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问题1如图,已知矩形
的边
,
.
(1)以点
为圆心,
为半径作⊙
,则点
、
与⊙
的位置关系如何?
(2)若以点
为圆心作⊙
,使
三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙
的半径
的取值范围是什么?
解:
问题2:
在直角△ABC中,∠C=90°
,BC=3,AC=4,以B为圆心,以BC为半径作⊙B,问点A、C及AC的中点D与圆有怎样的位置关系?
问题3、确定一个圆所必须的条件
(1)、平面上有一点A,经过已知A点的圆有几个?
圆心在哪里?
(2)、平面上有两点A、B,经过已知点A、B的圆有几个?
它们的圆心分布有什么特点?
圆心为,半径为
(3)、平面上有三点A、B、C,经过A、B、C三点的圆有几个?
圆心为,半径为
分析:
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的
经过A,B,C三点的圆的圆心应该这两条垂直平分线的
归纳结论:
4.有关定义
由上可知,经过三角形的三个顶点可以作一个圆,并且只能一个圆,这个圆叫做三角形的,这个三角形叫这个圆的
外接圆的圆心是三角形的,它到三角形三个顶点的距离相等。
合作探究
例、如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站,
使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置
(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).
四巩固练习
1、⊙O的半径为5,圆心的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O的位置关系是.
2、边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.
3、一个点与定圆上最近的距离为4㎝,最远点的距离为9㎝,则此圆的半径为。
4.⊙O的半径为R,圆心到点A的距离为d,且R、d分别是方程x2-6x+8=0的两根,则点A与⊙O的位置关系是()
A.点A在⊙O内部B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外部D.点A不在⊙O上
5、一个点到圆的最小距离为4cm,最大距离为9cm,则该圆的半径是()
A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm
6、判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆().
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()
(3)经过三点一定可以确定一个圆()
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等()
(5)三角形的外心到三边的距离相等。
()
7、若一个三角形的外心在一边上,则此三角形的形状为()
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形
8.直角三角形的外心是______的中点,锐角三角形外心在三角形______,钝角三角形外心在三角形_________.
课后案
1、△ABC中,O是它的外心,BC=24㎝,O到BC的距离是5㎝,
则△ABC外接圆的半径等于。
2、如图,△ABC中,O是它的外心,已知∠ACO=30°
,则∠B=。
3、已知O是△ABC的外心,∠BOC=130°
。
则∠A=。
4、如图,O为原点,点A坐标为(2,3),圆A的半径为1,过A作直线L∥x轴,点P在L上运动,当点P运动到圆上时,求线段OP的长。
第2课时直线和圆的位置关系
【学习目标】
1.了解直线和圆的位置关系的有关概念.
2.设⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,理解直线和圆的位置关系。
探索直线和圆的三种位置关系
探索直线和圆的三种位置关系及应用直线和圆的位置关系解决问题。
2.完成教材助读设置的问题,完成预习自测及我的疑惑栏目;
一、教材助读阅读教材P46—47,完成课前预习
【课前预习】
点与圆的位置关系
数量关系
知识回顾
一、探究1:
(1)你看过日出吗?
你知道太阳升起过程中,太阳和地平线会有几种不同位置关系吗?
(2)如图,在纸上画一条直线L,把钥匙环看作一个圆,在纸上移动钥匙环,你能发现在钥匙环移动的过程中,它与直线L的公共点的个数吗?
发现:
直线与圆有如下三种位置关系:
归纳:
直线和圆有两个公共点,直线和圆,这条直线叫做圆的.
直线和圆有一个公共点,直线和圆,这条直线叫做圆的,这个点叫做.直线和圆没有公共点,这条直线和圆.
探究2:
设⊙O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,在直线和圆的不同位置关系中,d和r具有怎样的大小关系?
反过来,你能根据d和r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗?
(a)(b)(c)
直线L和⊙O相交dr,如图(a)所示;
直线L和⊙O相切dr,如图(b)所示;
直线L和⊙O相离dr,如图(c)所示.
二、合作学习探究展示(学生讨论交流,教师点评)
例1.圆的直径是13,如果直线与圆心的距离分别如下,判断直线与圆的位置关系?
