导数及其应用大题精选.docx
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导数及其应用大题精选
导数及其应用大题精选
姓名级号数
K
1•已知函数f(x)ax—C(a0)的图象在点(1,f
(1))处的切线方程为yx1.
x
(1)用a表示出—,c;
(2)若f(x)Inx在[1,+g)上恒成立,求a的取值范围.
2•已知a2,函数f(x)(x2axa)ex
(1)当a1时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)的极大值是6e2,求a的值.
1x
3•已知函数f(x)In(ax1),x0,其中a0
1x
若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
求f(x)的单调区间;
(川)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
4•已知函数f(x)xlnx.
(I)求f(x)的单调区间;
(n)当k1时,求证:
f(x)kx1恒成立.
5•已知函数f(x)lnxa,其中aR.
x
(I)当a2时,求函数f(x)的图象在点(1,f
(1))处的切线方程;
(n)如果对于任意x(1,),都有f(x)x2,求a的取值范围.
6•已知函数f(x)ax241nx,aR.
1
(I)当a—时,求曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;2
(n)讨论f(x)的单调性.
7.已知函数f(x)ex(x1).
(I)求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(n)若对于任意的x(,0),都有f(x)k,求k的取值范围
8.已知函数f(x)x33ax2a,(aR).
(I)求f(x)的单调区间;
(n)曲线yf(x)与x轴有且只有一个公共点,求a的取值范围
22
9.已知函数f(x)x2alnx(a0).
(I)若f(x)在x1处取得极值,求实数a的值;
(n)求函数f(x)的单调区间;
(川)若f(x)在[1,e]上没有零点,求实数a的取值范围.
10.已知曲线f(x)axex(a0).
(I)求曲线在点(0,f(0))处的切线;
(n)若存在实数x0使得f(x°)0,求a的取值范围
导数及其应用大题精选参考答案
解得b_a-1,
c=1—2a.
bf1=a+b+c=0
1.解:
⑴f,(X)=a-X2,则有f,1=a-b=1,
a—1
⑵由
(1)知,f(x)=ax+p+1-2a.z\.
2.
因此咚戟卫的值为一瓷
f(x)在X=1处取得极值,•••f'(i)0,即agl2a20,解得a1.
2
(n)f'(x)
axa2
(ax1)(1x)2
•/x0,a0,•ax10.
①当a2时,在区间(0,)上,f'(x)0,•f(x)的单调增区间为(0,).
②当0a2时,
(川)当a2时,由(n)①知,f(x)的最小值为f(0)1;
当0a
2时,由(n)②知,
f(x)在x
J2a处取得最小值f(j2a)f^)〔,
综上可知,若f(x)得最小值为1,则a的取值范围是[2,).
4.解:
(I)定义域为0,,f'(x)Inx1
1
令f'(x)0,得x-
e
f'(x)与f(x)的情况如下:
x
(0,1)
e
-e
(1,)e
f'(x)
0
f(x)
极小值
/
11
所以f(x)的单调减区间为(0,-),单调增区间为(-,)
ee
(n)证明1:
设g(x)
Inx
g'(x)
11x1
—~2~
XXx
g'(x)与g(x)的情况如下
x
(0,1)
1
(1,)
f'(x)
0
f(x)
极小值
/
所以g(x)g
(1)1,即
1
Inx1在x0时恒成立,x
1
所以,当k1时,Inx—k,
x
所以xlnx1kx,即xlnxkx1,
所以,当k1时,有f(x)kx1
证明2:
令g(x)f(x)(kx1)xlnxkx1
g'(x)Inx1k
令g'(x)0,得xek1
g'(x)与g(x)的情况如下
x
/ck1、
(0,e)
k1e
k1(e,
)
f'(x)
0
f(x)
极小值
/
g(x)的最小值为g(ek1)1ek1
k1,/k1小
当k1时,e1,所以1e0
故g(x)o
即当k1时,f(x)kx1
212
5.(I)解:
由f(x)Inx,得f(x)2,
xxx
所以f
(1)3,又因为f
(1)2,
所以函数f(x)的图象在点(1,f
(1))处的切线方程为3xy50
(n)解:
由f(x)x2,得Inxax2,
x
即axInxx2x
设函数g(x)xlnxx22x,
贝Ug(x)Inx2x1,
因为x(1,),所以Inx0,2x10,
所以当x(1,)时,g(x)Inx2x10,
故函数g(x)在x(1,)上单调递增,
所以当x(1,)时,g(x)g
(1)1
因为对于任意x(1,),都有f(x)x2成立,
所以对于任意x(1,),都有ag(x)成立.
