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摘要:
注意点:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
⑵如果
是对顶角,那么一定有
;
反之如果
,那么
不一定是对顶角,⑶如果
互为邻补角,则一定有
,则
不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;
反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°
反之如果∠α+∠β=180°
,则∠α与∠β不一定是邻补角。
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;
⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:
①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;
②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;
垂线段是一条线段,可以度量长度。
联系:
具有垂直于已知直线的共同特征。
(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离区别:
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。
都是线段的长度;
点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离距离是线段的长度,是一个量;
线段是一种图形,它们之间不能等同。
5.2平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线
与直线
互相平行,记作
∥
。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
⑴相交;
⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;
反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵
,
∴
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
的同侧,同在被截直线
的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线
的两旁(交错),在被截直线
之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线
的同侧,在被截直线
之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;
内错角是“Z”型;
同旁内角是“U”型。
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:
同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
内错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。
平行线的判定是写角相等,然后写平行。
⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。
上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:
①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
5.3平行线的性质
1、平行线的性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补。
2、两条平行线的距离
3、命题:
⑴命题的概念:
判断一件事情的语句,叫做命题。
⑵命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;
结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……,那么……”的形式。
具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。
有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显。
对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式。
命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;
命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行 同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补。
其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;
由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。
典型例题:
已知∠1=∠B,求证:
∠2=∠C
证明:
∵∠1=∠B(已知)
∴DE∥BC(同位角相等,
两直线平行)
∴∠2=∠C(两直线平行
同位角相等)
注意,在了DE∥BC,不需要再写一次了,得到了DE∥BC,这可以把它当作条件来用了。
如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65°
求∠2、∠3的度数
解答:
∵DE∥BC(已知)
∴∠2=∠1=65°
(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥DF(已知)
∴AB∥DF(已知)
∴∠3+∠2=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠3=180°
-∠2=180°
-65°
=115°
5.4平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征:
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
第十三章《实数》教材分析青院附中佟铭
一、本章主要内容及地位、作用:
本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法,实数的有关概念和运算.(通过本章的学习,学生对数的认识就由有理数的范围扩大到实数范围,本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的,学习本章之后,将在实数范围内研究问题.)
(虽然本章的内容不多,篇幅不大,但在中学数学中占有重要的地位。
)
本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础,也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备.
二、本章知识结构框图:
1.本章知识的内在结构如下图所示:
2.本章知识的展开顺序如下图所示:
术
(“本章知识结构图”展示了本章知识的内在结构:
由于乘方与开方互为逆运算,所以开平方和开立方运算是以平方和立方运算为基础的,因此平方根和立方根的概念离不开平方和立方的概念.无理数的引入使得数的范围由有理数扩大到了实数.)
4、本章中考要求:
知识
考试水平
基本要求
略高要求
较高要求
无理数
了解无理数的概念
会用有理数估计一个无理数的大致范围
平方根及算术平方根
了解平方根及算术平方根的概念,会用根号表示非负数的平方根及算术平方根
会用平方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根
立方根
会用根号表示数的立方根
会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求立方根
实数
了解实数的概念
会进行简单的实数运算
二次根式及其性质
了解二次根式的概念,会确定二次根式有意义的条件
会利用二次根式的性质进行化简;
能根据二次根式的性质对代数式作简单变形,在特定条件下,确定字母的值
二次根式的化简和运算
理解二次根式加、减、乘、除运算法则
会进行二次根式的化简,会进行二次根式的混合运算(二次根式的个数不超过三个;
不要求分母有理化)
五、本章重点、难点:
1.本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法。
(它们是理解立方根的概念和求法、实数的意义和运算的直接基础.)
2.本章的难点是平方根和实数的概念.
(学生对正数开平方有两个结果感到不习惯,容易将算术平方根和平方根混淆.实数的概念是一个构造性的定义,比较抽象,学生真正理解这个概念也有一定的困难.)
六、本章课时安排:
本章教学时间约需8课时,具体分配如下(仅供参考):
13.1 平方根
3课时
13.2
立方根2课时
13.3 实数
2课时
数学活动
小结
1课时
七、本章教材内容分析:
13.1平方根
(本小节主要介绍平方根与算术平方根的概念,这两个概念属本章的重点内容。
只有把握住概念才能正确地进行求平方根运算,理解实数的概念,为学习后续的知识作好准备。
1.平方根与算术平方根的区别和联系.
区别:
(1)定义不同;
(2)个数不同;
(3)表示方法不同
(1)具有包含关系;
(2)存在条件相同;
(3)0的平方根、算术平方根均为0.
3.及时总结三种重要非负数:
(a≥0).
4.两个重要公式
及
.
5.落实一个基本功:
让学生熟练掌握1到20的平方,便于求常用数的平方根。
6.初步了解无限不循环小数.
(1)让学生经历用夹逼的办法估计
的大小,感受
是无限不循环小数.
(2)在具体实例中,了解无限不循环小数的特征.
(3)会使用计算器求数的平方根.(利用计算器求平方根,较多感受无理数的近
似值)
7.理解平方与开平方互为逆运算,明确三级运算中的互逆关系.
