全等三角形证明轴对称合成版Word下载.docx
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8.如图7,已知AB=CD,AD=BC,则≌;
≌.
9.如图11,在△ABC与△DEF中,如果AB=DE,BE=CF,只要加上∠=∠,或∥,就可证明△ABC≌△DEF.
10.如图12,AE=BF,AD∥BC,AD=BC,则有△ADF≌,且DF=.
11.如图,AO平分∠EAD和∠EOD.求证:
①△AOE≌△AOD;
②EB=DC.
12.如图8,在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠BAC,DC=4cm,则点D到AB的距离为.
三、测试提高
【板块一】三角形的相关概念及定理
1.下列命题中,错误的是()
A.三角形两边之和大于第三边
B.三角形的外角和等于360°
C.三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
【板块四】全等三角形的判定
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以判定()
A.△ABD≌△ACD
B.△BDE≌△CDE
C.△ABE≌△ACE
D.以上都不对
3.如图所示,将两根钢条AA′、BB′的中点
O连在一起,使AA′、BB′可以绕着点O
自由旋转,就做成了一个测量工件,则
A′B′的长等于内槽宽AB,那么判定
△OAB≌△OA′B′的理由是()
A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边
4.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块,现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是()
A.带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去
5.如图,D、E在BC上,且BD=CE,AD=AE.则下列说法正确的是()
①AB=AC;
②AE=BE;
③∠B=∠C;
④∠BAE=∠BEA
A.①②③④B.①③C.②④D.①②③
四、课后作业
1.以下列长度的三条线段为边,能构成三角形的是()
A.7cm,8cm,15cmB.15cm,20cm,5cm
C.6cm,7cm,5cmD.7cm,6cm,14cm
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
3.有两根木棒,它们的长分别是40cm和50cm,若要钉成一个三角形木架,则在下列四根木棒中应选取()cm的木棒.
A.10B.40C.90D.100
4.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等,则点P应是△ABC的哪三条线交点()
A.高
B.角平分线
C.中线
D.垂直平分线
5.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是.
6.△ABC中,∠A=2∠B,∠C比∠A+∠B还大12度,则这个三角形是三角形.
7.杜师傅在做完门框后,常常需钉两根斜拉的木条,这样做的数学原理是.
8.△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,则∠A=,∠B=,∠C=,这个三角形按角分类时,属于三角形.
9.在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠B=∠B′,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′,则补充的这个条件是()
A.BC=B′C′B.∠A=∠A′
C.AC=A′C′D.∠C=∠C′
10.下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是()
A.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF
B.AB=DE,BC=EF,
∠A=∠D
C.∠A=∠D,∠B=∠E,
∠C=∠F
D.AB=DE,△ABC的周长等于△DEF的周长
11.
如图1,已知△OCA≌△OBD,C和B、D和A是对应顶点,这两个三角形中相等的角是_______,________,_________,相等的边是__________,__________,.
图1图2图3
12.如图2,已知△ABC≌△ADE,∠B与∠D是对应角,那么AC与________是对应边,∠BAC与________是对应角.
13.如图3,D在BC边上,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
△ADE≌△ADF,∠B=50°
,∠C=70°
那么∠DAF=_______,∠ADE=_______.
14.
已知如图,AC和BD相交于O,且被点O互相平分,你能得到AB∥CD,且AB=CD吗?
请说明理由.
15.
如图,AB=DF,AC=DE,BE=FC,问:
△ABC与△DFE全等吗?
AB与DF平行吗?
请说明你的理由.
全等三角形证明(中)
1.直角三角形全等的判定定理:
.
2.全等三角形的证明训练及本章全面复习.
1.如图1,AC=AD,∠C、∠D是直角,将上述条件标注在图中,则≌;
BCBD.
2.如图2,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,AE=AF,则图中≌.
3.如图3,AD⊥BE于C,AB=DE,AC=DC,则BC与CE的关系是________.
4.如图4,在△ABC中,∠C=90°
,AC=AE,且∠CDA=55°
,则∠BDE=.
5.如图6,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1和2,则EF的长为.
6.
如图11,已知∠B=∠D=90°
,若要使△ABC≌△ADC,那么还需要一个条件,
这个条件可以是,理由是;
这个条件也可以是,理由是;
这个条件也可以是,理由是;
这个条件还可以是,理由是.
7.如图8,已知AB=BE,BC=BD,∠1=∠2,
那么图中≌,AC=,∠ABC=.
8.如图10,已知AB=CD,AC=BD,则≌;
≌.
9.如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE=BF.
求证:
(1)AF=CE;
(2)AB//CD.
10.如图,∠ACB=90°
,AC=BC,D为AB上一点,AE⊥CD于E,BF⊥DC交CD的延长线于F.求证:
BF=CE.
【板块一】直角三角形全等的判定
1.给出下列结论:
①两条边分别相等的两个直角三角形全等;
②两条直角边对应相等的两个直角三角形全等;
③斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等;
④一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等;
⑤两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
上述结论正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是()
A.AASB.SASC.HLD.SSS
【板块二】全等三角形判定方法的复习
3.
