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指导教师
二〇一七年六月
数学建模作业
第一部分:
请在以下两题中任选一题完成(20分)。
1、(马王堆一号墓入葬年代的测定建模问题)湖南省长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土,其时测得出土的木炭标本中碳-14平均原子蜕变数为29.78次/分钟,而新烧成的同种木材的木炭标本中碳-14(C-14)原子蜕变数为38.37次/分钟.又知碳-14的半衰期为5730年,试推断该一号墓入葬的大致年代。
问题分析:
放射性元素衰变的速度是不受环境影响的,它总是和该元素当前的量成正比,运用碳—14测定文物或化石年代的方法是基于下面的理由:
(1)宇宙射线不断轰击大气层,使大气层中产生碳—14而同时碳—14又在不断衰变,从而大气层中碳—14含量处于动态平衡中,且其含量自古至今基本上是不变的;
(2)碳—14被动植物体所吸收,所以活着的生物体由于不断的新陈代谢,体内的碳—14也处于动态平衡中,其含量在物体中所占的百分比自古至今都是一样的;
(3)动植物的尸体由于停止了从环境中摄取碳—14,从而其体内碳—14含量将由于衰变的不断减少,碳定年代法就是根据碳—14的减少量来判断物体的大致死亡时间。
模型建立
设t时刻生物体中碳—14的含量为x(t),放射性物质的半衰期(即放射性物质的原子数衰减一半所需的时间)为T,生物体死亡时间为t0,则由放射性物质衰变规律得数学模型
①
其中
称为衰变系数,由放射性物质所决定,
为生物体在死亡时刻
时的碳—14含量。
模型求解
对所得的一阶线性微分方程模型①采用同变量分离法求解,得
由于
时,有
代入上式,有
所以得
②
这就是生物体中碳—14的含量随时间衰变的规律,由之易解得
③
将所得的数学模型的一般解应用于本例,此时以
T=5730,
(新木炭标准中碳—14原子蜕变数),
X(1972)=29.78(出土的木炭标本中碳—14原子蜕变数)代入到③式,得
年
于是得
结果表明,马王堆墓入葬年代大约在公元前123年左右的西汉中期,该结论与马王堆出土文物的考证结果相一致。
本例中所显示出的运用碳—14衰变来测定文物或化石年代的方法叫做碳定年代法。
第二部分:
请谈谈自己听课后的感受及对数学建模的认识(20分)。
在数学建模课程中,虽然只有短短的一上午,但是老师带领着我们打开了新世界的大门,对于我们城乡规划的学生,数学距离我们已经有些距离了。
从大一学习较容易的高等数学之后,与数学便失去了缘分。
数学建模的课程中,老师给我们讲了包饺子的问题,设置路障的问题都可以延伸到生活中的很多问题,为我们提供了一种新的思考方式,更加紧密的将数学与生活连接在了一起。
数学建模,是一种比较全面体现我们综合能力的方式,不仅是对我们专业知识的大练兵,更重要的是培养我们严谨务实的科学态度和刻苦钻研的毅力;
学会尊重实践数据,倡导殚精竭虑的研究过程。
所有这些都是我们实现科技创新所必需的基本要求。
面对实际问题,必须要对它进行抽象化套用数学原理建立模型,同时要根据实践经验对实际的结果进行理论分析和预测,不妨称之为预期结果;
然后通过描述模型进行数据计算,得到数据结果,我们不妨称之为理论结果。
这样不难把事先分析的预期结果和理论结果进行分析比较,认真深入分析,不断改进理论模型,分析数据结果的缘由。
通过不断改进模型甚至完全否定先前所做的一切抽象假设,另建模型,这实际上是一个不断发现问题——解决问题——再发现问题的过程。
这一过程锻炼了我们的分析能力、动手操作能力和钻研能力,这也是一个逐步改进,逐步创新的过程。
在这一过程中,我们不断纠正和深入对实际问题的认识,反复提炼问题的关键所在,不断尝试使用不同的方法分析比较,寻求解决问题的最佳方案。
我们调用大脑中所有的知识积累,通过反复验证使用的原理方法,实现解决问题方案的可行性、准确性,独到性,这是一个非常艰辛的创造过程。
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