并说明公共点的个数.
14.5⑵6.5⑶8
例2.在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,下列r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?
1r=2cm⑵r=2.4cm⑶r=3cm
三、课堂小结
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线的距离d与r的关系
四、巩固练习
1.⊙O的半径是5,点O到直线l的距离为4,则直线l与⊙O的位置关系为()
A.相离B.相切C.相交D.相交或相切
2、已知⊙O的直径为10.
(1)、若直线与⊙O相交,则圆心O到直线的距离d________;
(2)、若直线与⊙O相切,则圆心O到直线的距离d________;
(3)、若直线与⊙O相离,则圆心O到直线的距离d________.
3、已知⊙A的直径为6,点A的坐标为(-3,-4),则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。
4、已知△ABC中,AB=AC=5,BC=6,以点A为圆心,以4为半径作⊙A,⊙A与直线BC的位置关系怎样。
5、直线L与半径为r的圆相交,且点O到直线L的距离为5,则r的取值范围是()
A、r>
5B、r=5C、r<
5D、r≤5
6、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4㎝,若以C为圆心,以3㎝为半径作圆,则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是()
A、相交B、相切C、相离D、不能确定
7、在平面直角坐标系中,以点(2,3)为圆心,以2为半径的圆必定()
A、与x轴相离,与y轴相切B、与x轴、y轴都相离
C、与x轴相切,与y轴相离D、与x轴、y轴都相切
8、△ABC中,∠C=90°
∠A=30°
,BC=3,若以C为圆心的圆与AB相切,则这个圆的半径是。
9、设圆O的半径是r,点O到直线L的距离是d,若圆O与L至少有一个公共点,则r与d之间的关系是()
A、d>
rB、d=rC、d<
rD、d≤r
10、设圆O的半径为r,圆O的圆心O到直线L的距离为d,若d,r方程的两个实数根,当直线L与圆O相切时,m的值是。
☆11、已知圆O的直径为8,P为直线L上一点,且OP=4,则直线L与圆O的位置关系是()
A、相交B、相切C、相离D、相交或相切
12、如图,圆A的圆心坐标为(0,4),若圆A的半径为3,则直线y=x与圆A的位置关系是。
13、如图,O为原点,A(2,3),圆A的半径为1,过A作直线L与x轴平行,点P在L上运动,当p(4,3)时,判断OP与圆A的位置关系,并说明理由。
第3课时切线的判定
1、使学生掌握切线的识别方法,并能初步运用它解决有关问题;
2、通过切线识别方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力;
切线的识别方法。
切线的识别方法的理解及实际运用。
1、.用5分钟左右的时间,阅读探究课本的基础知识。
2、.完成教材助读设置的问题,然后结合课本的基础知识和例题,完成预习自测及我的疑惑栏目;
3、将预习中不能解决的问题标出来,并填写到后面“我的疑惑”处。
一、教材助读
1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系.
根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线,但有时使用定义识别很不方便,为此我们还要学习识别切线的其它方法.
二、师生共同探讨、发现结论
1、由上面的复习,我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法:
与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
2、当然,我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离与半径之间的关系来判断直线与圆是否相切,即:
当时,直线与圆的位置关系是相切.以此作为识别切线的方法2——数量关系法:
圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
3、如图,圆心到直线的距离等于半径,直线是⊙O的切线,这时我们来观察直线与⊙O的位置,可以发现:
(1)直线经过半径的;
(2)直线半径.
这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法:
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
三、合作学习探究一:
例1、如图,已知直线AB经过⊙O上的点A,并且AB=OA,OBA=45,直线AB是⊙O的切线吗?
为什么?
探究二:
例2、如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,BAD=B=30,边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗?
课堂小结
主要学习了切线的识别方法,着重分析了方法3成立的条件,在应用方法3时,注重两个条件缺一不可.
识别一条直线是圆的切线,有三种方法:
(1)根据切线定义判定,即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(2)根据圆心到直线的距离来判定,即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
(3)根据直线的位置关系来判定,即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,
说明一条直线是圆的切线,常常需要作辅助线,如果已知直线过圆上某一点,则作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径即可(如例2).
