青海省西宁市高二数学下学期期中试卷-理(含解析).doc
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2016-2017学年青海省西宁高二(下)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上)
1.复数的虚部是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣2i D.2i
2.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么下面说法正确的是( )
A.在(﹣3,1)内f(x)是增函数 B.在(1,3)内f(x)是减函数
C.在(4,5)内f(x)是增函数 D.在x=2时,f(x)取得极小值
3.用反证法证明某命题时,对结论:
“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
4.的展开式的常数项是( )
A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3
5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( )
A.42 B.96 C.48 D.124
6.已知函数f(x)=xsinx,记m=f(﹣),n=f(),则下列关系正确的是( )
A.m<0<n B.0<n<m C.0<m<n D.n<m<0
7.某中学高二年级共有6个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级,且每班安排两名,则不同的安排方案种数为( )
A.A•C B.A•C
C.A•C D.2A
8.如图,正方形的四个顶点为O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1),曲线y=x2经过点B,现将一质点随机投入正方形中,则质点落在图中阴影区域的概率是( )
A. B. C. D.
9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( )
A.﹣1<a<2 B.a>2或a<﹣1 C.a≥2或a≤﹣1 D.a>1或a<﹣2
10.已知关于x的方程x2﹣2(a﹣3)x+9﹣b2=0,其中a,b都可以从集合{1,2,3,4,5,6}中任意选取,则已知
方程两根异号的概率为( )
A. B. C. D.
11.设函数f(x)=(1﹣2x)10,则导函数f′(x)的展开式x2项的系数为( )
A.1440 B.﹣1440 C.﹣2880 D.2880
12.设函数f(x),g(x)在上均可导,且f′(x)<g′(x),则当a<x<b时,有( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)<g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.请规范作答)
13.i是虚数单位,若复数z=(m2﹣1)+(m﹣1)i为纯虚数,则实数m的值为 .
14.计算:
(+)2dx.
15.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,3,4,其中c为常数,则P(ξ≥2)等于 .
16.设正三棱柱(底边为等边三角形的直棱柱)的体积为2,那么其表面积最小时,底面边长为 .
三、解答题(本题共6大题,其中第17题10分,其他每题12分,共70分:
审题要慢,答题要快;言之有理,论证有据,详略得当,工整规范)
17.已知函数f(x)=ax3+3x+2(a∈R)的一个极值点是1.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在上的最大值和最小值.
18.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:
①能组成多少个没有重复数字的七位数?
②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?
③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?
④在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?
19.在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列
(1)求展开式的常数项;
(2)求展开式中二项式系数最大的项;
(3)求展开式中各项的系数和.
20.已知a1=,且Sn=n2an(n∈N*)
(1)求a2,a3,a4;
(2)猜测{an}的通项公式,并用数学归纳法证明之.
21.甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
22.已知函数f(x)=lnx﹣
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)证明:
当x>1时,f(x)<x﹣1
(Ⅲ)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x﹣1)
2016-2017学年青海省西宁五中高二(下)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上)
1.复数的虚部是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣2i D.2i
【考点】A5:
复数代数形式的乘除运算.
【分析】化简复数z,写出它的虚部即可.
【解答】解:
复数==1﹣2i,
∴z的虚部是﹣2.
故选:
A.
2.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么下面说法正确的是( )
A.在(﹣3,1)内f(x)是增函数 B.在(1,3)内f(x)是减函数
C.在(4,5)内f(x)是增函数 D.在x=2时,f(x)取得极小值
【考点】6D:
利用导数研究函数的极值.
【分析】由图象根据导数的正负来判断函数的增减性.
【解答】解:
①在(﹣3,﹣),(2,4)上,f′(x)<0,∴f(x)是减函数,
②在(﹣,2),(4,5)上,f′(x)>0,∴f(x)是增函数,
③x=2时,取到极大值;
故选:
C.
3.用反证法证明某命题时,对结论:
“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
【考点】FC:
反证法.
【分析】“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反面是:
a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数.即可得出.
【解答】解:
用反证法证明某命题时,
对结论:
“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是:
a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数.
故选:
D.
4.的展开式的常数项是( )
A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3
【考点】DB:
二项式系数的性质.
【分析】利用二项式定理展开即可得出.
