第1章 证明二 单元复习题3Word文档格式.docx
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∠BOC=180°
﹣
∠A
∠BOC=90°
+
+∠A
14.(4分)如图,在△ABC中,∠A=50°
,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于D,则∠DBC的度数是( )
15°
20°
30°
25°
15.(4分)(2002•湛江)如图,小红从A地向北偏东30°
,方向走100米到B地,再从B地向西走200米到C地,这时小红距A地( )
150米
100
米
100米
50
三、解答题(共7小题,满分0分)
16.如图已知∠AOB内有两点,M、N求作一点P,使点P在∠AOB两边距离相等,且到点M、N的距离也相等,保留作图痕迹并完成填空.
解:
(1)连接 _________ ;
作 _________ 垂直平分线CD;
(2)作∠AOB的 _________ OE与CD交于点 _________ ,所以点 _________ 就是要找的点.
17.如图
(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c.图
(2)是以c为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形(3).
18.证明定理:
等腰三角形的两个底角相等.(画出图形、写出已知、求证并证明)
19.(2006•湖北)如图,点A、E、F、C在同一条直线上,现有下面四个关系:
(1)AD=BC,
(2)AE=CF,(3)∠B=∠D,(4)AD∥BC,请用其中三个作为条件,余下的一个作为结论编一道数学证明题,写出已知,求证并加以证明.
20.等腰三角形的底边长为20,有一个内角为30°
,求底边上的高.
21.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°
,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:
AB=AC+CD.
22.(2004•龙岩)张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
b
6
8
10
c
22+1
32+1
42+1
52+1
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示:
a= _________ ,b= _________ ,c= _________ ;
(2)猜想:
以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.
参考答案与试题解析
,则它的顶角为 80 度.
考点:
等腰三角形的性质;
三角形内角和定理。
522571
分析:
本题给出了一个底角为50°
,利用等腰三角形的性质得另一底角的大小,然后利用三角形内角和可求顶角的大小.
解答:
∵等腰三角形底角相等,
∴180°
﹣50°
×
2=80°
,
∴顶角为80°
.
故填80.
点评:
本题考查等腰三角形的性质,即等边对等角.找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键.
2.(5分)命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 .
命题与定理。
先找到原命题的题设和结论,再将题设和结论互换,即可而得到原命题的逆命题.
因为原命题的题设是:
“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两底角相等”,
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”.
根据逆命题的概念来回答:
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题.
3.(5分)在△ABC中,边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P,则PA、PB、PC的大小关系是 PA=PB=PC .
线段垂直平分线的性质。
由已知条件,根据线段垂直平分线的性质,首先可得PA=PB,进而得到PB=PC,于是答案可得.
∵边AB的垂直平分线相交于P,
∴PA=PB,
∵边BC的垂直平分线相交于P,
∴PB=PC,
∴PA=PB=PC.
故填PA=PB=PC.
此题主要考查线段的垂直平分线的性质:
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.两次运用垂直平分线的性质是正确解答本题的关键.
4.(5分)三角形三边长为6,8,10,则这个三角形的面积是 24 ;
直角三角形的两边分别为5,12,则另一边的长为 13或
.
勾股定理的逆定理;
勾股定理。
(1)根据勾股定理的逆定理可知:
6,8,10三条边组成的三角形为直角三角形,代入直角三角形面积公式可求其面积;
(2)已知直角三角形的两边长,求另一边长,应分两种情况进行讨论:
①两条边为直角边;
②一条为斜边,另一条为直角边.
(1)∵62+82=102
∴此三角形为直角三角形
∴S=
ab=
6×
8=24;
(2)①当两条边为直角边时,斜边为
=13;
②当一条为斜边,另一条为直角边时,另一直角边为
=
∴另一边的长为13或
本题应用勾股定理的逆定理考查直角三角形的判定.通过审题把题目中的条件进行转化,是解题的关键.
,那么PB= 7 ,∠B= 60 度,△PAB是 等边 三角形.
线段垂直平分线的性质;
等边三角形的判定。
利用线段垂直平分线的性质求出PA=PB=7,∠B=∠A=60°
,再根据直角三角形的内角和求出∠APB,从而求出三角形是直角三角形.
