高等数学同济第五版课后答案第1章Word文件下载.docx
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证明
(1)因为x∈A⇒f(x)=y∈f(A)⇒f−1(y)=x∈f−1(f(A)),
所以f−1(f(A))⊃A.
(2)由
(1)知f−1(f(A))⊃A.
另一方面,对于任意的x∈f−1(f(A))⇒存在y∈f(A),使f−1(y)=x⇒f(x)=y.因为y∈f(A)且f是单射,所以x∈A.这就证明了f−1(f(A))⊂A.因此f−1(f(A))=A.
6.求下列函数的自然定义域:
(1)23+=xy;
解由3x+2≥0得32−>
x.函数的定义域为),32[∞+−.
(2)211xy−=;
解由1−x2≠0得x≠±
1.函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞).
(3)211xxy−−=;
解由x≠0且1−x2≥0得函数的定义域D=[−1,0)∪(0,1].
(4)241xy−=;
解由4−x2>
0得|x|<
2.函数的定义域为(−2,2).
(5)xysin=;
解由x≥0得函数的定义D=[0,+∞).
(6)y=tan(x+1);
解由21π≠+x(k=0,±
1,±
2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为12−+≠ππkx(k=0,±
2,⋅⋅⋅).
(7)y=arcsin(x−3);
解由|x−3|≤1得函数的定义域D=[2,4].
(8)xxy1arctan3+−=;
解由3−x≥0且x≠0得函数的定义域D=(−∞,0)∪(0,3).
(9)y=ln(x+1);
解由x+1>
0得函数的定义域D=(−1,+∞).
(10)xey1=.
解由x≠0得函数的定义域D=(−∞,0)∪(0,+∞).
7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同?
为什么?
(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;
(2)f(x)=x,g(x)=2x;
(3)334)(xxxf−=,31)(−=xxxg.
(4)f(x)=1,g(x)=sec2x−tan2x.
解
(1)不同.因为定义域不同.
(2)不同.因为对应法则不同,x<
0时,g(x)=−x.
(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.
(4)不同.因为定义域不同.
8.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<
=3||03|||sin|)(ππϕxxxx,求)6(πϕ,)4(πϕ,)4(πϕ−,ϕ(−2),并作出函数y=ϕ(x)的图形.
解21|6sin|)6(==ππϕ,22|4sin|)4(==ππϕ,22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ,0)2(=−ϕ.
9.试证下列函数在指定区间内的单调性:
(1)xxy−=1,(−∞,1);
(2)y=x+lnx,(0,+∞).
证明
(1)对于任意的x1,x2∈(−∞,1),有1−x1>
0,1−x2>
0.因为当x1<
x2时,
0)1)(1(112121221121<
−−−=−−−=−xxxxxxxxyy,
所以函数xxy−=1在区间(−∞,1)内是单调增加的.
(2)对于任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1<
x2时,有
0ln)()ln()ln(2121221121<
+−=+−+=−xxxxxxxxyy,
所以函数y=x+lnx在区间(0,+∞)内是单调增加的.
10.设f(x)为定义在(−l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在(−l,0)内也单调增加.
证明对于∀x1,x2∈(−l,0)且x1<
x2,有−x1,−x2∈(0,l)且−x1>
−x2.
因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以
f(−x2)<
f(−x1),−f(x2)<
−f(x1),f(x2)>
f(x1),
这就证明了对于∀x1,x2∈(−l,0),有f(x1)<
f(x2),所以f(x)在(−l,0)内也单调增加.
11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l,l)上的,证明:
(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;
(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
证明
(1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则
F(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)=F(x),
所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.
如果f(x)和g(x)都是奇函数,则
F(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−F(x),
所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.
(2)设F(x)=f(x)⋅g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则
F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=F(x),
所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.
F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=[−f(x)][−g(x)]=f(x)⋅g(x)=F(x),
所以F(x)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.
如果f(x)是偶函数,而g(x)是奇函数,则
F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)[−g(x)]=−f(x)⋅g(x)=−F(x),
所以F(x)为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.
12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数?
(1)y=x2(1−x2);
(2)y=3x2−x3;
(3)2211xxy+−=;
(4)y=x(x−1)(x+1);
(5)y=sinx−cosx+1;
(6)2xxaay−+=.
