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平滑是研究时间序列的一个基本方法,用它来平抑或削弱时间序列中的波动变化,从而获得序列变化趋势的信息。
平滑一组数据常用的方法为移动平均法。
该方法是求原序列的一个k项平均数序列,
t=1,2,…,T-k+1
如3项平均,5项平均等。
这样用k项平均数组成的新序列抑制和削弱了原序列中的波动性。
这可以从下面一个例子中很好地反映出来。
具体计算见例12.1。
例12.1某公司1967年至1981年各年利润如下表,并对其作5项平均
年
利润(Y)
平均值
5项移动平均
1967
2
1968
4
=
1969
5
5.2
1970
7
6.0
1971
8
6.8
1972
6
8.0
1973
9.2
1974
11
10.4
1975
13
11.4
1976
14
12.6
1977
14.0
1978
15.4
1979
18
17.2
1980
20
1981
23
图12.3序列的平滑
k的选择:
从图上可以看出,k值越大平滑的效果越好。
但损失掉的项数(k-1)也越大,所以要在保持足够的数据与消除波动之间做出选择,一般取k与循环波动周期相一致,这样可有效地抑制循环变化。
当k为偶数时,如做12个月平均,4项平均等。
则算出的平均数只能对应在中心两项之间,这样很不方便,于是每两项再平均一次称作“中心化移动平均”(Centeredmovingaverage)
例12.2:
Yi
4项平均
4项中心化移动平均
5.0
6.0
6.25
5.75
5.5
6.13
当k为偶数时,目前移动平均的最新计算公式是
MAt=
,(用于季节数据)
,(用于月度数据)
序列平滑只是部分消除S,C,I变动,不一定是全部。
移动平均MA一般是T和C分量的乘积。
MA=TC
注意:
移动平均法在消除原有循环变化同时,有可能引入新的不存在的循环变化。
12.3趋势分量、循环分量、季节分量、不规则分量的求法
12.3.1趋势分量
求出移动平均序列,即TC,下一步确定趋势分量T(trend)。
在求趋势T之前,首先要观察趋势特征。
这可以通过对原时间序列Y或移动平均序列TC观察,而获得初步信息。
趋势可分为线性和非线性两种。
以线性趋势为例介绍趋势分量T的求法。
用移动平均TC对时间t回归,模型是
TC=0+1t+u。
则TC的拟合值
就是趋势分量T。
TC=
+
t+
=
其中T=
t
上例中的趋势显然是线性的,用回归分析方法求趋势如下,
T=
=0.73+1.29(t-1966),(t=1967……1981)
根据实际情况,也可以用非线性回归求趋势。
在非线性趋势中有一种可用Gompertz曲线描述。
其形式是
Y=b0
(0<
b1<
1,0<
b2<
1)
图12.5Gompertz曲线
一项新技术或一种新产品的推广过程都属于这种类型。
当b0事先已知时(根据实际问题可以预估),上式可变换为,
Y/b0=
,
Ln(Y/b0)=
Lnb1(把Gompertz曲线画在半对数格纸上就是指数曲线。
)
Ln(Ln(Y/b0))=xtLnb2+Ln(Ln(b1)),(Ln(Ln(Y/b0))与xt是线性关系。
除了上述线性和Gompertz方法求趋势外,还可以用虚拟变量方法、指数模型、对数模型、抛物线模型、滞后变量模型、分布滞后模型、差分模型以及广义差分模型进行趋势预测。
图12.6指数模型图12.7对数模型
图12.8双曲线模型图12.9多项式模型
12.3.2循环分量(C)
用移动平均法平滑序列,所得结果为趋势循环分量TC。
用回归法求出趋势分量T。
用T除TC得循环分量C。
C=
12.3.3季节分量(S)
在时间序列中含有季节分量是很常见的,如四季气候变化引起人们社会经济生活的一定变动,风俗习惯也呈现季节性变动(如春节期间肉销量大增)。
季节分量常用季节指数(Seasonedindex)表示,例如:
S=1.04表示由季节因素影响,时间序列值Y约高出平均值4%,S=0.93,序列值低于平均值7%。
求季节性指数可分三步进行。
(1)用移动平均法平滑序列,所得结果为趋势循环分量TC。
(2)用趋势循环分量TC除序列值Y,得季节不规则分量,Y/TC=SI。
