1998年 全国高考 文科数学Word文档格式.docx
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D.-1/x(x≠0)
6.已知点P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,则[0,2π]内α的取值范围是
A.(π/2,3π/4)∪(π,5π/4)
B.(π/4,π/2)∪(π,5π/4)
C.(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2)
D.(π/4,π/2)∪(3π/4,π)
7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为
A.120°
B.150°
C.180°
D.240°
8.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是
A.
/2±
1/2
B.-
1/2i
C.±
/2+1/2i
D.±
/2-1/2i
9.如果棱台的两底面积分别是S,S'
,中截面的面积是S0,那么
A.2
=
+
B.S0=
C.2S0=S+S'
D.S02=2S'
S
10.2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士。
不同的分配方法共有
A.6种
B.12种
C.18种
D.24种
11.向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示,那么水瓶的形状是
12.椭圆x2/12+y2/3=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是
A.±
/4
B.±
C.±
3/4
13.球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为
A.4
B.2
C.2
D.
14.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为
A.arccos
-1/2
B.arcsin
-1/2
C.arccos1-
D.arcsin1-
15.等比数列{an}的公比为-1/2,前n项的和Sn满足
Sn=1/a1,那么a1的值为
3/2
第Ⅱ卷(非选择题共85分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。
16.设圆过双曲线x2/9-y2/16=1的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_____。
17.(x+2)10(x2-1)的展开式x10的系数为______(用数字作答)。
18.如图,在直四棱柱A1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件____时,有A1C⊥B1D1。
(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形。
)
19.关于函数F(x)=4sin(2x+π/3)(x∈R),有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π/6);
③y=f(x)的图象关于点(-π、6,0)对称;
④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。
其中正确的命题的序号是_____。
把你认为正确的命题的序号都填上。
三、解答题:
本大题共6小题;
共69分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20.(本小题满分10分)设a≠b,解关于x的不等式
a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.
21.(本小题满分10分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=π/3,求sinB的值。
以下公式供解题时参考:
sinθ+sinφ=2sinθ+φ/2cosθ-φ/2,
sinθ-sinφ=2cosθ+φ/2sinθ-φ/2,
cosθ+cosφ=2cosθ+φ/2cosθ-φ/2,
cosθ-cosφ=-2sinθ+φ/2sinθ-φ/2
21.(本小题满分11分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1。
以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与点N的距离相等。
若△AMN为锐角三角形,|AM|=
,|AN|=3,且|BN|=6。
建立适当的坐标系,求曲线C的方程。
22.(本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。
污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出。
设箱体的长度为a米,高度为b米。
已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。
现有制箱材料60平方米。
问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。
23.(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90°
,BC=2,AC=2
,且AA1⊥A1C,AA1=A1C。
(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
(Ⅲ)求顶点C到侧面A1ABB1的距离。
24.(本小题满分12分)设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。
(Ⅰ)写出曲线C1的方程;
(Ⅱ)证明曲线C与C1关于点A(t/2,s/2)对称;
(Ⅲ)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明s=t3/4-t且t≠0。
25.(本小题满分12分)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145。
(Ⅰ)求数列{bn}的能项bn;
(Ⅱ)设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn)(其中a>
0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项的和。
试比较Sn与1/3logabn+1的大小,并证明你的结论。
1998年全国普通高等学校招生统一考试(文史卷)
数学参考答案
一、选择题
题号12345678910
答案DBCABBCDAB
题号1112131415
答案BABCD
二、填空题
(16)16/3
(17)-5120
(18)AC⊥BD
(19)①,③
(20)解:
