8三向应力圆和最大切应力Word格式.docx

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为了进一步探讨应力状态，最后分析八面体单元应力。

学习要点：

1.截面正应力与切应力；

2.斜截面方向余弦；

3.三向应力圆；

4.最大切应力;

5.八面体单元;

6.八面体单元应力。

一点的应力状态可以通过六个应力分量确定，主应力和应力主轴是描述应力状态的重要参数。

但仅仅这些，对于应力状态分析还不够，本节将进一步讨论任意斜截面的正应力和切应力的变化。

以三个相互垂直的应力主轴为坐标轴建立坐标系如图所示，设三个主应力为应力分量为σ1，σ2,σ3，即

O点附近有任意斜截面ABC，它的法线方向为n（l，m，n）。

斜截面上的应力矢量pn可分解为两部

分：

沿法线方向的正应力σn和沿切线方向的切应力τn，如图所示。

根据应力矢量与应力分量的关系

展开可得

因为

根据应力转轴公式

还有 

关于l，m，n联立求解上述公式，可以得到

当斜截面方位变更时，法线的方向余弦n随着改变，因此正应力σn和切应力τn也随之变化。

这里有正应力σn和切应力τn两个变量，如果建立一个平面坐标系，以σn为横轴，τn为纵轴，则斜截面上的两个应力分量（σn，τn）恰好是这个坐标系中的一个点。

设σ1≥σ2≥σ3，则因为l2,m2,n2均大于或等于零，因此根据上述公式的第一式，可以得到

上式可以改写为

上述不等式表示在应力平面上，圆心在横轴，横坐标为（σ2+σ3）/2，半径为（σ2-σ3）/2的圆C1圆周及其以外的区域。

同理考虑公式的第二式，可得

它表达了圆C2的圆周及其内部区域。

对于公式的第三式，可得

它表达了圆C3圆周及其外部区域。

综上所述，斜截面的方位改变时，截面上的正应力和切应力（σn，τn）只能位于圆C1，C2和C3的圆周所围成的区域之内。

这三个圆C1，C2和C3是两两相切的，称为应力圆。

根据应力圆，对于一点的应力状态，不难得到下列结论：

根据应力圆，纵坐标最大处即最大切应力的值，它的横坐标为（σ1+σ3）/2，将它们回代到公式，可得最大切应力作用平面的方向余弦为

l2=0.5, 

m2=0, 

n2=0.5

m=0表示最大切应力作用面的法线与应力主轴2相互垂直，因此这一作用面必然通过应力主轴2。

l2=0,n2=0.5说明最大切应力作用面的法线与应力主轴1和3都成45°

角。

根据上述分析，弹性体内任意一点的最大正应力为σ1，最小正应力为σ3。

最大切应力可以通过主应力计算，最大切应力等于（σ1－σ3）/2。

最大切应力作用平面也可以通过应力主轴得到，其作用平面通过σ2应力主轴，并且与σ1和σ3应力主轴交45°

角，如图所示。

下面介绍正八面体单元应力。

以主应力σ1,σ2,σ3对应的应力主轴作为x1，x2，x3坐标轴建立坐标系，选取与三个应力主轴等倾的八个微分面构成一个单元体，如图所示。

由于单元体的每一个微分面均为等倾面，即其法线与三个坐标轴的夹角相同。

设微分面的法线方向余弦为l，m，n，则

由于 

所以 

对于八面体单元各微分面上的应力矢量，我们将其分为正应力σ8和切应力τ8两部分分别讨论。

对于八面体单元的正应力，由公式可得

由上式可知，σ8就是某点的平均正应力。

对于八面体单元的切应力τ8，可以应用应力分解公式

因为

所以

显然，八面体单元的切应力是可以通过应力不变量表达的，因此也是不变量。

根据强度理论，第四强度理论的等效应力为

。

由上式可知：

八面体单元的切应力τ8是一个与第四强度理论等效应力有关的物理量，因此它也是一个与塑性材料的失稳有关的物理量。

上述分析表明，八面体单元的正应力σ8和切应力τ8均是由应力不变量所描述的，因此对于任意的坐标系，其数值也是不变的，即八面体单元的正应力σ8和切应力τ8也是不变量。

2.9球应力张量和偏球应力张量

外力的作用下，物体的变形可以分解为体积改变和形状改变两部分。

对应这两种形式的变形，应力张量可以分解为应力球张量和应力偏张量两部份。

分解的物理意义为：

应力球张量使微单元体三个方向作用相同的正应力，只能改变微单元体的体积，而不能改变其形状。

应力偏张量不改变微单元体的体积，仅产生形状的畸变。

它描述的是实际应力状态与平均应力状态的偏离程度，这对描述问题的塑性变形是十分重要的。

1.应力状态的分解；

2.应力球张量和应力偏张量；

3.应力偏张量不变量。

一点的应力状态可以使用应力张量

表示，上述应力分量将使弹性体任意一点发生变形。

实验证明，固体材料在各向相等正应力作用下，一般表现为弹性变形。

由于材料的体积改变是由于各向相等的正应力引起的，因此可以认为，材料的非弹性变形主要是物体的形状变化时产生的。

这一性质在塑性理论分析中经常应用。

在外力的作用下，物体的变形一般可以分解为体积改变和形状改变两部分。

为进一步研究应力分量对于变形的影响，将应力张量分解为

其中，σmii为

上式中

为平均正应力。

σmii称为平均应力张量或称应力球张量。

而sij等于

称为应力偏张量，简称应力偏量。

应力球张量σmii使微分单元体三个方向作用相同的正应力，这使单元体发生变形时，只能产生导致体积的均匀膨胀或收缩。

因而只能改变单元体体积，而不能改变单元体形状。

而应力偏张量sij将不改变微分单元体的体积，仅产生形状的畸变。

它描述的是实际应力状态与平均应力状态的偏离程度，所以它对描述问题的塑性变形是十分重要的。

因为σmij的任意方向均为应力主方向，所以应力偏张量sij与

的应力主方向相同，而且其主应力仅相差一个平均应力。

因此可用正应力特征方程计算。

即

计算可得三个应力偏张量的不变量I'

1，I'

2，I'

3，有

在塑性力学中，经常使用的是应力偏张量的第二不变量I`2，若取应力主轴方向，则

由于第二应力偏张量不变量恒为负值，一般在应用时取为正值，则

实验证明，对于金属材料，应力球分量σmij引起的变形一般都是弹性变形，而材料屈服后的塑性变形基本上是畸变变形，因此应力偏张量sij在塑性力学的研究中起重要作用。