四、当堂检测
1.给出下列说法:
①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
③过半径的外端的直线是圆的切线;
④垂直于半径的直线是圆的切线.
其中正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个
2.己知⊙O半经为1,圆心O与直线的距离为d,且方程x-2x+d=0没有实根,则直线与⊙O的位置关系是_______________________
3.如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,
试说明直线AB是⊙O的切线.
4.如图,⊙O的半径为6cm,OD⊥AB,垂足为点D,∠AOD=∠B,AD=12cm,BD=3cm.
求证:
AB是⊙O的切线.
5.如图,在等腰三角形ABC中,以腰AB为直径作⊙O交底边BC于点P,PE⊥AC,垂足为点E,试说明PE是⊙O的切线.
1.如图,A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,AC=OC=CB.
2.如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,sin∠B=,∠D=30O
(1)求证:
AD是⊙O的切线;
(2)若AC=6,求AD的长.
第4课时切线的性质
1、使学生掌握切线的性质定理,并能初步运用它解决有关问题;
切线的性质定理。
切线的性质定理的理解及实际运用。
4、.用5分钟左右的时间,阅读探究课本的基础知识。
5、.完成教材助读设置的问题,然后结合课本的基础知识和例题,完成预习自测及我的疑惑栏目;
6、将预习中不能解决的问题标出来,并填写到后面“我的疑惑”处。
一、知识储备
1.切线的判定定理是什么?
2.切线的判定方法有
二、导学探究
问题1:
如果直线l是⊙O的切线,切点为A,则半径OA与直线l是不是一定垂直呢?
(用反证法)
假设OA与l不垂直,过点O作OM⊥l,垂足为M,根据垂线段最短的性质,有OM<OA,这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA,于是直线l与圆相交,而这与直线l是⊙O的切线矛盾,因此,半径OA与直线l垂直。
切线的性质:
圆的切线 .
例1:
如图,⊙O中,AB为直径,过B点作⊙O切线BC,连接CO,若AD∥OC交⊙O于D,求证:
CD为⊙O的切线。
例2:
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AB交小圆于点C、D,大圆的弦EF与小圆相切于点C,ED交小圆于点G,设大圆的半径为,,
求小圆的半径和EG的的长度。
1.如图,已知AB、AC分别是⊙O的直径和切线,BC交⊙O于D,AB=8,AC=6,则AD=.
2、如图,切于点,点是上一点,且,
则度.
3.如图,是的直径,AD是的切线,点在上,,
则的长为()
A.B.C.D.
4、如图,已知PA是∠BAC的平分线,角的一边AB与⊙O相切,
另一边AC也与⊙O相切.
点评:
不知直线是否经过圆上的点,要证为切线,则作垂直,证半径.
5、如图,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E。
⑴求证:
DE是⊙O的切线;
⑵作DG⊥AB交⊙O于G,垂足为F,若∠A=30°
AB=8,求弦DG的长。
1.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,∠B=300,
直线BD与⊙O切于点D,则∠ADB的度数是( )
A.1500 B.1350C.1200D.1000
2.如图,⊙的直径与弦的夹角为,切线与的延长线交于点,若⊙的半径为3,则的长为( )
A.6B.C.3D.
3.如图,已知直线CD与⊙O相切于点C,AB为直径,若∠BCD=40°
,则∠ABC的大小等于_____.
4.如图,PA是⊙O的切线,切点为A,PA=,∠APO=30°
,则⊙O的半径长为_______.
5.已知∠AOB=300,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2cm为半径作⊙M.当OM=_______cm时,⊙M与OA相切(如图).
6.如图,以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点G,连结AD,并过点D作DE⊥AC,垂足为E.根据以上条件写出三个正确的结论(除AB=AC,AO=BO,ABC=∠ABC外)是:
(1)___________________;
(2)___________________;
(3)__________________
(3题图)(4题图)(5题图)(6题图)
7.如图,∠PAQ是直角,⊙O与AP相切于点T,与AQ交于B、C两点.
(1)BT是否平分∠OBA?