如图1,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:
①AB=AE;
②BC=ED;
③∠C=∠D;
④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图2,在∠AOB的两边上截取AO=BO,OC=OD,连接AD、BC交于点P,连接OP,则下列结论正确的是()
①△APC≌△BPD②△ADO≌△BCO
③△AOP≌△BOP④△OCP≌△ODP
A.①②③④B.①②③
C.②③④D.①③④
5.如图3,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C,则在下列条件中,无法判定△ABE≌△ACD的是()
A.AD=AEB.AB=AC
C.BE=CDD.∠AEB=∠ADC
1.以下说法:
①两个等边三角形全等;
②有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等;
③一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;
④有一条直角边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等;
其中正确的是()
A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④
2.如图1,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,且PD=PE,判定△APD与△APE全等的理由应该是()
A.SAS B.AASC.SSS D.HL
3.如图2,若BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DC=DB,
∠BAC=40°
,∠ADG=130°
,则∠DGF=________.
4.如图3,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:
,使△AEH≌△CEB.
5.如图,已知AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B、D,要想得出AB=AD的结论,你认为需要补充什么条件?
请说明你的理由.
6.已知:
如图,AE=AC,AD=AB,∠EAC=∠DAB,
△EAD≌△CAB.
7.已知,如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,求证:
AD=CF.
8.阅读下题及证明过程:
已知:
如图,D是△ABC中BC边上一点,E是AD上一点,EB=EC,∠AEB=∠AEC,求证:
∠BAE=∠CAE.
证明:
在△AEB和△AEC中,
∵EB=EC,∠ABE=∠ACE,AE=AE,
∴△AEB≌△AEC……第一步
∴∠BAE=∠CAE……第二步
问上面证明过程是否正确?
若正确,请写出每一步推理的依据;
若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程.
三角形全等证明(下)
1.三角形全等性质定理:
、;
2.三角形全等判定定理:
、、、.
1.已知:
△ABC≌△A′B′C′,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=70°
,AB=15cm,则∠C′=_______,A′B′=______.
2.下列命题中:
(1)形状相同的两个三角形是全等形;
(2)在两个三角形中,相等的角是对应角,相等的边是对应边;
(3)全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等,其中真命题的个数有.
3.下列判断正确的是()
A有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B.有两边对应相等,且有一角为30°
的两个等腰三角形全等
C有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D有两角和一角的对边对应相等的两个三角形全等
4.已知如下左图,△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,BE=CF,则下列说法正确的是.
(1)AD平分∠EDF;
(2)△EBD≌△FCD;
(3)BD=CD;
(4)AD⊥BC.
5.
如图1,已知∠1=∠2,AB⊥AC,BD⊥CD,则图中全等三角形有,.
如图2,点C为线段AB上一点,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:
①ACE≌△DCB;
②CM=CN;
③△AMC≌△DNC.其中,正确结论的个数是个.
7.如图,BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别是E、D,BE、CD交于点F,且AF平分∠CAD.求证:
FB=FC.
8.如图,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF.
(1)求证:
BG=CF.
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.
【板块二】全等三角形的判定
1.根据下列条件,能唯一画出△ABC的是()
A.AB=3,BC=4,AC=8B.AB=4,BC=3,∠A=30°
C.∠C=60°
,∠B=45°
,AB=4D.∠C=90°
,AB=6
2.下列结论正确的是()
A.有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B.一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
C.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
D.两个等边三角形全等
3.如图1,∠1=∠2,∠A=∠D,AC、BD交于E点,下列不正确的是()
A.∠ABE=∠DCEB.EA=ED
C.△ABE不全等于△DCED.△EBC是等腰三角形
【板块三】综合练习
4.如图2,已知点E在△ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,则有()
A.△ABD≌△AFDB.△AFE≌△ADC
C.△AEF≌△DFCD.△ABC≌△ADE
5.如图3,△ABD和△ACE都是等边三角形,则
△ADC≌△ABE的根据是()
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
11.下列命题中正确的是()
①全等三角形对应边相等;
②三个角对应相等的两个三角形全等;
③三边对应相等的两三角形全等;
④有两边对应相等的两三角形全等.
A.4个B.3个C.2个D.1个
12.对下列各组条件,不能判定△ABC≌△A′B′C′的一组是()
A.∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB=A′B′
B.∠A=∠A′,AB=A′B′,AC=A′C′
C.∠A=∠A′,AB=A′B′,BC=B′C′
D.AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′
13.如图1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D点,E、F分别为DB、DC的中点,则图中共有全等三角形_对.
14.如图2,△ABC中,∠C=90°
,CD⊥AB于点D,AE是∠BAC的平分线,点E到AB的距离等于3cm,则CF=cm.
