苏州市初三数学中考复习专题四图形与图形的变换Word文档格式.docx
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12.66
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南通市
33
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13
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11
9.16
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平均
20.69
14.96
15.31
10.73
15.15
【课标要求】
1.图形的初步认识:
点、线、面、角
(1)掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图,会判断简单物体的三视图,能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
(2)了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断立体模型.
(3)了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系.
(4)掌握比较角的大小,估计一个角的大小,计算角度的和与差,进行度、分、秒简单换算.
(5)理解角平分线及其性质,了解补角、余角、对顶角;
理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.
(6)掌握基本事实:
两点之间,线段最短;
经过两点有一条直线,并且只有一条直线.
(7)理解垂线、垂线段等概念,垂线段最短的性质,点到直线距离的意义,能度量点到直线的距离;
(8)掌握基本事实:
过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线.
(9)掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线;
线段垂直平分线及其性质.
(10)理解平行线的特征和平行线的识别;
了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线;
掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
(11)探索并证明平行线的判定定理及逆定理:
两条平行线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行。
(12)理解平行线之间距离的意义;
掌握度量两条平行线之间的距离的方法.
2.轴对称
(1)通过实例了解轴对称的概念,并能探索它的基本性质:
对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
(2)掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形.
(3)掌握简单图形之间的轴对称关系,并指出对称轴.
(4)掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质.
(5)掌握利用轴对称进行图案的设计.
3.平移和旋转
(1)通过具体实例认识平移,理解对应点连线平行(或在同一直线上)且相等的性质;
掌握按要求作简单平面图形平移后的图形;
掌握选用平移进行图案设计.
(2)通过具体实例认识旋转(含中心对称);
理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质.
(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
(4)掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形.
(5)掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式.
(6)掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.
(7)在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,培养学生的数学说理的习惯与能力.
(8)了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
【课时分布】
本单元在第一轮复习时大约需要3个课时,下表为内容及课时安排(仅供参考)
课时数
内容
1
基本图形的认识
轴对称与轴对称图形
平移与旋转
图形与图形的变换单元测试与评析
【知识回顾】
1.知识脉络
2.基础知识
(1)两点之间线段最短;
连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图).
(3)平行线间的距离处处相等.
(4)平移是由移动的方向和距离决定的.
(5)平移的特征:
①对应线段平行(或共线)且相等;
连结对应的线段平行(或共线)且相等;
②对应角分别相等;
③平移后的图形与原图形全等.
(6)图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定.
(7)旋转的特征:
①对应点与旋转中心的距离相等;
对应线段相等,对应角相等;
②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度;
③旋转后的图形与原图形全等.
3.能力要求
例11.下列四个图形中,不是轴对称图形的是( ).
【分析】
判断一个图形是不是轴对称图形,就是看能不能找到一条直线,使这个图形沿直线对折后直线两旁的部分能够互相重合.
【解】答案:
D.
【说明】
轴对称图形是对一个图形而言的,是具有特殊形状的图形,判断轴对称图形可以动手折一折,演示一下,帮助理解.
2.如图4-1-1,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°
.现将△ADE沿DE折叠,点A落在三角形所在平面内的点为A1,则∠BDA1的度数为°
.
【分析】∵D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE∥BC.
∴∠ADE=∠B=50°
又∵∠ADE=∠A1DE,
∴∠A1DA=2∠B.
∴∠BDA1=180°
−2∠B=80°
【解】答案80.
3.如图4-1-2是由几个相同的小立方块搭成的几何体的三视图,则这几个几何体的小立方块的个数是()
A.4个B.5个
C.6个D.7个
根据三视图,该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列,底层应该有3+1=4个小正方体,第二层应该有1个小正方体,共有5个小正方体.
【解】B.
4.如图4-1-3,菱形纸片ABCD中,∠A=60,将纸片折叠,点A,D分别落在A,D处,且A,D经过B,EF为折痕,当DFCD时,
的值为()
A.
B.
C.
D.
延长DC与A′D′,交于点M.
∵在菱形纸片ABCD中,∠A=60°
,∴∠DCB=∠A=60°
,AB∥CD.
∴∠D=180°
−∠A=120°
根据折叠的性质,可得:
∠A′D′F=∠D=120°
,
∴∠FD′M=180°
−∠A′D′F=60°
∵D′F⊥CD,
∴∠D′FM=90°
,∠M=90°
−∠FD′M=30°
∵∠BCM=180°
−∠BCD=120°
∴∠CBM=180°
−∠BCM−∠M=30°
∴∠CBM=∠M.
∴BC=CM.
设CF=x,D′F=DF=y,则:
BC=CM=CD=CF+DF=x+y.
∴FM=CM+CF=2x+y.
在Rt△D′FM中,
tan∠M=tan30°
=
,∴
.∴
【解】选A.
