18 函数及其图象Word格式.docx
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问题1
图18.1.1是某日的气温变化图.
看图回答:
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?
任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.
(2)这一天中,最高气温是多少?
最低气温是多少?
(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?
什么时段的气温在逐渐降低?
从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.
问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2006年8月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率:
观察上表,说说随着存期x的增长,相应的利率y是如何变化的.
问题3收音机上的刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数:
细心的同学可能会发现:
λ与f的乘积是一个定值,即
λf=300000,
或者说f=
.说明波长λ越大,频率f就____________.
问题4圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径,S表示圆的面积
则S与r之间满足下列关系:
S=____________.
利用这个关系式,试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时
圆的面积,并将结果填入下表:
由此可以看出,圆的半径越大,它的面积就______________.
概括在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这
里出现了各种各样的量,特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例
如问题1中,刻画气温变化规律的量是时间t和气温T,气温T随着时间t的变
化而变化,它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中,可以取不同数值
的量,叫做变量(variable).
上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.一般地,
如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x和y,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量(independentvariable),y是因变量(dependentvariable),此时也称y是x的函数(function).表示函数关系的方法通常有三种:
(1)解析法,如问题3中的f=
,问题4中的S=πr2,这些表达式称为函数的关系式.
(2)列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频率关系表.(3)图象法,如图18.1.1中的气温曲线.在问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量(constant),如问题3中的300000,问题4中的π等.
练习
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.
2.下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?
(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?
其中哪个是自变量?
哪个是因变量?
3.写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:
(1)圆的周长C与半径r的关系式;
(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式;
(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.
试一试
(1)填写如图18.1.2所示的加法表,然后把
所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么?
如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向
的加数用y表示,试写出y与x的函数关系式.
(2)试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数
x之间的函数关系式.
(3)如图18.1.3,等腰直角△ABC的直角边长与正
方形MNPQ的边长均为10cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积y(cm2)与MA长度x(cm)之间的函数关系式.
思考
(1)在上面“试一试”中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?
如
果有,写出它的取值范围。
(2)在上面“试一试”的问题
(1)中,当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是多少?
当纵向的加数为6时,横向的加数是多少?
例1 在上面“试一试”的问题
(2)中,自变量底角的度数x的取值范围是什么?
分析 我们知道,等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90,因此
它的取值范围为___<x<___.
例2 求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=3x-1;
(2)y=2x2+7;
(3)y=
;
(4)y=
.
分析 用数学式子表示的函数,一般来说,自变量只能取使式子有意义的值.例如,在
(1)、
(2)中,x取任意实数时,3x-1与2x2+7都有意义;
而在(3)中,分母
不能为零;
在(4)中,因为负数没有平方根,所以被开方数不能是负数。
例3 在上面试一试的问题(3)中,当MA=1cm时,重叠部分的面积是多少?
解设重叠部分面积为ycm2,MA长为xcm,容易求出y与x之间的函数关系式为y=
当x=1时,y=
所以当MA=1cm时,重叠部分的面积是
cm2
1.求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=
;
(2)y=x2-x-2;
(3)y=
(4)y=
2.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围:
(1)某市民用电费标准为每度0.50元,求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式;
(2)已知等腰三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式;
(3)在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆,得到一个圆环.设圆环的面积为S(cm2),求S关于r的函数关系式.
3.一架雪橇沿一斜坡滑下,它在时间t(秒)滑下的距离s(米)由下式给出:
s=10t+2t2.假如滑到坡底的时间为8秒,试问坡长为多少?
习题18.1
1.分别指出下列各关系式中的变量与常量:
(1)三角形的一边长5cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系
式是S=
h;
(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α,则另一个锐角β(度)与a间的关系式是β=90-a;
(3)若某种报纸的单价为a元,x表示购买这种报纸的份数,则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是:
y=ax.
2.分别写出下列各问题中的函数关系式,并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围:
(1)一个正方形的边长为3cm,它的各边长减少xcm后,得到的新正方形
周长为ycm.求y和x间的关系式;
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信,需邮资0.60元,求寄n封这样的
信所需邮资y(元)与n间的函数关系式;
(3)矩形的周长为12cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的
关系式,并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积.