∵线段AB的垂直平分线是l,P是l上的一点,
∴PA=PB=7,∠B=∠A=60°
根据三角形内角和定理∠APB=180°
﹣∠B﹣∠180°
﹣60°
=60°
故△PAB是等边三角形,
故PB=7,∠B=60°
△PAB是等边三角形.
本题比较简单,考查的是线段垂直平分线的性质,等腰及等边三角形的判定,属常见题目.
6.(5分)如图,已知点A(2,0),B(0,4),△AOB与△BOC全等,则点C的坐标是 (﹣2,0),(2,4),(﹣2,4) .
坐标与图形性质;
全等三角形的性质。
已知点A(2,0),B(0,4),△AOB与△BOC全等,由全等三角形的性质分析点C的位置.点C在X轴时,坐标为(2,0),点C在第一象限时,坐标为(2,4),点C在第二象限时,坐标为(﹣
).
如图,由题可知,B点的位置可能在x轴、第一象限、第二象限.因为△AOB与△BOC全等,所以(﹣2,0),(2,4),(﹣
故填(﹣2,0),(2,4),(﹣
本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质;
同时考查了数形结合思想,题目的条件既有数又有形,解决问题的方法也要既依托数也依托形,体现了数形的紧密结合,本题对学生能力的要求很高.
7.(5分)如图,点F、C在线段BE上,且∠1=∠2,BC=EF,若要使△ABC≌△DEF,则还须补充一个条件 AC=DF .(只要填一个)
全等三角形的判定。
专题:
开放型。
要使△ABC≌△DEF,已知∠1=∠2,BC=EF,添加边的话应添加对应边,符合SAS来判定.
补充AC=DF.
∵∠1=∠2,BC=EF,AC=DF
∴△ABC≌△DEF,
故填AC=DF.
本题考查三角形全等的判定方法;
判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健.
如图,P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,∠APQ= 60 度,∠B= 30 度,∠BAC= 120 度.
等边三角形的性质;
三角形内角和定理;
三角形的外角性质;
等腰三角形的性质。
几何图形问题。
由题可知△APQ是等边三角形,然后根据其三个角均为60°
和已知条件求解.
∵PQ=AP=AQ
∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°
.∵BP=QC=AP=AQ
∴∠B=∠BAP=30°
,∠C=∠CAQ=30°
∴∠BAC=120°
故填60、30、120.
此题主要是发现一个等边三角形,再进一步根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质进行计算.
”,假设为 三个内角都小于60°
反证法。
熟记反证法的步骤,直接填空即可.
用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°
”时,应先假设在一个三角形中,三个内角都小于60°
本题结合角的比较考查反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.
SSS、SAS、ASA、AAS、HL,对比选项进行分析.
A、只有两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时,才能成立;
B、30°
角没有对应关系,不能成立;
C、如果这个角是直角,此时就不成立了;
D、符合全等三角形的判断方法:
AAS或者ASA.
故选D.
本题要求对全等三角形的几种判断方法熟练运用,会对特殊三角形全等进行分析判断.
本题可先根据三角形三边关系,确定等腰三角形的腰和底的长,然后再计算三角形的周长.
当腰长为4时,则三角形的三边长为:
4、4、9;
∵4+4<9,∴不能构成三角形;
因此这个等腰三角形的腰长为9,则其周长=9+9+4=22.
故本题选B.
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;
对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
角平分线的定义。
根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求∠BOC与∠A的关系即可.
﹣(∠OBC+∠OCB)=180°
(∠ABC+∠ACB)=180°
(180°
﹣∠A)=90°
∠A.
故选C.
此题主要是根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义进行推导.
已知∠A=50°
,AB=AC可得∠ABC=∠ACB,再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A,易求∠DBC.
解已知,∠A=50°
,AB=AC⇒∠ABC=∠ACB=65°
又∵DE垂直且平分AB⇒DB=AD
∴∠ABD=∠A=50°
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°
=15°
故选A.
本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质.难度一般.考生主要了解线段垂直平分线的性质即可求解.
勾股定理的应用;
方向角。
应用题。
根据题意画出图形,再根据勾股定理解答即可.