(3)用SI分量相同期的全部值求平均数,有时也可以用这些全部值的中位数(这样可以避免极端不规则值的影响)作为季节因子S的初步值。
由于季节因子必须在一年内求得平衡,所以乘法模型中的季节因子的平均值应改为1。
因为季节因子S的初步值的平均值通常不能保证为1,所以需要作最后调整。
通过下表具体说明之。
表1季节因子的调整方法
时间序列的季节不规则混合分量值
1
3
1.8021
0.7117
0.4519
1.0461
1.7986
0.7289
0.4680
0.9982
1.7724
0.7706
0.4333
1.0363
1.7544
0.7496
0.4478
1.0402
1.7817
0.7014
0.4988
1.0124
中位数
3.9988
季节因子
0.4520
1.0370
1.7820
0.7290
4.0000
平均数
0.45996
1.02664
1.78184
0.73244
4.00088
0.45986
1.02641
1.78145
0.73228
4.00000
注:
(1)通过中位数求季节因子方法的调整因子是4.0000/3.9988=1.0003。
例如第1季度季节因子0.4520的计算公式是SF1=0.45191.0003=0.4520。
其余3个季节因子SF2、SF3、SF4的计算方法以此类推。
(2)通过平均数求季节因子方法的调整因子是4.0000/4.00088=0.99978。
例如第1季度季节因子0.4520的计算公式是SF1=0.459960.99978=0.45986。
季节分量(季节因子、季节指数)序列常用来评价一个具体时期与平均水平的差别。
例如第3季度季节因子1.78的含义是第3季度的值平均高出年平均水平78%。
若Y是年度数据,则Y中不含季节分量。
12.3.4不规则分量
不规则分量求法:
用S除SI,可求出I。
I=
12.4用T与S相结合的方法对时间序列Y进行预测
用回归函数预测T,再与S相乘,即可用来预测Y。
例如预测t+1期Y的值,
t+1=Tt+1St+1
12.5调整的时间序列(非季节时间序列)
YSA=Y/S
YSA是从Y中剔除了季节分量(因子),所以称其为调整的时间序列。
西方常发布这种数据。
12.6案例分析(加拿大月人口出生数序列,1973-1983,file:
birth)
加拿大月人口出生数(Yt)序列(1973:
1-1983:
12,见图12.10)存在非常明显的周期性变化规律。
每年都是10-12月份出生人口数低,而其他月份出生人口数高。
下面用时间序列乘法模型对加拿大月人口出生数序列进行分析与预测。
图12.10加拿大月人口出生数序列(file:
(1)求12期移动平均(见图12.11)
TC=MAt=
(t=1973:
12)
图12.11原序列和12个月移动平均(TC)图12.12原序列和线性趋势(T)
(2)用TC对t回归,得到趋势分量T(见图12.12)。
T=
=28787.4+20.53t,(1973:
7-1983:
6,1973:
1,t=1)
(512.4)(27.4)R2=0.86
的Eviews计算方法是
=TC-
。
对于本例,也可以用对数函数求趋势(见图12.13)。
=26012.65+1034.76Lnt,(1973:
(211.7)(34.2)R2=0.91
(3)用T除TC,得到循环分量C(见图12.14)。
图12.13原序列和对数函数趋势(T)图12.14循环分量(C)
(4)用TC除Yt,得到季节不规则分量SI(见图12.15)。
SI=Yt/TC
图12.15季节不规则分量(SI)
求SI中所有同期项的平均数。
例如把SI中所有1月份的值相加求平均数。
得S的一个循环周期如下(一年一个循环周期),
0.967910,0.919653,1.049022,1.025577,1.053898,1.012695,1.044937,1.020500,
1.018503,1.001330,0.940528,0.956525
其中0.96791说明时间序列Y值在1月份平均比总平均值低3.2%,1.049说明时间序列Y值在3月份平均比总均值低4.9%。
12个周期拼接在一起就是S序列(见图12.16)。
