高中数学《空间中直线平面垂直的关系》公开课优秀教学设计一新版Word文档格式.docx
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(2)通过体验直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程,图形、符号语言的表达与交流,发展学生几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的能力,培养学生的数学核心素养;
(3)通过将现实空间问题抽象为数学图形,自主探究的实践与展示,帮助学生认识现实空间,激发学生的创新精神和应用意识。
4.教学策略分析
本节课是空间直线、平面垂直的性质第1课时,主要采用教师启发设问、学生探究学习的教学方法。
通过回顾旧知,层层递进的讨论交流,引导学生经历直观感知、操作确认、思辨论证的探究过程,探究发现线面垂直和面面垂直的性质定理。
同时借助长方体模型、多媒体演示、实物投影仪,帮助学生更好的理解空间位置关系。
整个教学过程中,充分发挥学生的主体作用,让学生积极参与课堂活动,成为课堂的主人;
教师对学生进行点拨引导,发挥自身在教学中的主导地位。
在完成教学目标的前提下,更好地完成了新课标对课堂教学中学生主体和教师主导的双重要求,可以达到良好的教学效果。
5.教学流程设计:
6.教学过程:
(1)温故知新类比导入
带领学生复习空间平行和垂直关系,引导学生观察分析平行和垂直关系中判定定理、性质定理的转化方向,类比平行关系的性质,从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想。
课件展示:
【评析】回顾已学过的平行和垂直关系的判定和性质定理,为学生搭建判定和性质转化方向的整体框架,帮助学生理清转化关系,引出本节课题。
(2)反思定义性质初探
为了探究在线面垂直条件下的线线关系,学生回顾线面平行性质定理的发现过程。
【评析】通过分析和类比,使学生明确定义具有双重性,它既是判定也是性质,从定义出发是探究性质的一种方法。
(3)推理论证性质再探
直观感知
给出不同背景的生活实例,学生从中举例说明观察到的线面垂直和线线平行关系。
【评析】引导学生从生活实际出发,把学到的知识和身边的现象联系起来,让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的过程,培养学生几何直观和空间想象能力。
操作确认
现实世界中的直观感知,放到实物模型中,学生借助长方体验证观察到的空间位置关系。
【评析】发挥长方体作为图形语言载体的作用,在学生的观察发现中,将图形的典型性、简明性、直观性、概括性和趣味性得到了充分表现,激发学生的学习兴趣和求知热情。
经过操作确认,结合猜想,学生尝试图形和数学符号语言的表述,投影展示完成情况。
【评析】文字语言、图形和符号语言的相互转化,有利于培养学生运用数学语言表达和交流的能力,实现教学目标。
思辨论证
环节一:
回顾已经学习过的,证明空间直线与直线平行的方法(学生能提出诸多方法,如线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、公理4等等),给时间学生自主展开证明,交流解法,师生共同分析困难所在。
【评析】从“最近发展区”出发,学生尝试直接论证的方法,体会直接使用定理或公理的困难所在,引发认知冲突,为探求反面考虑的论证思路做铺垫,是突破本节难点的第一步。
环节二:
引导学生思考:
①空间两条直线的位置关系有哪些?
②要证明空间两条直线平行,其他的位置关系成立吗?
③结合分析,有没有其他证明方法?
【评析】以层层递进提问探究的形式,将论证的难点分化为小问题,在知识的自然生成中逐步化解学生的认知难点。
环节三:
假定直线
异面或相交,学生再次动笔尝试论证,排除异面与相交的情况。
片刻后,学生展示论证方法。
课堂预设:
(绝大部分学生会得到这样的论证过程)当直线
异面时,设
,过点
作
,则
,而过一点作已知平面的垂线有且只有一条,不成立。
教师指出,论证方法貌似是对的,但在这里是错误的。
因为该结论的给出是在本节内容之后,所以暂时不能作为结论直接应用,怎样调整证明方法?
引导学生完成:
转化到平面中,因为相交直线
可确定平面
且
,这样就能
将空间问题转化为平面问题来判断。
过平面
内一点
有两条直线
与
垂直,是不可能的。
当直线
相交时:
设
,
能确定一个平面,与上述同理,不成立。
故
。
【评析】与老教材不同,新课标教材的唯一性判断是在平面
内完成的,使学生体会空间问题向平面问题转化的思想。
预设学生论证过程可能出现的问题,为分解本节课难点提供契机。
环节四:
动画演示
引导学生总结反思上述论证过程,有哪些思考和收获?
回答预设:
证明几何问题要严谨,多种情况要考虑完整;
考虑问题的反面,排除不成立的情况,也是一种证明方法;
空间问题平面化等等。
教师就学生的交流做点评。
【评析】以学生为主体,将自主探究和思辨说理相结合,引导学生分析和反思论证过程中的认知冲突。
教师点到为止,通过学生自发地讨论、作图尝试、调整思路、总结反思,有助于学生对数学思想方法的认识,实现本节难点——线面垂直性质定理论证过程的有效突破,培养学生合情推理和论证推理的能力。
教师指出,论证的结论就是线面垂直的性质定理。
同桌交流讨论以下问题:
①该性质定理能帮助我们解决什么问题?