解
(1)因为f(−x)=(−x)2[1−(−x)2]=x2(1−x2)=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)由f(−x)=3(−x)2−(−x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.
(3)因为())(111)
(1)(2222xfxxxxxf=+−=−+−−=−,所以f(x)是偶函数.
(4)因为f(−x)=(−x)(−x−1)(−x+1)=−x(x+1)(x−1)=−f(x),所以f(x)是奇函数.
(5)由f(−x)=sin(−x)−cos(−x)+1=−sinx−cosx+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.
(6)因为)(22)()()(xfaaaaxfxxxx=+=+=−−−−−,所以f(x)是偶函数.
13.下列各函数中哪些是周期函数?
对于周期函数,指出其周期:
(1)y=cos(x−2);
(2)y=cos4x;
(3)y=1+sinπx;
(4)y=xcosx;
(5)y=sin2x.
解
(1)是周期函数,周期为l=2π.
(2)是周期函数,周期为2π=l.
(3)是周期函数,周期为l=2.
(4)不是周期函数.
(5)是周期函数,周期为l=π.
14.求下列函数的反函数:
(1)31+=xy;
(2)xxy+−=11;
(3)dcxbaxy++=(ad−bc≠0);
(4)y=2sin3x;
(5)y=1+ln(x+2);
(6)122+=xxy.
解
(1)由31+=xy得x=y3−1,所以31+=xy的反函数为y=x3−1.
(2)由xxy+−=11得yyx+−=11,所以xxy+−=11的反函数为xxy+−=11.
(3)由dcxbaxy++=得acybdyx−+−=,所以dcxbaxy++=的反函数为acxbdxy−+−=.
(4)由y=2sin3x得2arcsin31yx=,所以y=2sin3x的反函数为2arcsin31xy=.
(5)由y=1+ln(x+2)得x=ey−1−2,所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=ex−1−2.
(6)由122+=xxy得yyx−=1log2,所以122+=xxy的反函数为xxy−=1log2.
15.设函数f(x)在数集X上有定义,试证:
函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.
证明先证必要性.设函数f(x)在X上有界,则存在正数M,使|f(x)|≤M,即−M≤f(x)≤M.这这就证明了f(x)在X上有下界−M和上界M.
再证充分性.设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2,即K1≤f(x)≤K2.取M=max{|K1|,|K2|},则−M≤K1≤f(x)≤K2≤M,
即|f(x)|≤M.
这就证明了f(x)在X上有界.
16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:
(1)y=u2,u=sinx,61π=x,32π=x;
(2)y=sinu,u=2x,,81π=x,42π=x;
(3)uy=,u=1+x2,x1=1,x2=2;
(4)y=eu,u=x2,x1=0,x2=1;
(5)y=u2,u=ex,x1=1,x2=−1.
解
(1)y=sin2x,41)21(6sin221===πy,43)23(3sin222===πy.
(2)y=sin2x,224sin)82sin(1==⋅=ππy,12sin)42sin(2==⋅=ππy.
(3)21xy+=,21121=+=y,52122=+=y.
(4),,.2xey=1201==eyeey==212
(5)y=e2x,y1=e2⋅1=e2,y2=e2⋅(−1)=e−2.
17.设f(x)的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域:
(1)f(x2);
(2)f(sinx);
(3)f(x+a)(a>
0);
(4)f(x+a)+f(x−a)(a>
0).
解
(1)由0≤x2≤1得|x|≤1,所以函数f(x2)的定义域为[−1,1].
(2)由0≤sinx≤1得2nπ≤x≤(2n+1)π(n=0,±
2⋅⋅⋅),所以函数f(sinx)的定义域为
[2nπ,(2n+1)π](n=0,±
2⋅⋅⋅).
(3)由0≤x+a≤1得−a≤x≤1−a,所以函数f(x+a)的定义域为[−a,1−a].
(4)由0≤x+a≤1且0≤x−a≤1得:
当210≤<
a时,a≤x≤1−a;
当21>
a时,无解.因此当210≤<
a时函数的定义域为[a,1−a],当21>
a时函数无意义.