(5)用S除SI,得到不规则分量I(见图12.17)。
I=
图12.16季节分量图12.17不规则分量
(6)求调整的时间序列YSA
由于剔除了季节分量(因子),YSA的波动幅度比原序列减少了很多。
图12.18Y图12.19调整的Y(非季节的Y)
附部分运算结果如下:
上表中必有下式成立。
Y=TREND´
CYCLE´
SEASON´
IRRE
下面用TS分量预测。
预测式是
T+1=TT+1ST+1
例如,预测1984年1月份的出生人数,若用线性趋势预测
133=T133S1=28787.4+20.53t=(28787.4+20.53´
133)0.96791=30506
若用非线性趋势预测
133=T133S1=(26012.65+1034.76Lnt)S1
=(26012.65+1034.76Ln(133))0.96791=30076
总结时间序列分析步骤如下:
1.通过数据平滑(如k期移动平均)把原序列Y分离为TC和SI。
(数据减少k-1个)
2.通过用趋势循环分量(TC)对时间t回归,求出长期趋势T。
用T除TC,求出循环分量C。
(C=
)从而把TC分离为T和C。
3.用季节不规则分量SI各周期中相同期的值的平均数并进行调整之后作为S分量值。
(如对于月度数据有12个S分量值,把它拼接成一个与季节不规则分量SI一样长的一个序列S)
4.用S除季节不规则分量SI,求出不规则分量I。
从而把SI分离为S和I。
5.用TS两个分量对Yt进行预测。
第4章指数(Indexnumber)
4.1指数定义和类别
4.1.1指数定义
指数:
测量一个变量对一个特定变量的相对比率。
设有序列观测值y1,y2,…,yn若选yj为特定变量(基期),则第i期指数
Ii=
´
100
指数作用:
用以衡量同一变量在不同时期变化的方向和幅度。
图1城镇消费者物价指数(1960=1)
图2城镇居民消费水平指数(1960=1)
4.1.2指数简史
指数最初是从物价变动产生的,距今已有200年历史。
18世纪,欧洲人发现美洲。
于是金银大量从美洲流入欧洲。
欧洲物价飞涨,引起社会不安。
于是产生了反映物价变化程度的要求,这就产生了物价指数。
历史上最早使用指数的是英国人Vauphan。
1675年(康熙14年)Vauphan以1352年为基年比较了1650年的物价。
后来指数概念运用到经济领域各个方面。
因此,指数的概念和使用范围也扩展了。
现在反映各种动态的相对数都叫指数。
如物价指数、生产指数、贸易指数、消费水平指数等。
4.1.3指数分类
按研究对象中所含品种个数分类,指数分为:
(1)单一指数(只考虑一类品种);
(2)综合指数。
综合指数又分为简单综合指数(求单一指数的简单平均)和加权综合指数(考虑多类品种,求单一指数的加权平均)。
按基准点指数分为:
(1)定基指数(以固定时期为基期);
(2)环比指数(逐次以上一时期为基期)
表1中国定基物价指数,环比物价指数
中国定基物价指数
中国环比物价指数
1952
1.000000
1953
1.035354
1954
1.058081
1.021951
1955
1.068182
1.009547
1956
1957
1.085859
1.016548
1958
1.088384
1.002326
1959
1.098485
1.009281
1960
1.133838
1.032184
1961
1.315657
1.160356
1962
1.366162
1.038388
1963
1.285354
0.940850
1964
1.237374
0.962672
1965
1.204545
0.973469
1966
1.202020
0.997904
图3中国定基物价指数,环比物价指数
按性质分为:
(1)价格指数;
(2)数量指数。
4.2指数计算
(1)单一指数
例1:
我国1983年至1988年国民收入为
时期
国民收入
(亿元)
定基指数
(以1983年为基期)
环比指数
(以上一年为基期)
1983
4736
100=100
1984
5652
100=119.34
1985
7040
100=148.64
100=124.56
1986
7899
