高中数学第一章计数原理11第2课时计数原理的综合应用学案新人教A选修230319462Word文档下载推荐.docx
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解析:
选B.根据0的位置进行分类:
第一类,0在个位有2110,1210,1120,共3个;
第二类,0在十位有2101,1201,1102,共3个;
第三类,0在百位有2011,1021,1012,共3个,故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9.
2.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有( )
A.120个B.80个
C.40个D.20个
选C.当十位数字为3时,个位数字和百位数字只能取1,2,能组成2个“伞数”;
当十位数字为4时,个位数字和百位数字能取1,2,3,能组成3×
2=6个“伞数”;
当十位数字为5时,个位数字和百位数字能取1,2,3,4,能组成4×
3=12个“伞数”;
当十位数字为6时,个位数字和百位数字能取1,2,3,4,5,能组成5×
4=20个“伞数”,所以共能组成2+6+12+20=40个“伞数”.
探究点2 选(抽)取与分配问题
高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( )
A.16种 B.18种
C.37种D.48种
【解析】 法一:
(直接法)
以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类:
第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况;
第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的一个班级去另外三个工厂,其分配方案共有3×
3=9种;
第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有3×
3=27种.
综上所述,不同的分配方案有1+9+27=37种.
法二:
(间接法)
先计算3个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即:
4×
4-3×
3=37种方案.
【答案】 C
解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.
(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法:
去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛,如果每班每项限报1人,则这3名学生的参赛的不同方法有( )
A.24种B.48种
C.64种D.81种
选A.由于每班每项限报1人,故当前面的学生选了某项之后,后面的学生不能再报,由分步乘法计数原理,共有4×
2=24种不同的参赛方法.
探究点3 涂色(种植)问题
(1)如图,要给地图上A、B、C、D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
(2)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,求有多少种不同的种植方法.
【解】
(1)法一:
按A→B→C→D的顺序分步涂色.
第一步:
涂A区域,有4种不同的涂法;
第二步:
涂B区域,从剩下的3种颜色中任选1种颜色,有3种不同的涂法;
第三步:
涂C区域,再从剩下的2种不同颜色中任选1种颜色,有2种不同的涂法;
第四步:
涂D区域,从与B、C区域不同的2种不同颜色中任选1种,有2种不同的涂法.
根据分步乘法计数原理,共有4×
2=48(种)不同的涂法.
按所用颜色的多少分类涂色.
第一类:
用三种颜色,有4×
(3×
1×
1)=24(种)不同的涂法;
第二类:
用四种颜色,有4×
1=24(种)不同的涂法.
根据分类加法计数原理,共有24+24=48(种)不同的涂法.
(2)分别用a、b、c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c.
(i)若第三块田放c:
a
b
c
第四、五块田分别有2种方法,共有2×
2=4种方法.
(ii)若第三块田放a:
第四块有b或c两种方法:
①若第四块放c:
第五块有2种方法;
②若第四块放b:
第五块只能种作物c,共1种方法.
综上,共有3×
(2×
2+2+1)=42种方法.
解决涂色(种植)问题的一般思路
涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法:
(1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析.
(2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析.
(3)将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题.
种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数.或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数.
从五种不同的颜色中选出若干种涂在如图所示的①②③④各部分,若要求相邻的部分颜色不同,则不同的涂法共有多少种?
依题意,可分两类情况:
①④不同色;
①④同色.
①④不同色,则①②③④所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成4步来完成.
第一步涂①,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;
第二步涂②,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;
第三步涂③与第四步涂④时,分别有3种涂法和2种涂法.
于是由分步乘法计数原理可得不同的涂法为5×
2=120(种).
①④同色,则①②③不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.
第一步涂①④,有5种涂法;
第二步涂②,有4种涂法;
第三步涂③,有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得不同的涂法有5×
3=60(种).
综上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(种).
1.(2018·
苏州模拟)有A、B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床,不同的选派方法有( )
A.6种 B.5种
C.4种D.3种
选C.若选甲、乙二人,可以甲操作A种车床,乙操作B种车床,或甲操作B种车床,乙操作A种车床,共有2种选派方法;
若选甲、丙二人,则只有甲操作B种车床,丙操作A种车床这一种选派方法;
若选乙、丙二人,则只有乙操作B种车床,丙操作A种车床这一种选派方法.