18.设⎪⎩⎪⎨⎧>
−=<
=1||11||01||1)(xxxxf,g(x)=ex,求f[g(x)]和g[f(x)],并作出这两个函数的图形.
解⎪⎩⎪⎨⎧>
=1||11||01||1)]([xxxeeexgf,即⎪⎩⎪⎨⎧>
=010001)]([xxxxgf.
即()⎪⎩⎪⎨⎧>
=<
==−1||1||e1||][101)(xexxeexfgxf()⎪⎩⎪⎨⎧>
=−1||1||11||][1xexxexfg.
19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°
(图1−37).当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AC+CD+DB)与水深h之间的函数关系式,并说明定义域.
图1−37
解40sinhDCAb==,又从0)]40cot2([21ShBCBCh=⋅++
得hhSBC⋅−=
40cot0,所以
hhSL
40sin40cos20−+=.
自变量h的取值范围应由不等式组
h>
0,040cot0>
⋅−hhS
确定,定义域为
40cot00Sh<
<
.
20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.
(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;
(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;
(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少?
解
(1)当0≤x≤100时,p=90.
令0.01(x0−100)=90−75,得x0=1600.因此当x≥1600时,p=75.
当100<
x<
1600时,
p=90−(x−100)×
0.01=91−0.01x.
综合上述结果得到
.⎪⎩⎪⎨⎧≥<
−≤≤=160075160010001.091100090xxxxp
(2).⎪⎩⎪⎨⎧≥<
−≤≤=−=160015160010001.031100030)60(2xxxxxxxxpP
(3)P=31×
1000−0.01×
10002=21000(元).
习题1−2
1.观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势,写出它们的极限:
(1)nnx21=;
(2)nxnn1)1(−=;
(3)212nxn+=;
(4)11+−=nnxn;
(5)xn=n(−1)n.
解
(1)当n→∞时,nnx21=→0,021lim=∞→nn.
(2)当n→∞时,nxnn1)1(−=→0,01)1(lim=−∞→nnn.
(3)当n→∞时,212nxn+=→2,2)12(lim2=+∞→nn.
(4)当n→∞时,12111+−=+−=nnnxn→0,111lim=+−∞→nnn.
(5)当n→∞时,xn=n(−1)n没有极限.
2.设数列{xn}的一般项nnxn2cosπ=.问=?
求出N,使当n>
N时,xnnx∞→limn与其极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N.
解.0lim=∞→nnx
nnnxn1|2cos||0|≤=−π.∀ε>
0,要使|xn−0|<
ε,只要ε<
n1,也就是ε1>
n.取]1[ε=N,
则∀n>
N,有|xn−0|<
ε.
当ε=0.001时,]1[ε=N=1000.
3.根据数列极限的定义证明:
(1)01lim2=∞→nn;
(2)231213lim=++∞→nnn;
(3)1lim22=+∞→nann
(4).19999.0lim=⋅⋅⋅∞→
个nn
(1)分析要使ε<
=−221|01|nn,只须ε12>
n,即ε1>
n.
证明因为∀ε>
0,∃]1[ε=N,当n>
N时,有ε<
−|01|2n,所以01lim2=∞→nn.
(2)分析要使ε<
+=−++nnnn41)12(21|231213|,只须ε<
n41,即ε41>
0,∃]41[ε=N,当n>
−++|231213|nn,所以231213lim=++∞→nnn.
(3)分析要使ε<
++=−+=−+nanannannannan22222222)(|1|,只须ε2an>
0,∃][2εaN=,当∀n>
−+|1|22nan,所以1lim22=+∞→nann.
(4)分析要使|0.99⋅⋅⋅9−1|ε<
=−1101n,只须1101−n<
ε,即ε1lg1+>
0,∃]1lg1[ε+=N,当∀n>
N时,有|0.99⋅⋅⋅9−1|<
ε,所以.19999.0lim=⋅⋅⋅∞→
n
4.,证明.并举例说明:
如果数列{|xaunn=∞→lim||||limaunn=∞→n|}有极限,但数列{xn}未必有极限.
