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他的方法是这样的,部队集合齐后,他让士兵1、2、3--1、2、3、4、5--1、2、3、4、5、6、7地报三次数,然后把每次的余数再报告给他,他便知道部队的实际人数和缺席人数。
他的这种计算方法历史上还称为“鬼谷算”,“隔墙算”,“剪管术”,外国人则叫“中国剩余定理”。
有人用一首诗概括了这个问题的解法:
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知。
这意思就是,第一次余数乘以70,第二次余数乘以21,第三次余数乘以15,把这三次运算的结果加起来,再除以105,所得的除不尽的余数便是所求之数(即总数)。
例如,如果3个3个地报数余1;
5个5个地报数余2,7个7个地报数余3,则总数为52。
算式如下:
1×
70+2×
21+3×
15=157
157÷
105=1……52
下边给同学们出一道题,请用“韩信点兵法”算一算:
小红暑假期间帮着张二婶放鸭子,她总也数不清一共有多少只鸭子。
她先是3只3只地数,结果剩3只;
她又5只5只地数,结果剩4只;
她又7个7个地数了一遍,结果剩6只。
她算来算去还是算不清一共有多少只鸭子。
?
爱因斯坦的数学游戏
大科学家爱因斯坦小时候就特别聪明,有一次同学们在一起玩,他说:
“我们做一个数学游戏怎么样?
”同学们说:
“怎么做法呢?
爱因斯坦说:
“你们随便想一个数,然后做一些运算,我就能知道你们一开始想的那个数是多少?
”汤姆说:
“我不信,但是我可以试一试。
”爱因斯坦说:
“那么好吧,现在开始。
你心里随便想一个数吧。
”“我想好了。
”汤姆说。
“在这个数上加上18。
”“再加上136。
”“减去27。
”“减去你所想的数。
”汤姆按照爱因斯坦的要求做了运算。
他还没有说出答案,爱因斯坦就说:
“最后得数是254。
”汤姆惊呆了,爱因斯坦说的一点也不错,可是他是怎么算出来的呢?
第2讲速算与巧算
(一)
智慧屋
速算与巧算是计算中的一个重要组成部分,掌握一些速算与巧算的方法,有助于提高我们的计算能力和思维能力。
这一周我们学习加、减法的巧算方法,这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质,通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里,蕴含着一种重要的解决问题的策略。
转化问题法即把所给的算式,根据运算定律和运算性质,或改变它的运算顺序,或减整从而变成一个易于算出结果的算式。
例1:
计算9+99+999+9999
分析与解答:
这四个加数分别接近10、100、1000、10000。
在计算这类题目时,常使用减整法,例如将99转化为100-1。
这是小学数学计算中常用的一种技巧。
9+99+999+9999
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)
=10+100+1000+10000-4
=11106
展示台
1.计算9+98+996+9997
2.计算19998+39996+49995+69996
例2:
计算489+487+483+485+484+486+488
认真观察每个加数,发现它们都和整数490接近,所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488
=490×
7-1-3-7-5-6-4-2
=3430-28
=3402
想一想:
如果选480为基准数,可以怎样计算?
1.89+94+92+95+93+94+88+96+87
2.1032+1028+1033+1029+1031+1030
第3讲速算与巧算
(二)
例1.计算下面各题
1.248+(152-127)
2.324-(124-97)
3.283+(358-183)
减法
数学课上,数学教师对一位学生说:
“你怎么连减法都不会?
例如,你家里有十个苹果,被你吃了四个,结果是多少呢?
”
这个学生沮丧地说道:
“结果是挨了十下屁股!