3.求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=-2x-5x2;
(2)y=x(x+3);
4.在某次实验中,测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表.
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的( ).A.v=2m B.v=m2+1 C.v=3m-1D.v=4m-25.当x=2及x=-3时,分别求出下列函数的函数值:
(1)y=(x+1)(x-2);
(2)y=2x2-3x+2;
6.填写如图所示的乘法表,然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数,y表示纵向的乘数,试写出y关于x的函数关系式.
18.2 函数的图象
由§
18.1的问题1,我们知道,气温变化图可以直观地表示出不同时间的气温,反映出气温变化的规律.一般地,函数常常可以用它的图象来表示,利用函数的图象可以帮助我们直观地研究函数.那么,什么是函数的图象?
怎样画出函数的图象呢?
这一节我们将对此作一些初步的研究.为此,先学习一个非常有用的工具——直角坐标系.
1.平面直角坐标系
回忆你去过电影院吗?
还记得在电影院是怎么找座位的吗?
如图18.2.1,因为电影票上都标有“×
排×
座”的字样,所以找座位时,先找到第几排,再找到这一排的第几座就可以了.也就是说,电影院里的座位完全可以由两个数确定下来.在数学中,我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置.为此,在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴(图18.2.2),这就建立了平面直角坐标系(rightangledcoordinatessystem).通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;
铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;
两数轴的交点O叫做坐标原点.
在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序实数来表示.例如,图18.2.2中的点P,从点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N.这时,点M在x轴上对应的数为3,称为点P的横坐标(abscissa);
点N在y轴上对应的数为2,称为点P的纵坐标(ordinate).依次写出点P的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数(3,2),称为点P的坐标(coordinates).这时点P可记作P(3,2).在直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成图18.2.2所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域,分别称为第一、二、三、四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.
试一试1.在图18.2.2中分别描出坐标是(2,3)、(-2,3)、(3,-2)的点Q、S、R,Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗?
S(-2,3)与R(3,-2)是同一点吗?
2.写出图18.2.3中的点A、B、C、D、E、F的坐标.观察你所写出的这些点的坐标,思考:
(1)在四个象限内的点的坐标各有什么特征?
(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征?
思考我们知道,数轴上的点和全体实数是一一对应的.上面的试一试也给我们这样的启发:
在平面直角坐标系中的点和有序实数对也是一一对应的.你能说出这句话的含义吗?
1.在直角坐标系中描出点A(2,-3),分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点,并写出这些点的坐标.
2.观察第1题写出的各点的坐标,能否发现:
关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系?
关于
y轴对称的两点的坐标之间有什么关系?
关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系?
3.
如图所示的国际象棋的棋盘中,双方四只马的位置分别是A(b,3)、B(d、5)、C(f,7)、D(h,2),请在图中描出它们的位置.
4.你用过计算机中的画图软件吗?
当你的鼠标在空白的工作区移动时,状态栏上就会显示两个变化的数字,这实际上就是你的鼠标的“坐标”。
你还能举出一些身边的坐标的例子吗?
2.函数的图象
回顾在§
18.1的问题1中,我们曾经从图18.1.1的气温曲线上获得许多信息,回答了一些问题.现在让我们来回顾一下,作一些理性的思考.先考虑一个简单的问题:
你是如何从图上找到各个时刻的气温的?
图18.1.1中,有一个直角坐标系,它的横轴是t轴,表示时间;
它的纵轴是T轴,表示气温.这一气温曲线实际上给出了某日的气温T(℃)与时间t(时)的函数关系.例如,上午10时的气温是2℃,表现在X气温曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(10,2).实质上也就是说,当t=10时,对应的函数值T=2.气温曲线上每一个点的坐标(t,T),表示时间为t时的气温是T.气温曲线是用图象表示函数的一个实际例子.那么,什么是函数的图象呢?