②应用性质定理证明两条直线平行,关键需要有什么条件?
③与之前平行关系之间或垂直关系之间的转化不同,该性质定理的条件是垂直关系,结论是平行关系,你有怎样的体会?
④如果将定理的条件改为“两个平面垂直于同一条直线”,这两个平面的位置关系是怎样?
【评析】分析线面垂直的性质定理,进一步巩固对定理的理解,更好地落实教学目标。
归纳总结线面垂直性质定理的探究过程,从哪几个步骤层层递进展开?
【评析】引导学生总结研究空间几何问题的步骤,承上启下,为学生结合生活实例,类比探究面面垂直的性质做铺垫。
学生自主填写课前的知识框图:
在线面垂直的条件下,得到线线垂直关系和线线平行关系。
教师点评:
探究发现性质的过程,就是由定义出发的“降维”转化过程。
【评析】总结空间几何性质的发现过程:
一是从定义出发,二是“降维”转化,为后续学生应用线面垂直性质定理的探究经验,类比预测面面垂直的性质明确方向。
4.合作实践性质应用
结合课前预测,引导学生观察所在的教室环境,发现有哪些面面垂直关系?
由刚才的探究经验,学生带着下面的问题开展分组合作探究:
分小组展示,学生互动、质疑,教师整理、点评并展示成果。
【评析】开放性自主活动的设置,实质是线面垂直性质定理探究过程的类比应用,既巩固本节课的所学知识,又能引导学生独立开展面面垂直性质的探究,体验性质探究的基本套路。
源于生活的实际背景能培养学生的空间观念,激发探究的积极性和创新意识。
小组合作探究的组织形式,有利于培养学生的合作学习精神和数学核心素养。
教师指出,面面垂直的性质还有许多,课堂上不再一一分析和论证,留给大家课后继续探
究发现。
预设刚才探究得到的其中一个结论就是面面垂直的性质定理,引导学生分析关键条件。
【评析】选取面面垂直的性质定理进行说明,一是使学生感受到学以致用,激发学习热情;
二是加深学生对该性质定理关键条件的理解;
三是体会定义出发,“降维”探究性质的意义。
5.提炼回顾构建体系
身边的许多空间位置关系都能用今天学习的知识来解释,这就是数学魅力!
学生思考:
本节课的探究过程中,收获了哪些数学知识和方法?
(学生自主总结整理,交流发言)
【评析】探究方法和过程的梳理,帮助学生形成完整的知识体系,有效完成知识建构。
6.拓展提升独立再探
(1)结合本小组面面垂直的探究成果,作图、写出相应符号语言,并尝试证明。
(2)观察生活中的面面垂直关系,结合本节课的探究经验,你还能得到其他的结论吗?
【评析】进一步内化学生的认知结构,培养学生的动手实践、独立探究能力,进一步体会数学源于生活、应用于生活的科学价值.
结束语:
今天,我们在观察与发现中欣赏垂直的关系,在回顾与类比中探究垂直的性质,在思考与论证中体会垂直的魅力,这才是学习的价值和意义所在,徜徉于知识海洋中的快乐和充实也就蕴育而生……相信你们也有与我一样的体会,期待你们的分享!
板书设计:
空间中直线、平面垂直的性质
空间直线、平面的位置关系:
线线平行
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直
面面垂直
转化方法:
类比
转化思想:
空间问题平面化
探究空间问题的步骤:
直观感知——操作确认——思辨论证
线面垂直的性质定理:
线线平行
探究方法:
从定义出发,“降维”转化
面面垂直的性质定理:
线面垂直
二、教学反思
1.理解教材探寻本质
新课标教材立体几何部分的设计,强调借助生活实例和数学模型,通过直观感知、操作确认、思辨论证等认识过程,引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质;
重视合情推理与逻辑推理的结合,注意适度形式化;
倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式,帮助学生完善思维结构,发展空间想像能力和创新能力。
直线、平面垂直的性质在空间位置关系中具有一定特殊性,主要体现在两个不同维度:
横向比较,垂直关系的性质将线线垂直、线面垂直、面面垂直之间联系起来;
纵向比较,垂直关系的性质类比平行关系性质的“降维”转化,同时也蕴含着垂直与平行的内在联系。
因此,课前的知识回顾与分析显得尤为重要,能帮助学生从宏观上把握空间位置关系的转化与联系,为探究过程的类比推理和“降维”转化做铺垫。
同样是从实物模型出发,通过直观感知、操作确认进行归纳猜想,不同于判定定理的是,教材对性质定理提出了演绎推理、思辨论证的教学要求。
因此,性质定理的论证过程成为教学的难点。
本节课中,对两个性质定理论证思路的探究采用不同的方式,线面垂直的性质定理运用层层递进的提问式探究,面面垂直的性质定理则预设由学生自主探究,从定义出发展开。
教学实践中,两种探究方式都收到比较好的课堂效果。
2.理解学生主动探究