故共有2+1+1=4(种)不同的选派方法.故选C.
2.用0,1,…,9这10个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243B.252
C.261D.648
选B.0,1,2,…,9共能组成9×
10×
10=900个三位数,其中无重复数字的三位数有9×
9×
8=648个,所以有重复数字的三位数有900-648=252个.
3.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为( )
A.84B.72
C.64D.56
选A.分两种情况:
①当A,C同色时,A有4种选法,D有3种选法,B也有3种选法,共有4×
3=36(种)涂色方法;
②当A,C不同色时,A有4种选法,C有3种选法,B有2种选法,D也有2种选法,共有4×
2=48(种)涂色方法.由分类加法计数原理知总的涂色方法种数为36+48=84.
4.从1到200的自然数中,各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个?
一位数中除8外符合要求的有8个;
两位数中,十位上数字除0和8外有8种情况,而个位数字除8外,有9种情况,有8×
9个符合要求;
第三类:
三位数中,百位上数字是1的,十位和个位上数字除8外均有9种情况,有9×
9个,而百位上数字是2的只有200符合.
所以总共有8+8×
9+9×
9+1=162(个).
知识结构
深化拓展
解决较为复杂的计数问题综合应用
合理分类,准确分步:
1.处理计数问题,应扣紧两个原理,根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”,要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.
2.分类时要满足两个条件:
(1)类与类之间要互斥(保证不重复);
(2)总数要完备(保证不遗漏),也就是要确定一个合理的分类标准.
3.分步时应按事件发生的连贯过程进行分析,必须做到步与步之间互相独立,互不干扰,并确保连续性.
特殊优先,一般在后:
解含有特殊元素、特殊位置的计数问题,一般应先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置,体现出解题过程中的主次思想.
[A 基础达标]
1.把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有( )
A.24种 B.4种
C.43种D.34种
选C.第1封信投到信箱中有4种投法;
第2封信投到信箱中也有4种投法;
第3封信投到信箱中也有4种投法,只要把这3封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种方法.
2.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( )
A.512个B.192个
C.240个D.108个
选D.能被5整除的四位数,可分为两类:
一类是末位为0,由分步乘法计数原理,共有5×
3=60个.
另一类是末位为5,由分步乘法计数原理共有4×
3=48个.由分类加法计数原理得所求的四位数共有60+48=108个.
3.(2018·
福建厦门模拟)集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )
A.9B.14
C.15D.21
选B.因为P={x,1},Q={y,1,2},且P⊆Q,
所以x∈{y,2}.
所以当x=2时,y=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况;
当x=y时,x=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况;
共有7+7=14种情况.即这样的点的个数为14.
4.(2018·
福建漳州长泰一中高二下学期期中)从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个,其中一个作为底数,另一个作为真数,则可以得到不同对数值的个数为( )
A.64B.56
C.53D.51
选C.由于1只能作为真数,则以1为真数,从其余各数中任取一数为底数,对数值均为0.从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数,共能组成8×
7=56(个)对数式,其中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,重复了4次,所以得到不同对数值的个数为1+56-4=53.故选C.
5.(2018·
湖北八校联考)某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有位车主上网自编号码,第一个号码(从左到右)想在数字3、5、6、8、9中选择,其他号码想在1、3、6、9中选择,则他的车牌号码的所有可能情况有( )
A.180种B.360种
C.720种D.960种
选D.按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二个号码有3种选法,其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码的所有可能情况有5×
4=960(种).
6.从集合{1,2,3,…,11}中任选2个元素作为椭圆方程
+
=1中的m和n,则落在矩形区域B={(x,y)||x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为________.
根据题意,知当m=1时,n可等于2,3,…,8,共对应7个不同的椭圆;
当m=2时,n可以等于1,3,…,8,共对应7个不同的椭圆.同理可得,当m=3,4,5,6,7,8时,各分别对应7个不同的椭圆;
当m=9时,n可以等于1,2,…,8,共对应8个不同的椭圆;
当m=10时,共对应8个不同的椭圆.综上所述,对应的椭圆共有7×
8+8×
2=72(个).
答案:
72
7.甲、乙、丙3个班各有3,5,2名三好学生,现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会,共有________种推选方法.