概括一般来说,函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成.图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与它对应的函数值.例画出函数y=
x2的图象.分析 要画出一个函数的图象,关键是要画出图象上的一些点,为此,首先要取一些自变量的值,并求出对应的函数值.解 取自变量x的一些值,例如x=-3,-2,-1,0,1,2,3…,计算出对应的函数值.为表达方便,可列表如下:
由这一系列的对应值,可以得到一系列的有序实数对:
…,(-3,4.5),(-2,2),(-1,0.5),(0,0),(1,0.5),(2,2),(3,4.5),…在直角坐标系中,描出这些有序实数对(坐标)的对应点,如图18.2.4所示.
通常,用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象,如图18.2.5所示.
这里画函数图象的方法,可以概括为列表、描点、连线三步,通常称为描点法.
1.在所给的直角坐标系中画出函数y=
x的图象(先填写下表,再描点、连线).
2.画出函数y=
的图象.
问题1王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷.图18.2.6中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时),看图回答下列问题:
(1)小强让爷爷先上多少米?
(2)山顶高多少米?
谁先爬上山顶?
1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答:
(1)从1830年到1998年,世界总人口数呈怎样的变化趋势?
(2)在图中,显示哪一段时间中世界总人口数变化最快?
(第1题)
2.一枝蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧掉5厘米,则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h(厘米)与点燃时间t之间的函数关系的是( ).
(第2题)
3.小明从家里出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系.你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信息吗?
(第3题)
问题2王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习,在某处按函数关系式
y=
击球,球正好进洞.其中,y(m)是球的飞行高度,x(m)是球
飞出的水平距离.
(1)试画出高尔夫球飞行的路线;
(2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少?
球的起点与洞之间的距离是多少?
分析高尔夫球飞行的路线,也就是函数y=
的图象.用描点法画出图
象,其他问题也就可以解决了.解
(1)列表如下:
在图18.2.7所示的直角坐标系中,描点、连线,便可得到这个函数的大致
图象.
图18.2.7
(2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是___m,球的起点与洞之间
的距离是___m.
试一试画出§
18.1的试一试问题(3)中的函数图象,并结合图象指出重叠部分面积的最大值.习题17.2
1.判断下列说法是否正确:
(1)(2,3)和(3,2)表示同一点;
(2)点(-4,1)与点(4,-1)关于原点对称;
(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0;
(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数.
2.在直角坐标系中描出下列各点,顺次用线段将这些点连起来,并将最后一点与第一点连起来,看看得到的是一个什么图形?
3.如图是一个围棋棋盘,我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置.例如,图中右下角的一个棋子可以表示为(12,十三).请至少说出图中四个棋子的“位置”.
4.画出下列函数的图象,并判断大括号内各点是否在该函数的图象上.
(1)
(2)
5.已知等腰三角形的周长为12cm,若底边长为ycm,一腰长为xcm.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)画出这个函数的图象.
6.
周末,小李8时骑自行车从家里出发,到野外郊游,16时回到家里.他离开家后的距离S(千米)与时间t(时)的关系可以用图中的曲线表示.根据这个图象回答下列问题:
(1)小李到达离家最远的地方是什么时间?
(2)小李何时第一次休息?
(3)10时到13时,小骑了多少千米?
(4)返回时,小李的平均车速是多少?
阅读材料
笛卡儿的故事
直角坐标系,通常称为笛卡儿直角坐标系,它是以法国哲学家、数学家和自然科学家笛卡儿(R.Descartes,1596~1650)的名字命名的.
笛卡儿从小就喜爱沉思默想,寻根问底.他的父亲很懂得儿童教育法,针对这一特点,常让笛卡儿随自己的心意去学习,不加任何限制.
1612年,笛卡儿以优异的成绩从中学毕业,同年秋天,来到波埃顿大学攻读法律.四年以后,又以优异的成绩获得法学博士学位.当时,他对学校所学知识的贫乏已经感到极不耐烦,于是,他决定迈开双脚,去“阅读世界这一本大书”,开始了他的军旅生活.
