方程组与不等式组知识点学生版.docx
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方程组与不等式组知识点学生版
模块二—方程(组)与不等式(组)
一、一次方程(组)及其应用
考点1等式的概念与等式的性质
概念
表示相等关系的式子,叫做等式
性质
性质一:
等式两边加(或减)同一个数或同一个整式所得的结果仍相等.如果a=b,那么a+c=b+c
性质二:
等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)所得的结果仍是等式.如果a=b,那么ac=bc,
=
(c≠0)
性质
其他性质:
传递性、对称性
考点2一元一次方程的定义及解法
定义:
只含有一个未知数,且未知数的最高次数是一次的整式方程,叫做一元一次方程
一般式:
ax+b=0(a≠0)
解一元一次方程的步骤:
(1)去分母:
在方程两边都乘各分母的最小公倍数,注意别漏乘
(2)去括号:
注意括号前的系数与符号
(3)移项:
把含有未知数的项移到方程的一边,其他项移到另一边,注意移项要改变符号
(4)合并同类项:
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
(5)系数化为1:
方程两边同除以x的系数,得x=
的形式
考点3二元一次方程组的解法
解方程组的思想是消元法,所用的方法是加减消元法、代入消元法.
二、一元二次方程及其应用
考点1一元二次方程的概念及一般形式
定义:
含有一个个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程
一般式:
ax2+bx+c=0(a≠0)
提醒:
在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax2+bx+c=0(a≠0);还要注意各项系数的符号
考点2一元二次方程的四种解法
直接开平方法:
适合于(x+a)2=b(b≥0)或(ax+b)2=(cx+d)2形式的方程
因式分解法:
思路:
把方程化成ab=0的形式,得a=0或b=0
方法:
常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法型因式分解
公式法:
(求根公式)一元二次方程ax2+bx+c=0,且b2-4ac≥0时,则x1,2=
公式法的步骤:
(1)将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;
(2)确定a,b,c的值;
(3)若b2-4ac≥0,则代入求根公式,得x1,x2,若b2-4ac<0,则方程无实数根
配方法:
通过配成完全平方的形式解一元二次方程
配方法的步骤:
①化二次项系数为1;②把常数项移到方程的另一边;③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把方程整理成(x+a)2=b的形式;⑤运用直接开平方解方程
考点3一元二次方程的根的判别式
根的判别式定义:
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac.也把它记作Δ=b2-4ac
判别式与根的关系:
(1)b2-4ac>0⇔方程有2个不相等的实数根;
(2)b2-4ac=0⇔方程有2个相等的实数根;(3)b2-4ac<0⇔方程没有实数根
防错提醒:
在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不为零这个限制条件
考点4一元二次方程的根与系数的关系
关系式:
一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=-
,x1x2=
提醒:
利用一元二次方程根与系数的关系时,要注意判别式Δ≥0
应用:
考点5一元二次方程的应用
增长率问题
(1)增长率=增量÷基础量
(2)设a为原来的量,m为增长率,b为连续两次增长后的量,则a(1+m)2=b,当m为平均下降率时,则a(1-m)2=b
利率问题:
(1)本息和=本金+利息
(2)利息=本金×利率×期数
销售利润问题:
(1)毛利润=售出价-进货价
(2)纯利润=售出价-进货价-其他费用
三、分式方程及其应用
考点1分式方程
分式方程:
分母里含有未知数的方程叫做分式方程
增根:
去分母时,有可能使原分式方程的根的取值范围扩大,因此解分式方程要验根,其方法是代入最简公分母中看其是不是为0
考点2分式方程的解法
基本思想:
把分式方程转化为整式方程,即分式方程通过去分母或换元法转化为整式方程
直接去分母法:
方程两边同乘各分式的去分母,约去分母,化为整式方程,再求根验根。
换元法:
分式方程中的某个分式进行设整式换元
考点3分式方程的应用
列分式方程解应用题的方法步骤跟列其他方程(组)解应用题方法步骤类似.值得注意的是:
在检验根时,既要检验求出来的根是否为原方程的根,又要检验是否符合题意.
四、一元一次方程(组)及其应用
考点1不等式
概念:
一般地,用不等号表示不等关系的式子叫做不等式
不等式的解:
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解
不等式的解集:
能使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合,简称解集
不等式的基本性质:
不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变
不等式两边同乘(或除以)一个正数,不等号的方向不变
不等式两边同乘(或除以)一个负数,不等号的方向改变
考点2一元一次不等式
定义:
只含有一个未知数,且未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式,其一般形式为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)
解一元一次不等式的步骤:
(1)去分母;
(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1
考点3一元一次不等式组
概念:
含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组
不等式组的解集的求法:
解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上,再求出它们的公共部分就得到不等式组的解集
不等式组的解集情况(假设
a
x>b
同大取大
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