分为三类:
①甲班选1名,乙班选1名,根据分步乘法计数原理,有3×
5=15(种)选法;
②甲班选1名,丙班选1名,根据分步乘法计数原理,有3×
2=6(种)选法;
③乙班选1名,丙班选1名,根据分步乘法计数原理,有5×
2=10(种)选法.综上,根据分类加法计数原理,共有15+6+10=31(种)推选方法.
31
8.甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军,且每门学科只有1名冠军产生,则有________种不同的冠军获得情况.
可先举例说出其中的一种情况,如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙,可见研究的对象是“3门学科”,只有3门学科各产生1名冠军,才算完成了这件事,而4名同学不一定每人都能获得冠军,故完成这件事分三步:
第1步,产生第1个学科冠军,它一定被其中1名同学获得,有4种不同的获得情况;
第2步,产生第2个学科冠军,因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军,所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺,有4种不同的获得情况;
第3步,同理,产生第3个学科冠军,也有4种不同的获得情况.
由分步乘法计数原理知,共有4×
4=43=64种不同的冠军获得情况.
64
9.有三项体育运动项目,每个项目均设冠军和亚军各一名奖项.
(1)学生甲参加了这三个运动项目,但只获得一个奖项,学生甲获奖的不同情况有多少种?
(2)有4名学生参加了这三个运动项目,若一个学生可以获得多项冠军,那么各项冠军获得者的不同情况有多少种?
(1)三个运动项目,共有六个奖项,由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个.
所以甲有6种不同的获奖情况.
(2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有4种不同的情况,故各项冠军获得者的不同情况有4×
4=64(种).
10.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.
(1)43251是这个数列的第几项?
(2)这个数列的第96项是多少?
将由1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数按万位数字分类,共五类,每类组成的数字数为:
1=24个.
(1)万位数字为4,且比43251小的数的个数有:
1+3×
1+2+1=15个,所以43251是这个数列的第3×
24+15+1=88项.
(2)因为96=4×
24,所以这个数列的第96项是45321.
[B 能力提升]
11.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有( )
A.24种B.18种
C.12种D.6种
选B.法一:
(直接法)若黄瓜种在第一块土地上,则有3×
1=6种不同的种植方法.同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×
1=6种不同的种植方法.故共有6×
3=18种不同的种植方法.
(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上,有4×
2=24种方法,其中不种黄瓜有3×
1=6种方法,故共有24-6=18种不同的种植方法.
12.(2018·
内蒙古包头一中月考)如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有________种.
由题意,由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,可分步进行,区域A有5种涂法B有4种涂法,C有3种涂法,D有3种涂法,所以共有5×
3=180(种)不同的涂色方案.
180
13.(2018·
长沙模拟)用1,2,3,4四个数字可重复的排成三位数,并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项;
(2)若an=341,求项数n.
(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133;
(2)比an=341小的数有两类:
①首位是1或2:
1
×
2
3
②首位是3:
故共有:
4+1×
4=44(项).因此an=341是该数列的第45项,即n=45.
14.(选做题)用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在①,②,③,④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.
(1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同方法?
(2)若为乙着色时共有120种不同方法,求n的值.
完成着色这件事,共分四个步骤,可依次考虑为①,②,③,④着色时各自的方法数,再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数.
(1)为①着色有6种方法,为②着色有5种方法,为③着色有4种方法,为④着色也有4种方法.所以共有着色方法6×
4=480种.
(2)与
(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3).由n(n-1)(n-2)(n-3)=120,
所以(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0.
即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×
10=0.
所以n2-3n-10=0.所以n=5.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;
读太阳,读出了它普照万物的无私;
读春雨,读出了它润物无声的柔情。
读大海,读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;
幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获.
幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;
幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;
幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩:
从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;
从归雁的行列中,我读出了集体的力量;
从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;
从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;
从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。
鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。
矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。
蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。
航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。
井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。
笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。
山中的石!
当你背靠群峰时,意志就坚了。
水中的萍!
当你随波逐流后,根基就没了。
空中的鸟!
当你展翅蓝天中,宇宙就大了。
空中的雁!
当你离开队伍时,危险就大了。
地下的煤!
你燃烧自己后,贡献就大了
6、朋友是什么?
朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;
朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;
朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。
一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。
一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;
青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血;
青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;
青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
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