在计算有括号的加减混合运算时,有时为了使计算简便可以去括号,如果括号前面是“+”号,去括号时,括号内的符号不变;
如果括号前面是“-”号,去括号时,括号内的加号就要变成减号,减号就要变成加号。
我们可以把上面的计算方法概括为:
括号前面是加号,去掉括号不变号;
括号前面是减号,去掉括号要变号。
1.248+(152-127)324-(124-97)
=248+152-127=324-124+97
=400-127=200+97
=273=297
283+(358-183)
=283+358-183
=283-183+358
=100+358
=458
计算下面各题
1.348+(252-166)
2.629+(320-129)
5,5623-(623-289)+452-(352-211)
例2.计算下面各题。
(1)286+879-679
(2)812-593+193
在计算没有括号的加减法混合运算式题时,有时可以根据题目的特点,采用添括号的方法使计算简便,与前面去括号的方法类似,我们可以把这种方法概括为:
括号前面是加号,添上括号不变号;
括号前面是减号,添上括号要变号。
(1)286+879-679
(2)812-593+193
=286+(879-679)=812-(593-193)
=286+200=812-400
=868=412
计算下面各题。
1.368+1859-859
2.632-385+285
3.756+1478+346-(256+278)-246
第4讲数学小游戏
数数字100游戏
两个人轮流说1到10中的任一个数,把这些数一个接一个加上去,谁说到100,谁就胜了。
例如,第一个人说7,第二个人说10,得到17;
随后第一个说5,得22;
……你想自己准能说到100,在这之前,先要说到89。
你说到89后,不管对方怎么说,你都能说到100了。
而你要说到89,先要说到78。
从100开始,逐次减去11,便得一串取胜的数:
89,78、67、56、45、34、23、12、1。
这串数很好记住,并且推开始说,谁就可以获胜。
不过,要是开始说的人不知道这个窍门,你就随时可以占领取胜的数,一步、一步,数到100。
要是五个白棋子和五个黑棋子,或者更多的棋子,又该跳多少步才能互换位置呢?
要是两个白棋子和两个黑棋子,那幼儿园的小朋友会感到兴趣。
填字母游戏
怎样在十六个方格的正方形中填入四个字母a,使每行、每列和每条对角线上,都只有一个字母a?
把一个字母填入一条对角线上的一个方格中,在另一条对角线上,就出现了两个不能填的方格。
这两个方格,分别与已经填入字母的方格在同一行和同一列上。
在另一条对角线的另外两个方格中的一个,填入第二个字母。
按照题目条件,已经填入对角线的两个字母,决定了其它两个字母的位置,并且很好填。
这样,要是确定了第一个字母在一条对角线上的位置,那么,这个题有两个答案。
考虑到第一个字母可以填在一条对角线上的任何一个位置,所以这个题有2×
4=8个答案。
要是四个字母不同,那就有8×
24=192个答案了。
如何送报纸
某单位有26个办公室,办公室间连线为各办公室互相连通的道路(如图),办公室名称用数字代表。
小明为了做好事,他要求代替传达员李伯伯送一次书报,李伯伯同意,但提出一个条件:
从传达室出发去送书报,不准走重复路线,又不准走重复办公室,最后回到传达室。
你知道小明应该怎么走吗?
动手又动脑的数学游戏:
巧摆椅子图
如图,某人请了14位客人在一张六角大桌子上吃饭,连他自己一共是15人,他希望每一条边上坐3个人,却不知道怎么放椅子才对?
聪明的你能帮帮他吗
表盘中的数字
用两条直线将钟表的表盘分为三部分,且使每部分内的数字之和相等,应该如何划分呢?
如果分成六个部分,数字之和也相等,又怎么分呢?
第5讲巧妙求和
(一)
知识要点与基本方法:
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式:
“通项公式”和“项数公式”。
通项公式:
第n项=首项+(项数-1)×
公差
项数公式:
项数=(末项-首项)÷
公差+1
趣味数学:
1、一个农夫带着三只兔到集市上去卖,每只兔大概三四千克,但农夫的秤只能称五斤以上,问他该如何称量。
答:
先称3只,再拿下一只,称量后算差。
例题精讲
有一个数列:
4,10,16,22,…,52,这个数列共有多少项?
容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52,要求项数,可直接带入项数公式进行计算。
项数=(52-4)÷
6+1=9,即这个数列共有9项。
1.等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2,这个等差数列共有多少项?
2.有一个等差数列:
2,5,8,11,…,101,这个等差数列共有多少项?
