最新电大离散数学图论部分期末复习辅导知识点复习考点归纳总结Word文档格式.docx
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答D
4.如图一所示,以下说法正确的是().
A.{(a,e)}是割边
B.{(a,e)}是边割集
C.{(a,e),(b,c)}是边割集
D.{(d,e)}是边割集
定义3.2.9设无向图G=<
V,E>
为连通图,若有边集E1E,使图G删除了E1的所有边后,所得的子图是不连通图,而删除了E1的任何真子集后,所得的子图仍是连通图,则称E1是G的一个边割集.若边割集为单元集{e},则称边e为割边(或桥).
解割边首先是一条边,因为答案A中的是边集,不可能是割边,因此答案A是错误的.删除答案B或C中的边后,得到的图是还是连通图,因此答案B、C也是错误的.在图一中,删去(d,e)边,图就不连通了,所以答案D正确.
注:
如果该题只给出图的结点和边,没有图示,大家也应该会做.如:
若图G=<
,其中V={a,b,c,d,e},E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,c),(b,e),(c,e),(e,d)},则该图中的割边是什么?
5.图G如图二所示,以下说法正确的是().
A.a是割点
B.{b,c}是点割集
C.{b,d}是点割集
D.{c}是点割集
定义3.2.7设无向图G=<
为连通图,若有点集V1V,使图G删除了V1的所有结点后,所得的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所得的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集.若点割集为单元集{v},则称结点v为割点.
解在图二中,删去结点a或删去结点c或删去结点b和d图还是连通的,所以答案A、C、D是错误的.在图二中删除结点b和c,得到的子图是不连通图,而只删除结点b或结点c,得到的子图仍然是连通的,由定义可以知道,{b,c}是点割集.所以答案B是正确的.
6.图G如图三所示,以下说法正确的是().
A.{(a,d)}是割边
B.{(a,d)}是边割集
C.{(a,d),(b,d)}是边割集
D.{(b,d)}是边割集
解割边首先是一条边,{(a,d)}是边集,不可能是割边.在图三中,删除答案B或D中的边后,得到的图是还是连通图.因此答案A、B、D是错误的.在图三中,删去(a,d)边和(b,d)边,图就不连通了,而只是删除(a,d)边或(b,d)边,图还是连通的,所以答案C正确.
7.设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图四所示,则下列结论成立的是().
图四
A.(a)是强连通的B.(b)是强连通的
C.(c)是强连通的D.(d)是强连通的
复习:
定义3.2.5在简单有向图中,若在任何结点偶对中,至少从一个结点到另一个结点可达的,则称图G是单向(侧)连通的;
若在任何结点偶对中,两结点对互相可达,则称图G是强连通的;
若图G的底图,即在图G中略去边的方向,得到的无向图是连通的,则称图G是弱连通的.
显然,强连通的一定是单向连通和弱连通的,单向连通的一定是弱连通,但其逆均不真.
定理3.2.1一个有向图是强连通的,当且仅当G中有一个回路,其至少包含每个结点一次.
单侧连通图判别法:
若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路,则G是单侧连通的。
答A(有一条经过每个结点的回路)
问:
上面的图中,哪个仅为弱连通的?
答:
图(d)是仅为弱连通的
请大家要复习“弱连通”的概念.
8.设完全图K
有n个结点(n2),m条边,当()时,K
中存在欧拉回路.
A.m为奇数B.n为偶数
C.n为奇数D.m为偶数
解完全图K
每个结点都是n1度的,由定理4.1.1的推论知K
中存在欧拉回路的条件是n1是偶数,从而n为奇数。
提示:
前面提到n阶无向完全图Kn的每个结点的度数是n-1,现在要问:
无向完全图Kn的边数是多少?
n(n–1)/2
9.若G是一个汉密尔顿图,则G一定是().
A.平面图B.对偶图
C.欧拉图D.连通图
定义4.2.1给定图G,若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次,则该路称为汉密尔顿路;
若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次,则该回路称为汉密尔顿回路;
具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图.
由定义可知,汉密尔顿图是连通图.答D
10.若G是一个欧拉图,则G一定是().
A.平面图B.汉密尔顿图
C.连通图D.对偶图
定义4.1.1给定无孤立结点图G,若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次,则该路称为欧拉路.(即,欧拉路中没有重复的边,并且包含了图中的每条边.)
若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次,则该回路称为欧拉回路.
具有欧拉回路的图就称为欧拉图.
