi张。
10:
为了保证50%的会员一个月内能够看到他所希望看的DVD,由上述分析假
设我们可得:
对DVD1:
0.4x1+0.6x1+0.6x1≥1⨯105⨯20%⨯50%
从而x1≥6250(张)。
同理可得:
x2≥3125(张)x3≥1563(张)
x4≥782(张)x5≥313(张)
20:
为了保证95%的会员三个月内能够看到他所希望看的DVD,同样根据上述
分析假设可得:
一个月下来有0.4x1+0.6x1+0.6x1=1.6x1的会员可以看到他所希望
看的DVD,那么根据上述悲观情况的分析,三个月下来就有1.6x1⨯3=4.8x1的会
员可以看到他所希望看的DVD。
则可列出如下等式:
4.8x1≥1⨯105⨯20%⨯95%,
解得x1≥3959(张)。
x2≥1980(张)x3≥990(张)x4≥495(张)x5≥198(张)
模型二
以DVD1的运营情况为例分析更符合实际的情况:
设第i天的库存量kci
,第i天的需求量(即第i天的订单总数)ndi、
第i天的可借出量cbi、第i天的实际借出量bi、第i天的空缺量kqi(即当天交了
订单却没得到DVD的人数),第i天的归还总数r。
1)第i天的运营情况可描述为:
可借cbi=库存kci-1+还回ri
对实借bi:
若可借cbi>
=需求nbi
则
若可借cbi<
需求nbi
实借bi=需求nbi,空缺kqi=0;
实借bi=可借cbi,空缺kqi=需求nbi-可借cbi;
库存kci=库存kci-1+还回ri-实借bi;
2)还回量ri和需求量nbi的计算:
a.
设hki为第k天租第i天还的人数,
ri=
i-1
k=1
ki
b.一天收到的总订单数:
N0=160000/30=5334。
其中一类会员有N1=N0⨯0.25=1334(人),其中愿看DVD1的人数:
N1i=N1⨯P=1334⨯20%=267(人)。
(对DVD1,P=0.2)二类会员有
N2=N0⨯0.75=4000(人)。
其中愿看
DVD1的人数:
N2=N2⨯P=4000⨯20%=800(人)。
设这个月中第一次在第j天下订单,第二次在第i天下订单的人数为
i-1
j=1
∑h
bbji,则在第i天已看过DVD1的人数:
∑bbji,所以二类会员中在第i天订
购DVD1的人数:
N2i=N2⨯P-∑bbji
则第i天的需求量:
nbi=N1i+N2i。
3)设需购买G张DVD1,则第一个问题的模型为:
目标函数
Min=G
要求满足如下递归关系:
cbi=kci-1+ri
nbi=N1i+N2i
若cbi≥nbi则bi=nbi
若cbi≤nbi,则bi=cbi
kci=kci-1+r-bi
其中:
ri=
N1i=N1⨯P
其初始条件:
bb11=0,h11=0,即r1=0
b1=nb1=1066
kc1=G-b1=G-1066
30
i=1
求解上述模型需知道每天的还回量,也即要知道会员租赁周期的概率分布。
根据前面的分析,可设一类会员租赁周期的分布为:
N(μ1,σ2),二类会员的为:
N(μ2,σ2)。
其中μ1=30,μ2=15。
则会员租到的DVD在手中停留i天的概率
i+0.5
i-0.5
f(x)dx,f(x)=
2πσ
e
-
(x-μ)2
2σ2
取不同的σ2,将上式代入模型,用vc++编程求得结果如下:
i
N2i=N2⨯P-∑bbji
且:
∑bi≥10000。
一个月保证至少50%的会员能看到所希望的DVD的结果如下表:
表
(一)
由前面的分析可知,在第一个月内,想看DVD的会员都已提交了订单。
在
新DVD上市后的30—90天这段时间里来的订单不考虑再有要这些DVD的。
三个月保证至少95%的会员能看到所希望的DVD的结果如下表:
表
(二)
从上述两表中可知:
当σ2=0时,正态分布退化为单点分布。
即一类会员的
两次租赁的时间间隔为定值30,二类会员为定值15,此时,DVD的流通速度最
慢,为满足要求,需要的DVD数最多。
模型比较:
模型一通过假设对问题进行了简化处理,建模简单,易于求解,并且计算时
进行了悲观估计,所以提出的购买方案能保证满足要求。
但是,这样的处理及实
际情况不太相符,不能反映租赁活动的随机性和复杂性,按模型一的方案很可能
造成DVD资源浪费。
模型二从租赁活动的过程机理出发进行建模,较好的反映了租赁的真实过
程,提出的方案也更符合实际情况。
问题2)
在定义满意度之前先引入一个概念——满足值:
根据问题分析里对满意度的分析,我们定义一张DVD的满足值P为:
P=
R
;
其中R为排序号
注:
当该DVD不在会员的在线订单中(R=0)时,令满足值P=0。
我们定义满意度Q为:
Q=
∑P;
P0
其中P0为最大的满足值,即理想满足值。
11
23
11111
23456
对问题2)如果每个会员都能拿到他最想拿到的那三张DVD,那么这种情
况下总的满足值最大,其值为P0=(1+