在Rt△DAB中,
∵∠DAB=30°
,AB=100,
∴DB=50,
勾股定理得,DA=50
在Rt△DCA中,
∵BC=200,DB=50,
∴DC=150,
∵DA=50
∴勾股定理得,AC=100
故选B.
此题主要考查学生对方向角及勾股定理在实际生活中的运用.
(1)连接 MN ;
作 MN 垂直平分线CD;
(2)作∠AOB的 角平分线 OE与CD交于点 P ,所以点 P 就是要找的点.
作图—基本作图。
∵点P到∠AOB两边距离相等,到点M、N的距离也相等,∴点P既在∠AOB的角平分线上又在MN垂直平分线上,即∠AOB的角平分线和MN垂直平分线的交点处即为点P.
如图,
故答案为:
(1)MN,MN,
(2)角平分线,P,P.
主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法.这些基本作图要熟练掌握,注意保留作图痕迹.
勾股定理的证明。
操作型。
可拼一个直角梯形,使其一腰长为a+b,上底为a,下底为b,图
(2)放在中间适当的位置.
如图:
梯形的面积=
(a+b)(a+b)=2×
ab+
c2,
整理得a2+b2=c2.
此题考查的是勾股定理的证明,从拼图可获得证明过程.
证明题。
充分理解题意,利用等腰三角形的性质,要根据题意画图,添加辅助线来证明结论.
已知:
△ABC中,AB=AC.
求证:
∠B=∠C.
证明:
如图,过D作BC⊥AD,垂足为点D
∵AB=AC,AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴∠B=∠C.
本题考查了的三角形的性质;
添加辅助线利用三角形全等证明是正确解答本题的关键.
全等三角形的判定与性质。
证明题;
根据全等三角形的判定定理,选择符合条件的SAS,AAS,ASA,SSS,来选择条件和结论.
如图,点A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,∠B=∠D,AD∥BC,
AD=BC.
证明如下:
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA.
∵AE=CF,
∴AF=CE.
又∵∠B=∠D,
∴△ADF≌△CBE(AAS).
∴AD=BC.
本题重点考查了三角形全等的判定定理.这是一道考查三角形全等的开放性题目,答案可有多种.
解直角三角形。
分类讨论。
本题中要注意说明了内角为30°
,但并未说明是顶角还是底角,因此要分情况讨论.
分两种情况讨论:
(1)底角为30°
,设底边上的高为x,得出4x2=x2+102,解方程得x=
;
(2)顶角为30°
,那么底角就是75°
,如图,在底边上的高AD上取一点E使AE=EB,那么
∠BAE=∠EBA=15°
,∠BED=30°
,BD=10,
因此DE=BD•tan60°
=10
BE=BD÷
sin30°
=20
因此,AD=AE+DE=BE+DE=20+10
答:
底边上的高是
或20+10
本题中要分两种情况进行讨论,要注意当顶角为30°
时,可通过作辅助线,把所求线段转换到含特殊角的直角三角形中进行计算.
勾股定理;
直角三角形全等的判定;
角平分线的性质。
计算题;
(1)根据角平分线的性质可知CD=DE=4cm,由于∠C=90°
,故∠B=∠BDE=45°
,△BDE是等腰直角三角形,由勾股定理得可得BD,AC的值.
(2)由
(1)可知:
△ACD≌△AED,AC=AE,BE=DE=CD,故AB=AE+BE=AC+CD.
(1)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DE=CD=4cm,
又∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC,
又∵∠C=90°
∴∠B=∠BDE=45°
∴BE=DE=4cm.
在等腰直角三角形BDE中,由勾股定理得,BD=
cm,
∴AC=BC=CD+BD=4+
(cm).
(2)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴∠ADE=∠ADC,
∴AC=AE,
又∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
本题考查的是角平分线的性质,等腰直角三角形的性质,比较简单.
a= n2﹣1 ,b= 2n ,c= n2+1 ;
列代数式。
(1)结合表中的数据,观察a,b,c与n之间的关系,可直接写出答案;
(2)分别求出a2+b2,c2,比较即可.
(1)由题意有:
n2﹣1,2n,n2+1;
(2)猜想为:
以a,b,c为边的三角形
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- 第1章 证明二 单元复习题3 证明 单元 复习题
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