13.2立方根
1.在类比思想的引导下,学习立方根的概念与性质
(本节从内容到知识的展开顺序都与上一节平方根基本平行,主要研究立方根的概念和求法.学习立方根的意义在于,一方面它有着广泛的应用,因为空间形体都是三维的,有关体积等的计算经常涉及开立方的问题;
另一方面,立方根是奇次方根的特例,就像平方根是偶次方根的特例一样,它对进一步研究奇次方根的性质有典型的代表意义.)
例如:
概念教学可以从问题入手:
(1)什么数有平方根,只有非负数才有立方根吗?
(2)平方根如何表示,猜想一下立方根可以怎样表示?
(3)回顾平方根的特征,能试着总结一下立方根的特征吗?
它们有什么异同?
(4)求一个数的立方根的运算与什么运算互为逆运算
2.会用计算器求立方根.
3.落实一个基本功:
让学生熟练掌握1到10的立方,便于求常用数的立方根。
、
13.3实数
1.在数系扩充的原则指导下把有理数过渡到实数
概念扩充:
相反数,绝对值,倒数等等
数系扩充后原有的运算法则仍然成立
2.类比有理数的分类,认识实数的分类
例12.把下列各数分别填入相应的集合中.
-3.1415926,
0.303003000·
·
-0.050505·
;
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
注:
提醒学生不要被数的外表所迷惑,要透过“现象”看“本质”.
3.适当介绍勾股定理,尝试着让学生在数轴上找一些无理点.(将数学活动1提前。
意义在于感受无理数的存在性,认识更多的无理数。
6.在实际操作的基础上,让学生体会实数与数轴上的点的一一对应关系.及平面直角坐标系中的点与有序实数对的一一对应关系.
5.有关实数计算的教学,需要掌控好尺度.
关于二次根式的运算,以后还会进一步的学习,教学时注意掌握现有计算的难度.
例14.计算
(1)
(2)
注:
区分运算符号与性质符号;
在运算中,再渗透实数的有关概念.
例15.若实数
满足
求
的值.
注:
①在问题解决的过程中,注意非负性;
②小结非负实数:
例16.化简下列各式
(1)若
化简
(3)
①含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.应遵循逐步渗透,不断加深的原则.
②此处字母的取值范围为全体实数.
③分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.
④有关实数的化简,在二次根式的学习中还会涉及到,此处不宜太难,应给学生留有继续学习的空间.
8、几点教学建议:
1.加强与实际的联系
抽象的概念,借助简单实际背景给出.这种编写的特点,分解了学习中的难点,感受了数学的实用性,易于学生接受,也体会到了数学的抽象性.
2.加强知识间的联系
本章内容属于“数与代数”领域,有关数的内容,学生已经系统学过有理数,对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识.因而本章很多内容可以类比有理数的相关内容得出.另外平方根,立方根在内容上也有很多类似之处.教学中注意利用类比的方法,既有助于加强知识间的相互联系,同时通过新旧知识的类比,可使学生的学习形成正迁移.思想的教育重于知识,及时进行知识的总结有利于提高学生的学习能力.
类型
项目
平方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根,且互为相反数;
零的平方根为零;
负数没有平方根;
一个正数有一个正的立方根;
一个负数有一个负的立方根;
零的立方根是零;
重要结论
3.留给学生探索交流的空间
本章编写时注意借助实际背景,让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论.教材中多次设置探究栏目,这些栏目多以填空形式出现.教学中适当给出时间,让学生多实践,引导学生从具体问题发现特征,在交流讨论中归纳出结论.体会从特殊到一般的过程,有利于发展学生的思维能力,可有效地改变学生学习的方式.
4.适当发挥计算器的作用,加强估算能力的培养
估算是一种具有实际应用价值的运算能力.本章安排了利用计算器求数的平方根,立方根,以及利用有理数估计无理数的大致范围等内容.这个环节的设置将有利于帮助学生感受无理数无限不循环的特点,更好的认识无理数.教学中,可结合具体情况,利用多种途径培养学生的运算能力.
5.把握好教学要求
本章对于某些内容采用提前渗透,逐步提高的编写方式:
(1)本章将点的坐标扩展到实数范围,建立点与有序实数对的一一对应关系,为后续学习函数的图像,函数与方程,不等式的关系等打下了基础.
(7)本章通过一个例题学习实数的简单运算.(p85,例2)
为说明有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍成立.而关于实数的运算在后面的二次根式一章中还要继续研究,此处不必过难.
(8)为了让学生更好地理解数轴上表示无理数的点的存在性,本章涉及到了勾股定理.这个内容后面还会专门再学,此处仅让学生了解即可.
我们的教学,应用一种发展的,动态的观点来看待,不能要求处处一步到位.本章教学中类比思想,分类讨论思想较突出.思想的教学,不一定都体现在题目中,在概念的教学中的渗透,是会迁移到对题目的解决中.希望学生在学习新知识的过程中,更好的感悟数学思想.随着时间的推移,具体的知识也许会在学生的头脑中遗忘,但解决问题的思想还
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- 实数 教材 分析