证明因为,所以∀ε>
0,∃N∈N,当n>
N时,有,从而aunn=∞→limε<
−||aun
||un|−|a||≤|un−a|<
这就证明了|.|||limaunn=∞→
数列{|xn|}有极限,但数列{xn}未必有极限.例如,但不存在.1|)1(|lim=−∞→nnnn)1(lim−∞→
5.设数列{xn}有界,又,证明:
.0lim=∞→nny0lim=∞→nnnyx
证明因为数列{xn}有界,所以存在M,使∀n∈Z,有|xn|≤M.
又,所以∀ε>
N时,有0lim=∞→nnyMynε<
||.从而当n>
N时,有
εε=⋅<
≤=−MMyMyxyxnnnnn|||||0|,
所以.0lim=∞→nnnyx
6.对于数列{xn}若x2k→a(k→∞),x2k+1→a(k→∞),证明:
xn→a(n→∞).
证明因为x2k→a(k→∞),x2k+1→a(k→∞),所以∀ε>
0,
∃K1,当2k>
2K1时,有|x2k−a|<
ε;
∃K2,当2k+1>
2K2+1时,有|x2k+1−a|<
ε..
取N=max{2K1,2K2+1},只要n>
N,就有|xn−a|<
ε.因此xn→a(n→∞).
习题1−3
1.根据函数极限的定义证明:
(1);
8)13(lim3=−→xx
(2);
12)25(lim2=+→xx
(3)424lim22−=+−−→xxx;
(4)21241lim321=+−−→xxx.
证明
(1)分析|(3x−1)−8|=|3x−9|=3|x−3|,要使|(3x−1)−8|<
ε,只须ε31|3|<
−x.
证明因为∀ε>
0,∃εδ31=,当0<
|x−3|<
δ时,有|(3x−1)−8|<
ε,所以.8)13(lim3=−→xx
(2)分析|(5x+2)−12|=|5x−10|=5|x−2|,要使|(5x+2)−12|<
ε,只须ε51|2|<
0,∃εδ51=,当0<
|x−2|<
δ时,有|(5x+2)−12|<
ε,所以.12)25(lim2=+→xx
(3)分析|)2(||2|244)4(2422−−=+=+++=−−+−xxxxxxx,要使ε<
−−+−)4(242xx,只须ε<
−−|)2(|x.
0,∃εδ=,当0<
|x−(−2)|<
δ时,有ε<
−−+−)4(242xx,所以424lim22−=+−−→xxx.
(4)分析|)21(|2|221|212413−−=−−=−+−xxxx,要使ε<
−+−212413xx,只须ε21|)21(|<
−−x.
0,∃εδ21=,当δ<
−−<
|)21(|0x时,有ε<
−+−212413xx,所以21241lim321=+−−→xxx.
2.根据函数极限的定义证明:
(1)2121lim33=+∞→xxx;
(2)0sinlim=+∞→xxx.
证明
(1)分析333333||21212121xxxxxx=−+=−+,要使ε<
−+212133xx,只须ε<
3||21x,即321||ε>
x.
0,∃321ε=X,当|x|>
X时,有ε<
−+212133xx,所以2121lim33=+∞→xxx.
(2)分析xxxxx1|sin|0sin≤=−,要使ε<
−0sinxx,只须ε<
x1,即21ε>
证明因为∀ε>
0,∃21ε=X,当x>
−0sinxx,所以0sinlim=+∞→xxx.
3.当x→2时,y=x2→4.问δ等于多少,使当|x−2|<
δ时,|y−4|<
0.001?
解由于x→2,|x−2|→0,不妨设|x−2|<
1,即1<
3.要使|x2−4|=|x+2||x−2|<
5|x−2|<
0.001,只要0002.05001.0|2|=<
−x,取δ=0.0002,则当0<
δ时,就有|x2−4|<
0.001.
4.当x→∞时,13122→+−=xxy,问X等于多少,使当|x|>
X时,|y−1|<
0.01?
解要使01.034131222<
+=−+−xxx,只397301.04||=−>
x,397=X.
5.证明函数f(x)=|x|当x→0时极限为零.
6.求,)(xxxf=xxx||)(=ϕ当x→0时的左﹑右极限,并说明它们在x→0时的极限是否存在.
11limlim)(lim000===−−−→→→xxxxxxf,
11limlim)(lim000===+++→→→xxxxxxf,
)(lim)(lim00xfxfxx+→→=−
所以极限存在.)(lim0
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