【解答】解:
=(x2+x﹣2)+…+,
∴展开式的常数项=﹣2=3.
故选:
D.
5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( )
A.42 B.96 C.48 D.124
【考点】D4:
排列及排列数公式.
【分析】方法一:
分2种情况:
(1)增加的两个新节目相连,
(2)增加的两个新节目不相连;
方法二:
7个节目的全排列为A77,两个新节目插入原节目单中后,原节目的顺序不变,故不同插法:
.
【解答】解:
方法一:
分2种情况:
(1)增加的两个新节目相连,
(2)增加的两个新节目不相连;
故不同插法的种数为A61A22+A62=42,
故选:
A.
方法二:
7个节目的全排列为A77,两个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为,
故选:
A.
6.已知函数f(x)=xsinx,记m=f(﹣),n=f(),则下列关系正确的是( )
A.m<0<n B.0<n<m C.0<m<n D.n<m<0
【考点】H5:
正弦函数的单调性;3N:
奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据条件,判断函数的奇偶性和单调性即可得到结论.
【解答】解:
∵f(x)=xsinx,
∴f(﹣x)=﹣xsin(﹣x)=xsinx=f(x),
即函数f(x)是偶函数,
∴m=f(﹣)=f()
当0时,函数y=x,单调递增,y=sinx单调递增,且此时f(x)>0,
∴此时f(x)=xsinx在0上单调递增,
∵>,
∴f()>f()>0,
即f(﹣)>f()>0,
∴0<n<m,
故选:
B
7.某中学高二年级共有6个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级,且每班安排两名,则不同的安排方案种数为( )
A.A•C B.A•C
C.A•C D.2A
【考点】D3:
计数原理的应用.
【分析】首先将4名学生均分成两组,选择完成以后要除以2,再从6个班级中选出2个班进行排列,最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数.
【解答】解:
由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题
首先将4名学生均分成两组方法数为C42,
再分配给6个班级中的2个分配方法数为A62,
∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为A62C42,
故选:
B.
8.如图,正方形的四个顶点为O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1),曲线y=x2经过点B,现将一质点随机投入正方形中,则质点落在图中阴影区域的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】CF:
几何概型.
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出图中阴影部分的面积,并将其与正方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解.
【解答】解:
由已知易得:
S正方形=1
S阴影=∫01(x2)dx=
故质点落在图中阴影区域的概率P==
故选B
9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( )
A.﹣1<a<2 B.a>2或a<﹣1 C.a≥2或a≤﹣1 D.a>1或a<﹣2
【考点】6D:
利用导数研究函数的极值.
【分析】先求出函数的导数,根据函数有极大值和极小值,可知导数为0的方程有两个不相等的实数根,通过△>0,即可求出a的范围.
【解答】解:
函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1所以函数f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),
因为函数有极大值和极小值,所以方程f′(x)=0有两个不相等的实数根,
即x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实数根,
∴△>0,
∴(2a)2﹣4×1×(a+2)>0,解得:
a<﹣1或a>2
故选:
B.
10.已知关于x的方程x2﹣2(a﹣3)x+9﹣b2=0,其中a,b都可以从集合{1,2,3,4,5,6}中任意选取,则已知
方程两根异号的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】CB:
古典概型及其概率计算公式.
【分析】关于x的方程x2﹣2(a﹣3)x+9﹣b2=0的两根异号,即△>0,9﹣b2<0,求出满足条件的(a,b)的数量,所有的(a,b)共有6×6个,二者的比值即是x2﹣2(a﹣3)x+9﹣b2=0的两根异号的概率.
【解答】解:
∵x2﹣2(a﹣3)x+9﹣b2=0的两根异号,
∴△>0,9﹣b2<0,
∴4(a﹣3)2﹣4(9﹣b2)>0,9﹣b2<0,
∴b>3或b<﹣3(舍去)
∴b=4,5,6
所有的(a,b)共有6×6=36个,而满足b>3的(a,b)共有6×3,共有18个,
所以关于x的方程x2﹣2(a﹣3)x+9﹣b2=0的两根异号的概率是:
=.
故选:
B.
11.设函数f(x)=(1﹣2x)10,则导函数f′(x)的展开式x2项的系数为( )
A.1440 B.﹣1440 C.﹣
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- 青海省 西宁市 数学 学期 期中 试卷 解析
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