例2如图4-2,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE
,且EF=3,则AB的长为(
).
A.3B.4
C.5D.6
如图4-2,设AB=x,翻折得AB=AF且∠B=∠AFE=90,AD=BC=8,BE=EF=3,∴EC=5,则FC=4.
在Rt△ABC中,∵AB2+BC2=AC2,∴x2+82=(x+4)2,解得x=6,即AB=6.
【解】选D.
折叠问题中常用的性质:
1.折叠前后的图形全等及由此引出的相等的边和角;
2.对称点的连线被对称轴垂直平分.
例3如图4-3,在△ABC中,∠ACB=90º
,∠B=30º
,AC=1,AC在直线l上.将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①,可得到点P1,此时AP1=2;
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=2+
;
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=3+
…,按此规律继续旋转,直到得到点P2012为止,则AP2012长为()
A.2011+671
B.2012+671
C.2013+671
D.2014+671
寻找规律,发现将Rt△ABC绕点A,P1,P2·
·
顺时针旋转,每旋转一次,APi(i=1,2,3·
)的长度依次增加2,
1,且三次一循环,按此规律即可求解.
【解】选B.
在复习图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能时,可以安排一组典型的基础题训练,安排时注意知识点的覆盖.近年来,中考命题对本章知识设置在选择、填空题部分的题目以基础为主,但也不乏与其他知识(如特殊平行四边形、锐角三角函数等)相结合的题,复习时要注意引申.
例4如图4-4-1,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.Rt△ABC的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(−4,1),点B的坐标为(−1,1).
(1)先将Rt△ABC向右平移5个单位,再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图4-4-2中画出图形Rt△A1B1C1,并写出A1的坐标;
(2)将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°
后得到Rt△A2B2C2,试在图4-4-2中画出图形Rt△A2B2C2.并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程.
(1)根据网格结构找出点A,B,C平移后的对应点A1,B1,C1的位置,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可;
(2)根据网格结构找出点A1,B1,C1绕点A1顺时针旋转90°
后的对应点A2,B2,C2的位置,然后顺次连接即可,再根据勾股定理求出A1C1的长度,然后根据弧长公式列式计算即可得解.
【解】
(1)如图4-4-2所示,△A1B1C1即为所求作的三角形,点A1的坐标为(1,0);
(2)如图4-4-2所示,△A2B2C2即为所求作的三角形,
根据勾股定理,A1C1=
∴旋转过程中C1所经过的路程为L=
.
例5
(1)如图4-5-1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
∠ABC(0°
<
∠CBE<
∠ABC).以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC,得到△BEA(点C与点A重合,点E到点E处),连接DE.求证:
DE=DE.
(2)如图4-5-2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°
,D,E是AC边上的两点,满足∠DBE=
∠ABC(0°
45°
).
求证:
DE2=AD2+EC2.
(1)由旋转的性质易得BE=BE,∠EBA=∠EBC,由已知∠DBE=∠ABC经等量代换可得∠EBD=∠DBE,从而可由SAS得△EBD≌△EBD,得到DE=DE.
(2)由
(1)的启示,作如
(1)的辅助图形,即可得到直角三角形DEA,根据勾股定理即可证得结论.
证明:
(1)∵△BEA是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到,
∴BE=BE,∠EBA=∠EBC.
∵∠DBE=
∠ABC,∴∠ABD+∠EBC=
∠ABC.
∴∠ABD+∠EBA=
∠ABC,
即∠EBD=
∠ABC.∴∠EBD=∠DBE.
在△E’BD和△EBD中,∵BE=BE,∠EBD=∠DBE,BD=BD,
∴△EBD≌△EBD(SAS).
∴DE=DE.
(2)以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°
,得到△BEA(点C与点A重合,点E到点E处),连接DE.
如图4-5-3由
(1)知DE=DE.由旋转的性质,
知EA=EC,∠EAB=∠ECB.
又∵BA=BC,∠ABC=90°
,∴∠BAC=∠ACB=45°
∴∠EAD=∠EAB+∠BAC=90°
在Rt△DEA中,DE2=AD2+EA2,∴DE2=AD2+EC2.
本例考查学生旋转的性质,等腰(直角)三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理.还考查了利用旋转变换作图,利用平移变换作图,弧长的计算公式,熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键.另外,图形在旋转过程中,图中的每一个点与旋转中心的连线都绕着旋转中心转动了相同的角度,对应线段相等,对应角相等.
例6如图4-6-1所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:
∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?
并证明你的结论;
(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;
若不存在,请说明理由.
(1)根据翻折变换的性质得∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得∠APB=∠PBC,即可得出答案;
(2)首先证明△ABP≌△QBP,进而得出△BCH≌△BQH,即可得出:
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8;
(3)利用已知得出△EFM≌△BPA,进而利用在Rt△APE中,(4−BE)2+x2=BE2,利用二次函数的最值求出即可.