有这样一个数列:
1,2,3,4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
如果我们把1,2,3,4,…,99,100与列100,99,…,3,2,1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101,一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2,就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×
100÷
2=5050
上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:
等差数列总和=(首项+末项)×
项数÷
2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
展示台
(1)1+2+3+…+49+50
(2)6+7+8+…+74+75
(3)100+99+98+…+61+60
第6讲巧妙求和
(二)
例:
求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。
要求这一数列的和,首先要求出项数是多少:
项数=(末项-首项)÷
公差+1
=(50-2)÷
2+1=25
首项=2,末项=50,项数=25
等差数列的和=(2+50)×
25÷
2=650
(1)2+6+10+14+18+22
(2)5+10+15+20+…+195+200
(3)9+18+27+36+…+261+270
第7讲数数图形
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形,当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点:
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。
数出下面图中有多少条线段。
要正确解答这类问题,需要我们按照一定的顺序来数,做到不重复,不遗漏。
从图中可以看出,从A点出发的不同线段有3条:
AB、AC、AD;
从B点出发的不同线段有2条:
BC、BD;
从C点出发的不同线段有1条:
CD。
因此,图中共有3+2+1=6条线段。
数出下列图中有多少条线段。
(1)
(2)
(3)
数一数下图中有多少个锐角。
数角的方法和数线段的方法类似,图中的五条射线相当于线段上的五个点,因此,要求图中有多少个锐角,可根据公式1+2+3……(总射线数-1)求得:
1+2+3+4=10(个)
下列各图中各有多少个锐角?
例3:
数一数下图中共有多少个三角形。
图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形,也就是说,AD边上有几条线段,就构成了几个三角形,因为AD上有4个点,共有1+2+3=6条线段,所以图中有6个三角形。
数一数下面图中各有多少个三角形。
第8讲找规律
观察是解决问题的根据。
通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律,在一般情况下,我们可以从以下几个方面来找规律:
1.根据每组相邻两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数;
2.根据相隔的每两个数的关系,找出规律,推断出所要填的数;
3.要善于从整体上把握数据之间的联系,从而很快找出规律;
4.数之间的联系往往可以从不同的角度来理解,只要言之有理,所得出的规律都可以认为是正确的。
某人先向正北走32km,再向正南走36km,问以下哪些可能是正确的
①他离出发点4km②他离出发点大于48km③他离出发点68km④他离出发点小于4km⑤他离出发点大于4km小于68km
1,3,5
先找出下列数排列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。
1,4,7,10,(),16,19
分析:
在这列数中,相邻的两个数的差都是3,即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律,括号里应填的数为:
10+3=13或16-3=13
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
先找出下列各列数的排列规律,然后在括号里填上适当的数。
(1)2,6,10,14,(),22,26
(2)3,6,9,12,(),18,21
(3)128,64,32,(),8,(),2
(4)19,3,17,3,15,3,(),(),11,3
先找出规律,然后在括号里填上适当的数。
23,4,20,6,17,8,(),(),11,12
在这列数中,第一个数减去3的差是第三个数,第二个数加上2的和是第四个数,第三个数减去3的差是第五个数,第四个数加上2的和是第六个数……依此规律,8后面的一个数为:
17-3=14,11前面的数为:
8+2=10
(1)1,6,5,10,9,14,13,(),()
(2)13,2,15,4,17,6,(),()
(3)3,29,4,28,6,26,9,23,(),(),18,14
(4)21,2,19,5,17,8,(),()
第9讲和倍问题
已知两个数的和与它们之间的倍数关系,求这两个数是多少的应用题,叫做和倍问题。
解答和倍应用题的基本数量关系是:
和÷
(倍数+1)=小数
小数×
倍数=大数
(和-小数=大数)
学校有科技书和故事书共480本,科技书的本数是故事书的3倍。
两种书各有多少本?
红旗小学四
(1)班42名学生去文化宫看文艺演出,每张票5元钱,文化宫规定,每买4张票就送l张。
请你算一算,四
(1)学生买票一共需要()元钱。
170元
为了便于理解题意,我们画图来分析:
由图可知,如果把故事书的本数看作一份,那么科技书的本数就是这样的3份,两种书的总本数就是这样的1+3=4份。
把480本书平均分成4份,1份是故事书的本数,3份是科技书的本数。
480÷
(1+3)=120(本)120×
3=360(本)
1.用锡和铝制成的合金是720千克,其中铝的重量是锡的5倍。
铝和锡各用了多少千克?