笛卡儿首先来到荷兰.有一天,他看见许多人正盯着城墙上一块告示牌子议论纷纷.笛卡儿请身旁的一位长者把告示上的荷兰文译成法文或拉丁文.原来,这是一道数学难题,谁要是答出来,就可以得到一笔奖金,还将被授予“布雷达数学家”的荣誉称号.两天以后,笛卡儿带来了正确的解答,使那位长者大为惊讶.在交谈中,笛卡儿才知道,这位长者是当时颇有名气的多特大学校长贝克曼.从此,他俩一起讨论科学问题,贝克曼向笛卡儿介绍数学的最新进展,给了他许多有待研究的问题.笛卡儿从这次成功中看到了自己的数学才能,激起了钻研数学的兴趣.
笛卡儿1621年回到巴黎,1628年为避开俗事而移居荷兰,专心从事研究和写作.1649年应瑞典女王克丽斯蒂娜的邀请来到斯德哥尔摩任教,次年因病逝世.
笛卡儿首先导入运动着的点的坐标概念,使用代数学作为研究几何学的一般方法,创立了解析几何,使数学发生了划时代的变化.“笛卡儿的变数”被革命导师恩格斯誉为“数学中的转折点”.
由于笛卡儿的哲学和数学思想影响日益深远,法国政府在1767年将他的有灰迎回国内,在他的墓碑上镌刻着:
笛卡儿,欧洲文艺复兴以来,第一个为人类争取并保证理性权利的人.
18.3一次函数
1.一次函数
问题1小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均速度是95千米/时.已知A地直达北京的高速公路全程570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.
分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化.要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探究这两个量之间的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,则不难得到s与t的函数关系式是s=570-95t.
(1)
问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式.
分析同样,我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为y=_______________.
(2)
概括上述函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数(linearfunction).一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0.特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)也叫做正比例函数(directproportionalfunction).
思考前两节所看到的函数中,哪些是一次函数?
1.仓库内原有粉笔400盒,如果每个星期领出36盒,求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式.
2.今年植树节,同学们种的树苗高约1.80米.据介绍,这种树苗在10年内平均每年长高0.35米,求树高(米)与年数之间的函数关系式,并算一算4年后这些树约有多高.
3.小徐的爸爸为小徐存了一份教育储蓄.首次存入1万元,以后每个月存入500元,存满3万元止.求存款数增长的规律.几个月后可存满全额?
4.以上3道题中的函数有什么共同特点?
2.一次函数的图象
前面,我们已经学习了用描点法画出函数的图象,也知道通常可以结合函数的图象研究它的性质和应用.那么,一次函数的图象是什么形状呢?
做一做在同一个平面直角坐标系中画出了下列函数的图象.
;
(2)
(3)
y=3x;
(4)y=3x+2
概括根据以上实践、观察与讨论,我们发现一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线.通常也称为直线y=kx+b.特别地,正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线.
讨论观察“做一做”画出的四个一次函数的图象,比较下列各对一次函数的图象有什么共同点,有什么不同点.
(1)y=3x与y=3x+2;
(2)y=
与y=
+2;
(3)y=3x+2与y=
+2.能否从中发现一些规律?
对于直线y=kx+b(k、b是常数,k≠0),常数k和b的取值对于直线的位置各有什么影响?
我们可以发现,两个一次函数,当系数k相同,b不相同时(如y=3x与y=3x+2),有
共同点:
______________________________________________________;
不同点:
______________________________________________________.而当b相同,k不相同时(如y=3x+2与y=
+2),有
______________________________________________________.例1在同一平面直角坐标系中画下列函数的图象.
(1)y=2x与y=2x+3;
(2)y=2x+1与y=
+1.
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象,并说出它们有什么关系:
(1)y=-2x;
(2)y=-2x-4.
2.
(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线_____________________;
(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线_____________________.
例2 求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点,并画出这条直线.
分析 因为x轴上点的纵坐标等于0,y轴上点的横坐标等于0,所以,当y=0时,x=-1.5,点(-1.5,0)就是直线与x轴的交点;
当x=0时,y=-3,点(0,-3)就是直线与y轴的交点.如图18.3.2,过点(-1.5,0)和(0,-3)作直线,就是所求的直线y=-2x-3.
例3 问题1中小明距北京的路程s(千米)与在高速公里上行驶的时间t
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- 18 函数及其图象 函数 及其 图象