九年级数学反证法同步测试Word文档格式.docx
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CD,AB=10,BC=3.
(1)如果M为AB上一点(如图①,且满足∠DMC=∠A,求AM的长.
(2)如果点M在AB边上移动(点M与A、B不重合),且满足∠DMN=∠A,MN交BC延长线于N(如图②),设AM=x,CN=y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.(写x的取值范围时,不写推理过程)
6.(学科间综合)(10分)如图所示,菱形ABCD的边长为24cm,∠A=60°
,质点P从点A出发沿线路AB-BD作匀速运动,质点Q从点D同时出发沿线路DC-CB-BA作匀速运动.
(1)求BD的长;
(2)质点P、Q运动的速度分别是4cm/s、5cm/s.经过12s后,P、Q分别到达M、N两点,若按角的大小进行分类,请你确定△AMN是哪一类三角形,并说明理由.
(3)设题
(2)中的质点P,Q分别从M,N同时沿原路返回,质点P的速度不变,质点Q的速度改变为acm/s.经过3s后,P、Q分别到达E、F两点,若△BEF与题
(2)中的△AMN相似,试求a的值.
7.(应用题)(6分)如图所示是一种“羊头”形图案,其作法是:
从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②′,…,依此类推,若正方形①的边长为64cm,则正方形⑦的边长为_______cm.
8.(创新情景题)(10分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图所示,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连结CC′,设AB=a,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理:
a2+b2=c2.
新课标拓展训练(满分32分)
9.(创新实践题)(10分)如图所示,B、C、E三点在一条直线上,△ABC和△DCE均为等边三角形,连结AE、DB.
(1)求证:
AE=DB;
(2)如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度,
(1)中的结论还成立吗?
10.(自主探究题)(12分)已知:
如图所示,在△ABC中,D是AB边上的一点,且BD=BC,BE⊥CD于E,交AC于点F,请再添加一个条件,使四边形DMCF是菱形,并加以证明.
11.(开放题)(10分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
DE=DF;
(2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)
理念中考题(满分16分)
12.(16分)如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,F、H分别是AB、CD的中点,FH分别交BD、AC于G、M,BD=6,ED=2,BC=10.
(1)求GM的长;
(2)若梯形ABCD是等腰梯形,求证:
△BFG≌△CHM.
答案:
1.假设三角形的三个外角中,有两个锐角.
2.D
3.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,真.
4.证明:
假设在一个三角形中,这两个角所对的边相等,那么根据等边对等角,它们所对的两个角也相等,这与已知条件相矛盾,说明假设不成立,所以在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等.
5.解:
(1)在等腰梯形ABCD中,
∵AB∥CD,
∴∠A=∠B.
又∵∠A=∠DMC,∠1+∠A+∠2=∠2+∠DMC+∠3=180°
,
∴∠1=∠3.
∴△ADM≌△BMC.
设AM=x,则
∴x2-10x+9=0,
∴x=1或x=9,经检验都是原分式方程的根.
∴AM长为1或9.
(2)同理可证△ADM∽△BMN,可得
∴y=-
x2+
x-3(1<
x<
9).
6.
(1)菱形ABCD中,AB=AD,∠A=60°
∴△ABD是等边三角形.
∴BD=24cm.
(2)△AMN是直角三角形,确定理由如下:
12s后,点P走过的路程为4×
12=48(cm),
∵AB+BD=48(cm),
∴点M与点D重合.
点Q走过的路程为5×
12=60(cm).
∵DC+CB+
AB=60(cm),
∴点N是AB的中点.
连结MN,∵AM=MB,AN=BN,
∴MN⊥AB.
∴△AMN是直角三角形.
(3)点P从M点返回3秒走过的路程为4×
3=12(cm).
∵
BD=12cm,∴点E是BD的中点.
点Q从N点返回3s走过的路程为3acm.
∵△BEF与题
(2)中的Rt△AMN相似,
又∵∠EBF=∠A=60°
①若∠BFE=∠ANM=60°
.
a:
当点F在BN上时,BF=BN-FN=12-3a.
(证法1):
∵△BEF∽△AMN,
∴
解得a=2.
(证法2):
在Rt△BEF中,∠BEF=30°
∴BF=
BE.∴12-3a=
×
12.
b:
当点F在BC上时,BF=3a-BN=3a-12.
解得a=6.
(证法2)在Rt△BEF中,∠BEF=30°
∴BF=
BE.∴3a-12=
②若∠BEF=∠ANM=90°
,即点F与点C重合,
此时3a=BN+BC=36.
∴a=12.
综上所述,a=2或6或12.
7.8
8.∵四边形BCC′D′为直角梯形,
∴S梯形BCC‘D’=
(BC+C′D′)·
BD′=
∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′,
∴∠BAC=∠B′AC′.
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°
∴S梯形BCC‘D’=S△ABC+S△CAC‘+S△D’AC‘=
ab+
c2+
ab=
=
∴a2+b2=c2.
9.
(1)证△BCD≌△ACE即可;
(2)如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度,
(1)中的结论仍成立.
10.添加条件DM∥AC(或ME=EF,DM=DF,DM=CF等均可).
证明:
如图所示,在△ABC中,BD=BC,BE⊥CD,则DE=CE.
∵DM∥AC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴△DME≌△CFE,
∴DM=CF.
∴四边形DMCF是平行四边形.
又∵BF⊥CD,
DMCF是菱形.
11.
(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又∵DB=DC,
∴△DEB≌△DFC.
∴DE=DF.
(2)∠A=90°
,四边形AFDE是平行四边形等.(方法很多,如∠B=45°
或BC=
AB或DE⊥DF或F为F为AC中点或DF∥AB等).12.解:
(1)∵F、H为AB、CD的中点,
∴AD∥FH∥BC.
∴△AED∽△CEB.
,∴
∴AD=5.
又∵△AED∽△MEC,∴
,∴MG=
(或2.5).
(2)∵等腰梯形ABCD中F、H分别是AB、CD的中点,
∴BF=CH,∠BAD=∠CDA,FH∥AD.
∴∠BFG=∠CHM.
∴FG=HM=
AD.
∴△BFG≌△CHM.
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