由定义可知,欧拉图是连通图.答C
11.设G是连通平面图,有v个结点,e条边,r个面,则r=().
A.e-v+2B.v+e-2
C.e-v-2D.e+v+2
答A(定理4.3.2:
欧拉公式ver2)
如果连通平面图G有4个结点,7条边,那么图G有几个面?
12.无向树T有8个结点,则T的边数为().
A.6B.7C.8D.9答B
13.无向简单图G是棵树,当且仅当().
A.G连通且边数比结点数少1
B.G连通且结点数比边数少1
C.G的边数比结点数少1
D.G中没有回路.
答A(定理5.1.1(树的等价定义))
14.已知一棵无向树T中有8个顶点,4度、3度、2度的分支点各一个,T的树叶数为().
A.8B.5C.4D.3
解这棵无向树T有7条边,所有结点的度数之和为14,而4度、3度、2度的分支点各一个共3个结点占用了9度,所以剩下的5个结点占用5度,即这5个结点每个都是1度结点,故有5片树叶.
15.设G是有n个结点,m条边的连通图,必须删去G的()条边,才能确定G的一棵生成树.
A.
B.
D.
答A(n个结点的连通图的生成树有
条边,必须删去
条边)
16.设无向图G的邻接矩阵为
A.1B.6C.7D.14答C
17.如图二(下图)所示,以下说法正确的是().
A.e是割点B.{a,e}是点割集
C.{b,e}是点割集D.{d}是点割集
图二
答A
18.设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图六(下图)所示,则下列结论成立的是().
图六
A.(a)只是弱连通的B.(b)只是弱连通的
C.(c)只是弱连通的D.(d)只是弱连通的答D
19.无向完全图K4是().
A.欧拉图B.汉密尔顿图C.非平面图D.树答B
20.以下结论正确的是().
A.无向完全图都是欧拉图
B.有n个结点n-1条边的无向图都是树
C.无向完全图都是平面图
D.树的每条边都是割边答D
二、填空题
1.已知图G中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G的边数是.
解设G有x条边,则由握手定理,
答15
2.设给定图G(如右由图所示),则图G的点割集是.
解从图G中删除结点f,得到的子图是不连通图,即结点集{f}是点割集;
从图G中删除结点c和e,得到的子图是不连通图,而只删除c或e,得到的子图仍然是连通的,所以结点集{c,e}也是点割集.而其他结点集都不满足点割集的定义的集合,所以应该填写:
{f}、{c,e}
答{f}、{c,e}
若f是图G的割点,则{f}是图G的点割集,删除f点后图G是连通吗?
3.设G是一个图,结点集合为V,边集合为E,则G的结点等于边数的两倍.
答的度数之和
4.无向图G存在欧拉回路,当且仅当G连通且.
答G的结点度数都是偶数(定理4.1.1的推论)
5.设G=<
V,E>
是具有n个结点的简单图,若在G中每一对结点度数之和大于等于,则在G中存在一条汉密尔顿路.
答n1(定理4.2.2)
6.若图G=<
中具有一条汉密尔顿回路,则对于结点集V的每个非空子集S,在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W,则S中结点数|S|与W满足的关系式为.答W|S|(定理4.2.1)
7.设完全图K
有n个结点(n2),m条边,当时,K
答n为奇数(同一、8题)
8.结点数v与边数e满足关系的无向连通图就是树.
答ev1(定理5.1.1(树的等价定义))
9.设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G中删去条边后使之变成树.
解由握手定理(定理3.1.1)知道图G有182=9条边,又由定理5.1.1中给出的图T为树的等价定义之一是“图T连通且e=v-1”,可以知道图G的生成树有5条边,从而要删去4条边.
答4
10.设正则5叉树的树叶数为17,则分支数为i=.答4(定理5.2.1:
(m-1)i=t-1)
三、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)
1.如果图G是无向图,且其结点度数均为偶数,则图G存在一条欧拉回路.
解错误.
只有当G是连通图且其结点度数均为偶数时,图G才存在一条欧拉回路.
2.如下图所示的图G存在一条欧拉回路.
因为图G有两个奇数度(3度)结点,所以不存在欧拉回路.
这是一个汉密尔顿图,但不是欧拉图。
可见汉密尔顿图不一定是欧拉图.
其实,欧拉图也不一定是汉密尔顿图.