15.如图3,两平面镜α、β的夹角θ,入射光线AO平行于β,入射到α上,经两次反射后的出射光线CB平行于α,则角θ等于________.
16.如图,E、F是四边形ABCD对角线AC上两点,AE=CF,AB=CD,BA∥DC.试说明
(1)△ABE≌△CDF;
(2)BE∥DF.
17.如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:
EB=FC.
全等三角形的性质
例1.由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案____全等图形,而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片全等图形(填“是”或“不是”)
例2.下列说法正确的个数为()
(1)用一张底片冲出来的10张一寸照片是全等形
(2)我国国旗上的四颗小五角星是全等形
(3)所有的正六边形都是全等形
(4)面积相等的两个正方形是全等形
A.1个B.2个C.3个D.4个
例3.下列命题中:
⑴形状相同的两个三角形是全等三角形;
⑵在两个三角形中,相等的角是对应角,相等的边是对应边;
⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等;
其中真命题的个数有()
A.3个B.2个C.1个D.0个
例4.已知:
△ABC≌△A′B′C′,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=70°
,AB=15cm,则∠C′=____,
A′B′=_____.
例5.△ABD≌△BAC,若AD=BC,则∠BAD的对应角是________.
例6.如图,△ABE≌△ACD,AB=8cm,AD=5cm,∠A=60°
,∠B=40°
,则AE=_____,∠C=_____.
例7.如图,的度数为()
A.20°
B.30°
C.35°
D.40°
例8.已知△ABC≌△DEF,EF=6cm,△ABC的面积为18cm2,则FE边上的高为
cm.
例9.如图,已知:
△AOC≌△BOD,你能说出AC∥BD的理由吗?
例10.在△ABC中,AC>
BC>
AB,且△ABC≌△DEF,则在△DEF中,______<
______<
_______(填边)
测试:
1.若△AOC≌△BOD,对应边是___________________,对应角是_______________;
2.若△ABD≌△ACD,对应边是___________________,对应角是_______________;
3.若△ABC≌△CDA,对应边是___________________,对应角是_______________.
4.如图,△ABC≌△CDA,那么AB∥CD吗?
试说明理由.
5.如图,△ABC≌△ADE.
(1)指出图中的对应边与对应角;
(2)求证:
∠BAD=∠CAE.
.美丽图案形成之轴对称
例题1:
如图所示,下列图形是我国几家银行的标志,其中不是轴对称图形的是()
例题2:
如图在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形
例题3:
下列图形中对称轴个数最多的是()
A直角梯形B正方形
C等边三角形D圆
例题4:
如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.求证AD垂直平分EF.
将军饮马问题
如图所示OM是一片草地,ON是一条河流,小八戒家住在P点,八戒让小八戒每天看完众享视频后去放牛,要求:
让牛先到草地去吃草,再到河里去喝水,小八戒比较懒,想一想怎样走最省时?
折纸问题
将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后这折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.
将纸片展开,得到的图形是
习题:
1.国旗是一个国家的象征,观察下面的国旗,是轴对称图形的是()
A.加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭B.加拿大、瑞典、澳大利亚
C.加拿大、瑞典、瑞士D.乌拉圭、瑞典、瑞士
加拿大哥斯达黎加澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士
2.△ABC中,AB=AC,∠A=40°
,DE为AB的中垂线,则∠CBE=度;
若△ABC的周长为16cm,BC=4cm,则△BCE的周长为
3.已知EF是线段AB的中垂线,则下列说法中,正确的是()
A.到线段AB距离相等的点在EF上
B.到EF距离相等的点在AB上
C.EF与AB的公共点在EF的垂直平分线上
D.到点A和点B距离相等的点在EF上
4.点P是∠DAE平分线上的一个动点,AB=2,∠DAE=60°
,C是AB的中点,当点P在角平分线上自由运动时,则PC+PB的最小值是 .
5.如图,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是()
角平分线的性质及等腰三角形
例1.已知,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P,求证点P到三边AB、AC、BC的距离相等.
例2.直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建立一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有()
A.一处B.二处C.三处D.四处
例3.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA交OA于点D,PE⊥OB交OB于点E,F是OC上另一点,连接DF、EF,求证DF=EF.
例4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD与△ACD的高,求证AD垂直EF.
例5.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,则∠A的度数是()
A.30°
B.36°
C.45°
D.54°
例6.如图,AO=OC,且DO垂直AC并交AB于点D,若AB=7cm,BC=5cm,则△BDC的周长是多少?
例7.已知点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证BD=CE.
例8如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD与△ACD的高,求证AD垂直平分EF.
例9.已知:
如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:
BD=DE.
1.下图是一个三角形测平架,已知AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,使其自然下垂,调整架身,使点A恰好在重锤上.试问AD和BC的关系,并说明理由.
2.如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点.求证:
BD⊥AC.
3.已知AB⊥BC,AD⊥DC,且BC=DC,求证:
∠ABD=∠ADB.
4.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,DE=DF,求证:
AB=AC.
.
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