将原不等式化为(a2-b2)x-b2≥
(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2,……4分
移项,整理后得(a-b)2(x2-x)≤0,
∵a≠b即(a-b)2>
0,∴x2-x≤0,……7分
即x(x-1)≤0。
解此不等式,
得解集{x|0≤x≤1}。
……10分
(21)解:
由正弦定理和已知条件a+c=2b得
sinA+sinC=2sinB。
……2分由和差化积公式
得2(sin(A+C)/)2(cos(A-C)/2)=2sinB。
由A+B+C=π,
得sin(A+C)/2=cosB/2,又A-C=π/3,得
/2cosB/2=sinB,
∴(
/2)cosB/2=2(sinB/2)(cosB/2)。
……6分
∵0<
B/2<
π/2,cosB/2≠0,∴sinB/2=
/4,
从而cosB/2=
/4……9分
∴sinB=
/2×
/4=
/8……11分
(22)
解法一:
如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的
垂直平分线为y轴,点O为坐标原点。
依题意
知:
曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为C的端点。
设曲线段C的方程为y2=2px(p>
0),(xA≤x≤xB,y>
0),其中xA,xB分别为A,B的横坐标,p=|MN|。
所以M(-p/2,0),N(p/2,0)。
……4分
由|AM|=
,|AN|=3得
(xA+p/2)2+2pxA=17,①
(xA-p/2)2+2pxA=9。
②……6分
由①,②两式联立得xA=4/p,再将其代
入①式并由p>
0解得p=4,xA=1;
或p=2,xA=2。
因为△AMN是锐角三角形,
所以p/2>
xA,故舍去p=2,xA=2。
∴p=4,xA=1。
由点B在曲线段C上,
得xB=|BN|-p/2=4。
综上得曲线段C的方程式为y2=8x(1≤x≤4,y>
0)。
……12分
解法二:
如图建立坐标系,分别以l1、l2
为x、y轴,M为坐标原点。
作AE⊥l1,
AD⊥l2,EF⊥l2,垂足分别为E、D、F。
……2分
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)。
依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|=2
,由于△AMN为锐角
三角形,故有xN=|AE|+|EN|=4。
xB=|BF|=|BN|=6。
……7分
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合{(x,y)|(x-xN)2=x2,xA≤x≤xB,y>
0}。
故曲线段C的方程
y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>
(23)解:
(Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D,
由面A1ACC1⊥面ABC,得
A1D⊥面ABC,∴∠A1AD
为A1A与面ABC所成的角。
……2分
∵AA1⊥A1C,AA1=A1C,
∴∠A1AD=45°
为所求。
(Ⅱ)作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB。
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。
由已知,AB⊥BC,得ED∥BC。
又D是AC的中点,BC=2,AC=2
,∴DE=1,AD=A1D=
,tgA1ED=A1D/DE=
。
故∠A1ED=60°
……8分
(Ⅲ)解法一:
由点C作平面A1ABB1的垂线,垂足为H,则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。
……10分
连结HB,由于AB⊥BC,得AB⊥HB。
又A1E⊥AB,
知HB∥A1E,且BC∥ED,∴∠HBC=∠A1ED=60°
∴CH=BCsin60°
=
连结A1B。
根据定义,点C到面A1ABB1的距离,即为三棱锥C-A1AB的高h。
由V锥C-A1AB=V锥A1-ABC得
1/2S△AA1Bh=1/2S△ABCA1D,
即1/3×
2
h=1/3×
×
,
∴h=
(24)解法一:
设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=k/ab,其中k>
0为比例系数,依题意,即所求的a,b值使y值最小。
根据题设,有
4b+2ab+2a=60(a>
0,b>
0),……4分
得b=30-a/2+a(0<
a<
30),①
于是y=k/ab=k/30a-a2/2+
=k/-a+32-64/a+2
=k/34-(a+2+64/a+2)
≥k/34-2
=k/18,
当a+2=64/a+2时取等号,y达最小值。
这时a=6,a=-10(舍去)。
将a=6代入①式
得b=3。
故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
……12分
依题意,即所求的a,b的值使ab最大。
由题设知
4a+2ab+2a=60(a>
即a+2b+ab=30(a>
∵a+2b≥2
∴2
+ab≤30,当且仅当a=2b时,上式取等号。
由a>
0,b>
0,解得0<
ab≤18。
即当a=2b时,ab取得最大值,其最大值为18。
∴2b2=18。
解得b=3,a=6。
(25)
(Ⅰ)设数列{bn}的公差为d,由题意得
b1=1,10b1+10(10-1)/2d=100。
解得b1=1,d=2。
∴bn=2n-1。
(Ⅱ)由bn=2n-1,知
Sn=lg(1+1)+lg(1+1/3)+…+lg(1+1/2n-1+
=lg[(1+1)(1+1/3)×
…×
(1+1/2n-1)],
1/2lgbn+1=lg
因此要比较Sn与1/2lgbn+1的大小,可先比较(1+1)(1+1/3)×
(1+1/2n-1)与
的大小。
取n=1有(1+1)>
,取n=2有(1+1)(1+1/3)>
,由此推测
(1+1)(1+1/3)×
(1+1/2n-1)>
①……5分
若①式成立,则由对数函数性质可断定:
Sn>
1/2lgbn+1。
下面用数学归纳法证明①式。
(i)当n=1时已验证①式成立。
(ii)假设当n=k(k≥1)时,①式成立,即
(1+1/2k-1)>
那么,当n=k+1时,
(1+1)(1+1/3)…(1+1/2k-1)(1+1/2(k+1)-1)>
(1+1/2k+1)=
/2k+1(2k+2)。
∴[
/2k+1(2k+2)]2-[
]2
=4k2+8k+4k2+8k+3)/2k+1=1/2k+1>
0,
∴
/2k+1(2k+2)>
因而(1+1)(1+1/3)…(1+1/2k-1)(1+1/2k+1)>
这就是说①式当n=k+1时也成立。
由(i),(ii)知①式对任何正整数n都成立。
由此证得:
Sn=1/2lgbn+1。
……12分
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