如下图所示,图
(1)是欧拉图又是汉密尔顿图,图
(2)是欧拉图但不是汉密尔顿图,图(3)不是欧拉图但它是汉密尔顿图,图(4)不是欧拉图也不是汉密尔顿图。
3.如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图.
图G
解正确.
图G有4个3度结点a,b,d,f,所以图G不是欧拉图.图G有汉密尔顿回路abefgdca,所以图G是汉密尔顿图.
4.设G是一个有7个结点16条边的连通简单图,则G为平面图.
由定理4.3.3知,若G有v个结点e条边,且v3,则e≤3v6.但本题中,16≤3×
76不成立.
5.设G是一个连通平面图,且有6个结点11条边,则G有7个面.
由欧拉定理,连通平面图G的结点数为v,边数为e,面数为r,则ve+r=2.于是有r=2v+e=26+11=7.
“完全图K6是平面图”是否正确?
答不正确.
因为完全图K6有6个结点15条边,且1536-6=12,即e3v-6对K6不成立,所以K6不是平面图.
四、计算题
1.设G=<
,V={v1,v2,v3,v4,v5},E={(v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4),(v3,v5),(v4,v5)},试
(1)给出G的图形表示;
(2)写出其邻接矩阵;
(3)求出每个结点的度数;
(4)画出其补图的图形.
解
(1)G的图形为:
(2)图G的邻接矩阵为:
(3)图G的每个结点的度数为:
.
(4)由关于补图的定义3.1.9可知,先在图G补充边画出完全图(见下面左图),然后去掉原图的边,可得图G补图(见下面右图):
注意:
补图中,如果没有标出结点v3,则是错的.
2.图G=<
,其中V={a,b,c,d,e},E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(c,d),(d,e)},对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5,试
(1)画出G的图形;
(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
解
(1)G的图形如左下图:
(2)G的邻接矩阵为:
(3)图G有5个结点,其生成树有4条边,用Kruskal算法求其权最小的生成树T:
第1步,取具最小权1的边(a,c);
第2步,取剩余边中具最小权1的边(c,e);
第3步,取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权2的边(a,b);
第4步,取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权3的边(b,d).
所求最小生成树T如下图,其权为
在用避圈法求最小的生成树的关键是:
“取图中权数最小的边,且与前面取到的边不构成圈”,很多学生只注意到取权数最小的边了,而忽略了“不构成圈”的要求。
如果题目给出如解
(1)中所示赋权图,要求用Kruskal算法(避圈法)求出该赋权图的最小生成树,大家应该会吧.
3.已知带权图G如右图所示.
(1)求图G的最小生成树;
(2)计算该生成树的权值.
解
(1)图G有6个结点,其生成树有5条边,用Kruskal算法求其权最小的生成树T:
第1步,取具最小权1的边;
第2步,取剩余边中具最小权2的边;
第3步,取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权3的边;
第4步,取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权5的边;
第5步,取剩余边中不与前4条边构成回路的具最小权7的边.
所求最小生成树T如右图.
(2)该最小生成树的权为
4.设有一组权为2,3,5,7,17,31,试画出相应的最优二叉树,计算该最优二叉树的权.
解(Huffman算法):
首先组合2+3,求带权5,5,7,17,31的最优二叉树;
再组合5+5,求带权7,10,17,31的最优二叉树;
然后组合7+10,求带权17,17,31的最优二叉树;
继续组合17+17,求带权31,34的最优二叉树;
最后组合31+34,得65,这是树根所带的权。
可从树根开始往下画,即得所求最优二叉树T如下图:
所求最优二叉树T的权为:
讲评:
作业中最优二叉树往往都能画对了,但计算总权值时可能会把有些权的层数计算错了,导致总权值计算错误,大家一定要细心。
这4个计算题的解题方法大家一定要掌握。
补充:
教材第101页
例3给定如图3.3.3所示有向图,其邻接矩阵以及邻接矩阵的乘积如下:
从上面的矩阵中可以得到一些结论,如:
(1)从A2中第1行第3列的为1可知,结点v1与v3之间有一条长度为2的路;
(2)从A3中第1行第2列的为2可知,v1与v2之间有2条长度为3的路;
(3)从A4中第2行第2列的为4可知,在结点v2有4条长度为4的回路.
如果改成问题:
试求:
(1)图G中结点v1与v3之间长度为2的路径条数;
1条
(2)图G中v1与v2之间长度为3的路径条数;
2条
(3)图G中经过v2的长度为4的回路条数.4条
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