(1)如图4-6-1,∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB.
又∵∠EPH=∠EBC=90°
,∴∠EPH−∠EPB=∠EBC−∠EBP.
即∠PBC=∠BPH.
又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC.∴∠APB=∠BPH.
(2)△PHD的周长不变为定值8.
如图4-6-2,过B作BQ⊥PH,垂足为Q.
由
(1)知∠APB=∠BPH,又∵∠A=∠BQP=90°
,BP=BP,
∴△ABP≌△QBP.∴AP=QP,AB=BQ.
又∵AB=BC,∴BC=BQ.
又∵∠C=∠BQH=90°
,BH=BH,
∴△BCH≌△BQH.∴CH=QH.
∴△PHD的周长为:
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.
(3)如图4-6-3,过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB.
又∵EF为折痕,∴EF⊥BP.∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°
∴∠EFM=∠ABP.又∵∠A=∠EMF=90°
∴△EFM≌△BPA.∴EM=AP=x.∴在Rt△APE中,(4−BE)2+x2=BE2.
解得:
.∴
又四边形PEFG与四边形BEFC全等,∴
即:
.∴当x=2时,S最小值6.
此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识,熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键.
例7如图4-7-1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重叠部分…;
将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情况.情形一:
如图4-7-2,沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AD折叠,点B与点C重合;
情形二:
如图4-10-3,沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;
将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?
(填“是”或“不是”)
(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>
∠C)之间的等量关系;
根据以上内容猜想:
若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C不妨设∠B>
∠C)之间的等量关系为
应用提升
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15,60,105,发现60和105的两个角都是此三角形的好角,请你完成,如果一个三角形的最小角是4,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
(1)理由如下:
小丽展示的情形二中,如图4-7-3,
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠,∴∠B=∠AA1B1.
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合,
∴∠A1B1C=∠C.∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C,∴∠B=2∠C.故答案“是”.
(2)∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C;
∠BAC+2∠B-2∠C=180°
…①,
又∠BAC+∠B+∠C=180°
…②,由①②可以求得∠B=3∠C.
由小丽展示的情形一知,当∠B=∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
由小丽展示的情形二知,当∠B=2∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
由小丽展示的情形三知,当∠B=3∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
利用数学归纳法,根据小丽展示的三种情形得出结论:
∠B=n∠C.
(3)利用
(2)的结论知∠B=n∠C,∠BAC是△ABC的好角,∠C=n∠A,∠ABC是△ABC的好角,∠A=n∠B,∠BCA是△ABC的好角,然后三角形内角和定理可求得另外两个角的度数可以是88°
、88°
(1)“是”.
(2)∠B=3∠C.
∵根据折叠的性质知,∠B=∠AA1B1,∠C=∠A2B2C,∠A1B1C=∠A1A2B2.
又∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C.
∠BAC+∠B+∠AA1B1−∠A1B1C=∠BAC+2∠B−2∠C=180°
∵∠BAC+∠B+∠C=180°
,∴∠B=3∠C.(图4-7-4)
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>
∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C.
(3)由
(2)知,∠B=n∠C,∠BAC是△ABC的好角,
∴∠C=n∠A,∠ABC是△ABC的好角,∠A=n∠B,∠BCA是△ABC的好角.
∴如果一个三角形的最小角是4°
,三角形另外两个角的度数是4°
、172°
8°
、168°
16°
、160°
44°
、132°
88°
本题重点考查分类归纳(图形的变化类)的思想方法,以及新定义,翻折变换(折叠问题),折叠的性质,三角形的内角和外角定理.这道题给我们复习的启示:
复习教学,要注重题目的研究,要充分发挥一道题目的功效,要进行必要的变式与引申,并注重培养学生阅读理解能力、主动探究的能力,要注重解题后的反思.
【复习建议】
1.重视对基础知识的理解和基本方法的指导.立足教材,理清概念,通过复习,学生应熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能;
2.注重对近三年中考试题的研究,并进行适当的变式与引申.寻求不同的解题途径与思维方式,培养学生思维的广阔性.积极进行开放型、探究型问题的探索,提高学生独立分析、解决新问题的能力;
3.适当变换几何图形的位置、形状和大小,培养学生思维的灵活性、敏捷性;
4.重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程,特别是旋转的操作过程,提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力;
加强图形与图形变换知识与方程(方程组)知识、函数知识、相似三角形知识、全等三角形知识、解直角三角形知识、圆的知识、图形设计知识及其它学科知识之间的联系,提高学生综合运用数学知识的能力;
5.重视几何图形变换的训练,注重数学思想方法(方程与函数思想、数形结合思想、分类思想、化归思想、类比思想等)的渗透,在平时的教学中,要将数学思想方法用于解题,通过不断的讲解、提炼、归纳和总结,发展学生数学思维能力.
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