本节课以问题引导学习,通过追问、质疑等方式,铺设适当的认知阶梯,呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务,激发学生的学习热情,充分体现问题的功能价值,即通过问题引发学生对原有经验、知识的回顾(挖掘有什么),通过问题引导学生对目标的审视(探究什么),通过问题启发学生思考(应该怎么做)。
聚集学生的知识、能力、注意力等多方面因素,形成合力,使学生获得知识、形成能力。
在线面垂直性质的论证过程中,学生并没有学习反证法的经验,因此,设置四个环节展开探究,从已学习过的空间平行关系的性质等知识出发,学生主动尝试引发认知冲突,再引导学生总结与反思中调整探究思路,通过自主探究、生生质疑、师生互动,降低思维难度,教学实践中得以有效地突破教学难点。
面面垂直的性质探究,是在学生主动观察寻找身边的面面垂直关系中展开的,墙壁与地面、书本与桌面等等,都是熟悉的生活实例,既能帮助学生构建空间垂直关系,又能作为合作探究的背景引导学生发现性质。
从而,变传授教材为主要目标为增长经验、发展能力为主要教学目标;
变“注入式”教学为启发式、探究式教学;
变“讲堂”为“学堂”;
变过分强调规范的课堂气氛为生动活泼、主动探索的课堂气氛。
3.理解教学重视过程
重视过程的核心是强调教学过程中的思想性,使学生在课堂中有高度的思维参与,经历实质性的数学思维过程。
本节课的教学过程有“两条线”:
一条线是直观感知——操作确认——思辨论证的探究过程,借助实景图片、长方体模型、说理论证,使学生经历性质的发现过程;
另一条线是从定义出发“降维”以及空间问题平面化的转化思想,通过回顾类比、归纳分析、合作探究,使学生体会转化与化归的数学思想方法。
因此,本节课以落实“两条线”为教学设计的主要依据,让学生在感知、体验、思辨、论证过程中有充分的交流思考的时间。
在具体教学中,如果教师更加大胆地放手,学生思维火花的碰撞会更生动精彩。
教学点评
本节课中,充分遵循学生认知发展规律与立体几何自身特点,按照《高中数学课程标准(实验版)》的基本理念与基本要求,从教学目标的确定、教学内容的组织、教学过程的安排、教学方法的运用等方面都进行了精心设计,把一节看似平常的课上出了新意,充分展现了授课教师厚实的教学功底以及对课标、教材的准确的理解与把握能力。
主要特点如下:
1.准确把握教材,突出研究方法。
与大纲版教材相比较,人教A版教材对平行与垂直关系的编排进行了较大调整:
一是将空间三种平行(或垂直)位置关系予以集中编排;
二是将三种平行(或垂直)位置关系的判定与性质分别集中编排。
这种安排意在使学生从整体上认识空间平行与垂直关系,掌握研究立体几何一般方法,形成整体性知识框架。
基于此,本节课紧紧抓住这一编排特点,舍弃一些细枝末节的东西,如情景导入、课堂训练等等,着重突出研究线面垂直、面面垂直的性质的基本方法。
为此,本节课重点探究线面垂直的性质,紧紧抓住“直观感知→操作确认→思辨论证”、平行或垂直关系相互转化、类比这三种研究空间问题的基本思路予以展开,真正交给了学生一把分析问题、解决问题的金钥匙,既“授人以鱼”,又“授人以渔”。
在完成线面垂直性质探究后,并没有急于如何用这些性质解决问题,而是着眼于得到这些性质的探究方法的迁移与应用,把“用”体现在探究线面垂直性质的思路方法的应用上,提高了本节课的档次。
2.直观推理并重,发展核心素养。
直观想象与推理论证是空间几何的两大基石,是学生数学核心素养的重要内容。
本节课注重学生的直观想象,通过学生对廊柱、旗杆、栏杆、大桥悬索以及长方体模型、教室、书与笔等实物的直观感知,发现蕴含其中的线面垂直、面面垂直的性质。
同时,“数学是严谨的”,通过直观感知而得到的结论是否可靠,需要严格的推理论证,因此本节课在学生提出线面垂直的性质的若干猜想后,老师引导学生着重针对线面垂直的性质定理进行了严格的论证,体现了数学的理性精神。
对面面垂直的性质的教学处理主要以性质探究为主,对其证明则不是本节课的重点,老师也只是一带而过。
这样的处理既规避了过于形式化的问题,同时也使合情推理与演绎推理达到有机的结合,有效地培养了学生的数学核心素养。
3.情境问题导向,培养探究精神。
“问题是数学的心脏”,是学生数学思维的导引图与启搏器,新修订的课程标准将发现问题、提出问题,应用所学知识分析问题、解决问题明确为高中学生的四大能力。
为激发学生的探究欲望,培养学生发现问题、提出问题的能力,本节课坚持以问题为导向,通过适度的情境创设与精心设置的问题链,引导学生通过对生活实例、数学模型等实物的细致观察去发现问题、提出猜想,再运用所学知识予以论证,使学生的探究精神得到很好的展现。
特别是对面面垂直性质的探究,老师大胆放手,给学生创设了一个开放、宽松的探究氛围,学生思维活跃,提出了许多有价值的东西,相信:
如果时间能再充裕些,学生还会得到许多有价值的结论!
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