所以a<1
112
6.解:
(I)当a时,f(x)x24Inx,x(0,),
4
所以f'(x)x,x(0,).
x
3.
3(x1).
因此,f'
(1)3.即曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为
11
又f
(1),即曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-
即6x2y70
2
(n)f'(x)2ax4细习,x(0,).
xx
x
⑵当a0时,
因为x(0,),f(x)0.所以f(x)在(0,)上单调递减•
综上,当a0时,f(x)在(0,)上单调递减
在(0,2a)上单调递减
'a
7.解:
(I)f(x)ex(x1)exex(x2)
f(0)1,f(0)2
•••曲线yf(x)在(0,f(0))处的切线方程为
y12(x0),即2xy10
(n)令f(x)0得x2,
当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表
x
(,2)
2
(2,0)
f(x)
0
f(x)
极小值
/
f(x)在(,2)上递减,在(2,0)上递增
f(x)在(,0)上的最小值是f
(2)
e2k,即ke2•k的取值范围是(,e2)
8.解:
(I)f(x)3x23a,
⑴当a0时,f(x)0恒成立,此时f(x)在(,)上是增函数,
⑵当a0时,令f(x)0,得xa;
令f(x)0,得x•、a或xa
令f(x)0,得...axa
ri
•••f(x)在(,._a)和C、a,)上是增函数,
在[,a,,a]上是减函数.5分
(n)由(I)知,
(1)当a0时,f(x)在区间(,)单调递增,所以题设成立6分
⑵当a0时,f(x)在x..a处达到极大值,在x..a处达到极小值
即:
a.,a3a,a2a0或a..a3a•.a2a011分
解得:
0a112分
由⑴
(2)可知a的取值范围是(,1)
9.解:
(I)f(x)x22a21nx(a0)的定义域为(0,
Qf(x)在x1处取得极值
f⑴0,解得a1或a-1(舍)
当a1时,x0,1,f(x)0;x1,,f(x)0,
所以a的值为1
(n)令f(x)0,解得xa或xa(舍)
当x在(0,)内变化时,f(x),fx的变化情况如下
x
(0,a)
a
(a,)
f(x)
0
f(x)
极小值
/
由上表知f(x)的单调递增区间为(a,),单调递减区间为(°,)
(川)要使
f(x)在[1,e]上没有零点,只需在[,]上f(x)min0或f(x)max0,
又f
(1)
10,只须在区间[1,e]上f(x)min0.
(i)当a
e时,f(x)在区间[1,e]上单调递减,
f(x)min
f(e)e22a20
5
0
解得
j72e
a
2与ae矛盾
(ii)当1ae时,f(x)在区间[1,a)上单调递减,在区间(a,e]上单调递增
f(x)min
f(a)a2(12Ina)0
解得°ae
所以1ae
(iii)当0
a1时,f(x)在区间[1,e]上单调递增,f(x)minf
(1)0,满足题意.
综上,a的取值范围为°ae
1°.解:
(I)因为f(0)1,所以切点为(0,-1).
f(x)aex,f(0)a1,
所以曲线在点(0,f(0))处的切线方程为:
y=(a-1)x-1
(n)因为a>0,由f(x)0得,xIna,由f(x)0得,xIna,所以函数f(x)在
(,lna)上单调递增,在(Ina,)上单调递减,所以f(x)的最大值为f(Ina)aInaa.
因为存在x。
使得f(xj0,所以aInaa0,所以ae
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