中考类比探究专项Word文件下载.docx

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（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．

①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是　；

②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，请说明理由；

（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：

以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．

例2.（2015•贵港26．）已知：

△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°

，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+

，PA=

，则：

①线段PB=　　，PC=　　；

②猜想：

PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为　　；

（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在

（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；

（3）若动点P满足

=，求

的值．（提示：

请利用备用图进行探求）

例3.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°

，且点D在直线MN上（不与点A重合）．如图1，DE与AC交于点P，易证：

BD=DP．

（1）在图2中，DE与CA的延长线交于点P，则BD=DP是否成立？

如果成立，请给予证明；

如果不成立，请说明理由．

（2）在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？

请直接写出你的结论，无需证明．

例4.在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；

在Rt△PMN中，∠MPN=90°

．

（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD，PN⊥AB，分别交AD，AB于点E，F，请直接写出PE与PF的数量关系．

（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°

<

α<

45°

）．

①如图2，在旋转过程中

（1）中的结论依然成立吗？

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由．

②如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O，B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明．

③当BD=m·

BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．

（3）在

（2）②的条件下，当∠DPM=15°

时，连接EF，若正方形的边长为

，请直接写出线段EF的长．

【练习】

1、（2015•26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：

DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）

（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？

请写出猜想，并给予证明；

（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？

请直接写出猜想．

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠A=30°

，点O为AB的中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC，OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°

，得到线段PQ，连接BQ．

（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系：

________________；

（2）如图2，当点P在CB延长线上时，

（1）中结论是否成立？

若成立，请加以证明；

（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°

，BP=4，请求出BQ的长．

图1图2图3

3如图，△ABC中，点E，P在边AB上，且AE=BP，过点E，P作BC的平行线，分别交AC于点F，Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．

（1）①若EP=2AE，则EF:

PQ:

BC=__________；

②求证：

EF+PQ=BC．

（2）若S1+S3=S2，求

的值．

（3）若S3-S1=S2，直接写出

4、在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE=nEA，连接CE并延长交AB于点F．

（1）如图1，当∠BAC=90°

，∠B=30°

，DE=EA时，求

的值；

（2）如图2，当△ABC为锐角三角形，DE=EA时，求

（3）如图3，当△ABC为锐角三角形，DE=nEA时，求

第六讲几何类比探究

（二）

例1.如图1，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．

（1）如图1，当α=90°

时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是____________；

（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°

的菱形，其他条件不变，当α=60°

时，

（1）中的结论变为DE+DF=

，请给出证明；

（3）在

（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加

以证明．

例2.已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m，n不垂直，点P为线段CD的中点．

（1）操作发现：

直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A，B，当点A

与点C重合时（如图1所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：

____________．

（2）猜想证明：

在图1的情况下，把直线l向上平移到如图2的位置，试问

（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？

（3）延伸探究：

在图2的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°

（如图3所示），已知两平行线m，n之间的距离为2k．求证：

例3在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°

，若点P是BF的中点，连接PC，PE．

特殊发现：

如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：

PC=PE成立（不要求证明）．问题探究：

把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．

（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？

（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？

（3）记

，当k为何值时，△CPE总是等边三角形（请直接写出k的值，不必说明理由）？

例4．（2017一模）（10分）如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN

（1）线段MN和GD的数量关系是　　，位置关系是　　；

（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°

，其他条件不变，如图②，

（1）的结论是否成立？

说明理由；

（3）已知BC=7，CE=3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．

例5（2017）如图所示，平行四边形ABCD中，∠B=60°

，将一块含60°

的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面旋转，且60°

角的顶点始终与点C重合，角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F（不包括线段的端点）．

（1）问题发现：

如图1，若平行四边形ABCD为菱形，

试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系　　，请证明你的猜想．

（2）类比探究：

如图2，若AB：

AD=1：

2，过点C作CH⊥AD于点H，求AE：

FH的比值；

（3）拓展延伸：

如图3，若AB：

4，请直接写出（AE+4AF）：

AC的比值为　　．

例6（2017）如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．

（1）发现：

在图1中，

=　　；

（2）应用：

如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出

（3）拓展：

如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出

例7．已知：

△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°

，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．

（1）如图1，求证：

AE=BD；

（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．