高中数学基础知识与练习题.doc
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西安市第四十四中学内部资料基础知识点及练习题
第一讲集合与逻辑用语
第1节 集合及其运算
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种:
属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示).
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A=B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集
合A的补集为∁UA
图形表示
意义
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
并集的性质:
A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
交集的性质:
A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
补集的性质:
A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A;
∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
★练习
1.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则(∁RA)∩B=________.
2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B等于( )
A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,3)
4.(2015·浙江卷)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q等于( )
A.[3,4) B.(2,3] C.(-1,2) D.(-1,3]
一、选择题
1.(2015·安徽卷)设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩(∁UB)等于( )
A.{1,2,5,6} B.{1}C.{2} D.{1,2,3,4}
2.(2015·南昌监测)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2015·长春监测)已知集合P={x|x≥0},Q=,则P∩Q等于( )
A.(-∞,2)B.(-∞,-1]C.[0,+∞) D.(2,+∞)
4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A={x|-1<x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于( )
A.{2} B.{1,2,3}C.{-1,0,1,2,3} D.{0,1,2,3}
5.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
6.(2014·宜春检测)设集合P={x|x>1},Q={x|x2-x>0},则下列结论正确的是( )
A.P⊆Q B.Q⊆PC.P=Q D.P∪Q=R
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p
★练习
1.(2015·山东卷)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
2(2015·安徽卷)设p:
x<3,q:
-1 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2015·浙江卷)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列命题: ①x=2是x2-4x+4=0的必要不充分条件; ②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件; ③sinα=sinβ是α=β的充要条件;④ab≠0是a≠0的充分不必要条件. 其中为真命题的是__________(填序号). 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·重庆卷)“x=1”是“x2-2x+1=0”的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 3.设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 二、填空题 4.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 5.“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”). 6.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是________. 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题p且q、p或q、綈p的真假判断 p q P且q P或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有: “任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有: “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 3.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 4.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p或q的否定为: 非p且非q;p且q的否定为: 非p或非q. ★练习 1.(2015·湖北卷)命题“存在x∈(0,+∞),lnx=x-1”的否定是( ) A.任意x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.任意x∉(0,+∞),lnx=x-1 C.存在x∈(0,+∞),lnx≠x-1D.存在x∉(0,+∞),lnx=x-1 2..若命题“∀x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·抚州二检)若p是真命题,q是假命题,则( ) A.p且q是真命题 B.p或q是假命题 C.非p是真命题D.非q是真命题 2..命题“存在实数x,使x>1”的否定是( ) A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1 3.下列四个命题 p1: 存在x∈(0,+∞),x<x;p2: 存在x∈(0,1),; p3: 任意x∈(0,+∞),x>;p4: 任意x∈,x<. 其中真命题是( ) A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4 第二讲函数概念与函数基本性质 第1节 函数及其表示 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f: A→B或y=f(x),x∈A,此时x叫作自变量,集合A叫做函数的定义域,集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域. (2)函数的三要素是: 定义域、值域和对应关系. (3)表示函数的常用方法有: 解析法、列表法和图像法. (4)分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数. 分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 2.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ,n∈N* f(x)≥0 与[f(x)]0 f(x)≠0 logaf(x) f(x)>0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 ★练习 1.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x 2.(2015·重庆卷)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是( ) A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 3.(2015·陕西卷)设f(x)=则f(f(-2))等于( ) A.-1 B. C. D. 基础巩固题组 一、选择题 1.下图中可作为函数y=f(x)的图象的是( ) 2.下列函数中,与函数y=的定义域相同的函数为( ) A.y= B.y= C.y=xex D.y= 3.设函数f(x)=则f(f(3))等于( ) A. B.3 C. D. 4..某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( ) A.y= B.y=C.y= D.y= 二、填空题 6.函数f(x)=的定义域为________. 7.已知函数f(x)=则方程f(x)=1的解为________. 第2节 函数的单调性与最大(小)值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间A上是增加的 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间A上是减少的 续表 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)函数单调性的两种等价形式: 设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么 ①>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]
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