100=166.79
100=112.20
1987
9361
100=197.66
100=118.51
1988
11770
100=248.52
100=125.73
基期要选择变量变化比较稳定时期,若没有合适基期可选取若干年平均数为基期。
(2)简单算术平均综合指数
有时要考虑商品类的价格指数。
如蔬菜价格指数,要包括很多种蔬菜。
例3:
现有三种家庭常用食品的价格与年消耗量。
商品
1965
1975
价格(分/单位)
消耗量
牛奶(升)
26.7
360
37.1
350
面粉(磅)
12.3
80
20.3
90
土豆(磅)
11.1
160
20.5
175
则以1965年为基期,1975年为报告期的3个单一价格指数为:
I牛奶=
100=138.95
I面粉=
100=165.04
I土豆=
100=184.68
则关于这3种商品的简单综合指数,即是计算简单算术平均。
=162.87
(3)简单几何平均综合指数(不讲)
(4)加权平均综合指数:
(加权平均价格综合指数,加权平均数量综合指数)
①加权平均价格综合指数:
由于算术平均综合指数没有考虑到销售额的影响,所以反映问题的实质不很准确。
现已不常用。
常用的为拉氏Laspeyres(1864年德国人)指数和(Paasche)派氏(1874年德国人)指数。
拉氏价格指数是以基期销售量(或产值)为权数求综合价格指数。
100(拉氏价格指数)
其中:
P0,Pn分别为基期、报告期的价格。
Q0为基期的销售量。
派氏价格指数以报告期销售量(或产值)为权数求综合价格指数。
I=
100(派氏价格指数)
Qn为报告期的销售量。
例4:
某地区粮食销售资料如下。
求拉氏价格综合指数和派氏价格综合指数。
价格(元/斤)
销售量(万斤)
大米
0.20
500
0.23
450
面粉
0.25
200
0.24
300
玉米面
0.15
50
0.16
55
拉氏价格综合指数:
Ip=
100=108.57
派氏价格综合指数:
100=106.38
例5:
求如下3种商品的拉氏价格综合指数和派氏价格综合指数。
In=
100=147.6
In=
100=148.4
拉氏,派氏指数各有不同作用。
以价格指数为例,拉氏指数的特点是
(1)计算方便,因不必收集报告期消耗量,只收集报告期价格即可。
(2)因以基期销量为权,各报告期指数具有可比性。
派氏指数的特点是,各报告期指数只能与基期相互比,与其它期相比无可比性。
当价格有上升趋势时,人们常多买一些价格低的商品,少买价格高的商品。
这时拉氏指数要比实际值偏高,而派氏指数要比实际值偏低。
为克服这个不足之处,Fisher又给出了理想价格指数(Fisheridealpriceindex)。
=148
②加权平均数量综合指数:
拉氏数量指数是以基期价格为权数求综合数量指数。
100(拉氏数量指数)
派氏数量指数是以报告期价格为权数求综合数量指数。
100(派氏数量指数)
例6:
求如下3种商品的拉氏数量综合指数和派氏数量综合指数。
拉氏数量综合指数:
100=110.
派氏数量综合指数:
100=107.78
(5)加权平均指数:
①加权算术平均指数(价格加权算术平均指数,数量加权算术平均指数)
若单种商品的价格指数为Pn/P0,则n种商品的价格加权算术平均指数为(wi为权数),
IP=
若单种商品的数量指数为Pn/P0,则n种商品的数量加权算术平均指数为(wi为权数),
IQ=
4.3指数的作用
(1)综合反映事物的变动方向和变动程度。
因指数是无量纲的百分数,所以通过大于或小于100可知变化方向,通过比100大多少,小多少可知变动程度。
(2)研究事物长时间内变动趋势在连续编制的指数序列中,可反映事物发展变化趋势,这特别适用于有联系而性质又不同的数列之间的变动关系,解决了这种不可比的困难。
如前面给出的中日居民消费水平指数。
我国现用的综合指数有:
居民消费价格指数、商品零售价格指数(由500余种商品零售价格计算而成)、农产品收购价格指数、工业品出厂价格指数等。
4.4基期的选择:
(1)基期应选择比较稳定的时期,如19
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