说明你的理由;
(2)若已知AT=4,弦BC=6,试求⊙O的半径R.
第5课时切线的判定和性质(习题课)
1、使学生掌握切线的性质和判定定理,并能初步运用它解决有关问题;
切线的性质和判定定理。
切线的性质和判定定理的理解及实际运用。
4、
1、切线的判定定理是什么?
2.切线的性质定理是什么?
1、如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于D,DE⊥AC于E,连接AD,则下列结论正确的个数是()
①AD⊥BC②∠EDA=∠B ③OA=AC④DE是⊙O的切线
A.1个B.2个 C.3个D.4个
请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,
待课堂上与老师和同学探究解决。
探究一:
如图,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°
,AD∥BC,E为
AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,
以AB为直径的圆与边CD相切。
学生仿解:
1.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°
,且AD+BC=AB,AB为⊙O直径,求证:
⊙O与CD相切。
如图所示,AB是直径,弦于点,且交于点,若.
(1)判断直线和的位置关系,并给出证明;
(2)当时,求的长.
当堂检测
一、基础训练
1.已知⊙O的半径为8cm,如一条直线和圆心O的距离为8cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.相交或相离
2.如图1,AB与⊙O切于点B,AO=6cm,AB=4cm,则⊙O的半径为()
A.4cmB.2cmC.2cmD.m
3.如图2,已知∠AOB=30°
,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2cm为半径作⊙M,当OM=______cm时,⊙M与OA相切.
4.已知:
如图3,AB为⊙O直径,BC交⊙O于点D,DE⊥AC于E,要使DE是⊙O的切线,那么图中的角应满足的条件为_______(只需填一个条件).
5.(2005年四川省)如图4,AB为半圆O的直径,CB是半圆O的切线,B是切点,AC交半圆O于点D,已知CD=1,AD=3,那么cos∠CAB=________.
6.(2005年武汉市)如图5,BC为半⊙O的直径,点D是半圆上一点,过点D作⊙O的切线AD,BA⊥DA于A,BA交半圆于E,已知BC=10,AD=4,那么直线CE与以点O为圆心,为半径的圆的位置关系是________.
7.(2005年山西省)如图,⊙O的半径为1,圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动.当⊙O移动到与AC边相切时,OA的长为多少?
二、能力提升:
8.如图,直线AB切⊙O于点A,点C、D在⊙O上.
试探求:
(1)当AD为⊙O的直径时,如图①,∠D与∠CAB的大小关系如何?
并说明理由.
(2)当AD不为⊙O的直径时,如图②,∠D与∠CAB的大小关系同②一样吗?
为什么?
①②
9.如图,⊙O的直径AB=6cm,D为⊙O上一点,∠BAD=30°
,过点D的切线交AB的延长线于点C.
求:
(1)∠ADC的度数;
(2)AC的长.
10、已知:
如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,sinB=,∠CAD=30°
(1)求证:
(2)若OD⊥AB,BC=5,求AD的长.
第6课时切线长定理
1.通过探究,使学生发现、掌握切线长定理,并初步学会应用切线长定理解决问题;
2、掌握三角形内切圆的画法,能用内心的性质解决问题。
切线长定理及其应用,三角形的内切圆的画法和内心的性质。
三角形的内心及其半径的确定。
1、自主学习与合作探究相结合
2、典例分析与课堂练习相结合
一、自主学习
1..切线长:
2.切线长定理:
3.与三角形各边都的圆叫做三角形的圆,圆的
叫做三角形的,这个三角形叫做圆的三角形,三角形的内心是
二、合作学习
典例分析
△ABC的内切圆⊙O与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F,且AB=5厘米,BC=9厘米,AC=6厘米,求AE、BF和CD的长。
如图,AB、CD分别与半圆O切于点A、D,BC切⊙O于点E,若AB=4,CD=9,
求⊙O的半径.
例3:
三角形的内切圆
想一想,发给同学们如图28.2.11所示三角形纸片,请在它的上面截一个面积最大的圆形纸片?
请同学们思考如何确定圆心和半径。
1.下列说法中,不正确的是()
A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等
2.给出下列说法:
①任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;
②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一
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