2.甲、乙两数的和是112,甲数除以乙数的商是6,甲、乙两数各是多少?
3.一块长方形黑板的周长是96分米,长是宽的3倍。
这块长方形黑板的长和宽各是多少分米?
第10讲巧测金字塔高度
金字塔是埃及的著名建筑,尤其胡夫金字塔最为著名,整个金字塔共用了230万块石头,10万奴隶花了30年的时间才建成这个建筑。
金字塔建成后,国王又提出一个问题,金字塔倒底有多高,对这个问题谁也回答不上来。
国王大怒,把回答不上来的学者们都扔进了尼罗河。
当国王又要杀害一个学者崐的时候,著名学者塔利斯出现了,他喝令刽子手们住手。
国王说:
“难道你能知道金字塔的高度吗?
”塔利斯说:
“是的,陛下。
”国王说:
“那么它高多少?
”塔利斯沉着地回答说:
“147米。
”国王问:
“你不要信口胡说,你是怎么测出来的?
“我可以明天表演给你看。
第二天,天气晴朗,塔利斯只带了一根棍子来到金字塔下,国王冷笑着说:
“你就想用这根破棍子骗我吗?
你今天要是测不出来,那么你也将要被扔进尼罗河!
”塔利斯不慌不忙地回答:
“如果我测不出来,陛下再把我扔进尼罗河也为时不晚。
接着,塔利斯便开始测量起来,最后,国王也不得不服他的测量是有道理的。
想一想你知道塔利斯是如何进行测
在1至100这一百个数中,两个数相除商是2的有()对,其中被除数和除数都最小的一对是()和(),被除数和除数都最大的是()和几?
第11讲算式谜
智慧林
“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。
解决这类问题,可以根据已学过的知识,运用正确的分析推理方法,确定算式中的未知数字和运用符号。
由于这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏,所以,我们把这类题目称为“算式谜题”。
解答算式谜问题时,要先仔细审题,分析数据之间的关系,找到突破口,逐步试验,分析求解,通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。
在下面算式的括号里填上合适的数。
76()5
+()47
()21()
芳芳在计算5×
(口+9)时,错看成了5
口+9,她得到的结果与正确的结果相差()。
36
根据题目特点,先看个位:
7+5=12,在和的个位()中填2,并向十位进一;
再看十位,()+4+1的和个位是1,因此,第一个加数的()中只能填6,并向百位进1;
最后来看百位、千位,6+()+1的和的个位是2,第二个加数的()中只能填5,并向千位进1;
因此,和的千位()中应填8。
(1)在括号里填上合适的数。
(2)在方框里填上合适的数。
6()()□0□□
+2()15-3()17
()0912856
(3)下面的竖式里,有4个数字被遮住了,求竖式中被盖住的4个数字的和。
□□
+□□
169
第12讲植树问题
例11.小新把贝壳放在桌上,每2厘米放一颗,到10厘米处,可以放几颗?
画图:
结合图思考,如何列式计算可以放的颗数:
你能概括出计算颗数的方法吗?
2.小新把7颗贝壳放在桌上,每两颗之间距离是2厘米,从第一颗到第七颗的距离是多少厘米?
画图:
结合图思考,如何列式计算从第一颗到第七颗的距离:
你能概括出计算总长度的方法吗?
3.小新在桌上等距离地摆了5颗贝壳,已知第1颗到第5颗的距离为8厘米,求每两颗之间的距离是多少?
结合图思考,如何列式计算每两颗之间的距离:
你能概括出计算每两颗之间距离的方法吗?
例2一个鱼塘周围长180米,沿塘边每隔20米栽一棵杨树,需种几棵杨树?
结合图思考,如何列式计算需种杨树的棵数:
你能概括出计算需种杨树棵数的方法吗?
例3一根木料长20米,把它锯成5米长的一段,如果每锯一次需要3分钟,一共需多少分钟?
提示:
可以锯成几段?
需要锯几次呢?
列式解答:
1.一条走廊长21米,从走廊的一端每隔3米放一盆花。
走廊的两边一共需要几盆花?
2.学校两座教学楼之间的距离是40米,如果每隔5米种1棵树,共可以种多少棵树?
3.在一条长为48米的马路一旁栽树,如果每4
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