据定义也就是要使得分配方案的实际满足值最大。
因此我们采用0-1规划进行求
解。
利用Lingo软件的集操作函数构造两个1000⨯100的矩阵Aij、Pij。
Aij为所要
求的0-1变量矩阵,其中aij=1表示第i个人拿到第j张DVD,aij=0表示第i个
人没有拿到第j张DVD。
Pij为满足值矩阵。
MAX:
Aij⨯PijT
ST:
100
1000
i=1
ij
≤3
≤dj
j=1,2,,1000;
i=1,2,,100
其中D100为100种DVD的原有数量矩阵。
解得最优分配情况下总的满足值P=1634.885。
根据定义我们算出最优分配
情况下满意度Q=
P
1634.885
1833.333
获得那些DVD的具体情况如表(三):
表(三)
对一类会员:
P0=1++=1.8333;
对二类会员:
P0=1+++++=2.45。
+)⨯1000=1833.333。
要使满意度最大,根
∑a
表中“/”后的数字表示会员对该DVD偏爱程度排序。
如“D008/1”表示会
员C0001分配到了其偏爱程度排序为1的DVD(D008)。
问题3)
从第一问的求解可以知道,平均每张DVD在其上市的的第一个月中,平
均租出1.83次。
第三问的运营情况及第一问相同,所以该数据也适用于第三问
的情况。
对每一名会员,只要看到一张想看的DVD,我们就认为其得到了他想
看的DVD。
满意度的计算及第二问相同,所以该问题也可用0—1规划求解。
'
—1变量yi表示第i个会员是否看到想看的DVD。
若
≥1,则yi=1,否则yi=0;
MIN
≤6
≤d'
j
≥950
Aij⨯PijT≥α
α为指定的满意度
我们发现,满意度的定义不同,在同样模型下求得的结果也会不同。
除了
我们定义的模型,我们还给出了另一种满意度的定义,即:
P=11-R
并也求出了此定义下的最小购DVD数:
∑d
∑y
表(四)
两种满意度定义算出的结果之所以相差较大,是因为按照第一种定义,会员
更容易满足,只要较少的DVD就可以得到较大的满意度。
例如:
第一种定义下,
一类会员只要得到自己最想要的那一张DVD,那么满意度就会大于50%,而按
照第二种定义,一类会员既使得到自己最想要的DVD,他的满意度也只有37%,
从实际情况来看,第1想要的满足值及第2想要的满足值之差应大于第2想要的
满足值及第3想要的满足值之差,因此,第一种定义更符合人们的心理。
第一种满意度定义下的拟合图如下:
y
2500
2250
2000
1750
1500
1250
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x
其中x轴为满意度,y轴为不同满意度下的最小购碟数。
他们近似满足方程:
y=3669.96x2-1897.03x+697.94
0.5≤x≤1
我们给出了按第一种满意度定义时,满意度为80%时的DVD购买方案和分
配方案:
每种DVD的购买量:
表(五)
12
前30位会员(C0001~C0030)分别获得那些DVD的具体情况如表(六):
表(六)
问题4)
1、考虑到实际生活中,会员在下过订单后总希望知道自己大概在什么时候
能租到该DVD,因此,我们在第一问第二小问的基础上,计算出订DVD1的会
员在三个月内的哪一天能得到DVD1。
根据先订先得的原则,若在第m天
空缺kqm>
0,即在第m天定了但没
租到DVD的会员数大于0,则实借bi应先借给这些会员,
若实借bi<
=空缺kqm:
实借bi全部用来填补空缺kqm,设中间变量k=空缺kqm,
空缺kqm=k-实借bi
若实借bi>
空缺kqm:
空缺kqm=0,实借bi中的剩余部分则可填补空缺kqm+1,
m增加1
参考第一问的模型,则此问题的模型为:
13
若cbi≥nbi:
则bi=nbi
若cbi≤nbi:
则bi=cbi
若bi<
=kqm,k=kqm
kqm=k-bi;
,
kqm=0
kci=kci-1+ri-bi
k=m,
m=k+1
ri
=
m=0,bb11=0,h11=0,即r1=0
=nb
取σ2=3,算出结果如下表:
14
=kqmk=kqm+1kqm+1=k-[bi-kqm],
b11=1066,
另外,要求满足条件:
∑bi≥10000,
表(七)
以表中第21行为例,表示在第21天有303人下订单,这303人大概在第
79—80天可以租到DVD1,其中先到的143人最有可能在第79天租到DVD1,
后到的160人最有可能在第80天租到DVD1。
2、在购买DVD时要考虑它的时效性,一搬DVD可分为两类,一类是热门
DVD,它在刚上市时需求量很大,但过一段时间需求量会变少,还有类是经典
DVD,它的需求量随时间变化不大,公司要想赚钱,一张DVD借出去的次数越
多越好,所以不能因为热
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