离散数学习题答案 2Word格式.docx
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(4)(pq)q解:
因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:
p0(pq)1q0q0成真赋值有:
01,10,11。
所以公式的习题二及答案:
(P38)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:
(2)(pq)(qr)解:
原式(pq)qr(pp)qrqr,此即公式的主析取范式,mm(pqr)(pqr)37所以成真赋值为011,111。
*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值:
(2)(pq)(pr)解:
原式,此即公式的主合取范式,M(ppr)(pqr)(pqr)4所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式:
(1)(pq)r解:
原式pq(rr)((pp)(qq)r)(pqr)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)r(pqr(pqr)(pq)r(pq)r(pq)r(pqr,此即主析取范式。
mmmmm13567主析取范式中没出现的极小项为,,,所以主合取范式中含有三个极大项,,MMmmm02024,故原式的主合取范式。
MMMM40249、用真值表法求下面公式的主析取范式:
(1)(pq)(pr)解:
公式的真值表如下:
pppqprqr(pq)(pr)00010000011011010110101111111000101101010111001011110101由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式,故主析取范式mmmmmmm1234567习题三及答案:
(P52-54)11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提:
pq,qr,rs,p结论:
s证明:
①p前提引入②前提引入pq③q①②析取三段论④前提引入qr⑤r③④析取三段论rs⑥前提引入⑦s⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理:
(2)前提:
(pq)(rs),(st)u结论:
pu证明:
用附加前提证明法。
①p附加前提引入
②①附加pq③前提引入(pq)(rs)rs④②③假言推理⑤s④化简⑥⑤附加st⑦前提引入(st)u⑧u⑥⑦假言推理故推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:
rs
(1)前提:
,,pqrq结论:
p证明:
用归谬法①p结论的否定引入②前提引入pq③①②假言推理q④前提引入rq⑤③④析取三段论rrs⑥前提引入⑦r⑥化简⑧⑤⑦合取rr由于,所以推理正确。
rr017、在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开,A就是谋杀嫌犯。
A曾到过受害者房间。
如果A在11点以前离开,看门人会看见他。
看门人没有看见他。
所以,A是谋杀嫌犯。
解:
A到过受害者房间,q:
A在11点以前离开,r:
A是谋杀嫌犯,s:
看门人看见过A。
s则前提:
,,,pqs(pq)r结论:
r证明:
①前提引入qss②前提引入③①②拒取式q④前提引入p
⑤③④合取引入pq⑥前提引入(pq)r⑦⑤⑥假言推理r习题四及答案:
(P65-67)5、在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(2)有的火车比有的汽车快。
设F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y快;
则命题符号化的结果是:
xy(F(x)G(y)H(x,y))(3)不存在比所有火车都快的汽车。
方法一:
设F(x):
x是汽车,G(y):
y是火车,H(x,y):
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)y(G(y)H(x,y)))或方法二:
x(G(x)y(F(y)H(x,y)))xy(G(x)(F(y)H(x,y)))或9、给定解释I如下:
(a)个体域为实数集合R。
a0(b)特定元素。
f(x,y)xy,x,yR(c)函数。
F(x,y):
xy,G(x,y):
xy,x,yR(d)谓词。
给出以下公式在I下的解释,并指出它们的真值:
xy(F(f(x,y),a)G(x,y))
(2)xy(xy0xy)解:
解释是:
,含义是:
对于任意的实数x,y,若x-y=0则x<
y。
该公式在I解释下的真值为假。
14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式:
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))
(1)I解:
取解释如下:
个体域为全总个体域,F(x)H(x,y)G(y):
x是兔子,:
y是乌龟,:
x比y跑得快,则该公式在解释I下真值是1;
'
'
IIH(x,y)取解释如下:
:
x比y跑得慢,其它同上,则该公式在解释下真值是0;
故公式
(1)既不是永真式也不是矛盾式。
此题答案不唯一,只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。
习题五及答案:
(P79-81)5、给定解释I如下:
(a)个体域D={3,4}f(x):
f(3)4,f(4)3(b)F(x,y):
F(3,3)F(4,4)0,F(3,4)F(4,3)1(c)试求下列公式在I下的真值:
xyF(x,y)
(1)解:
先消去存在量词xyF(x,y)x(F(x,3)F(x,4))(F(3,3)F(3,4)F)((4F,3)(01)(10)115、在自然推理系统中,构造下面推理的证明:
N(3)前提:
,x(F(x)G(x))xG(x)结论:
xF(x)证明:
①前提引入xG(x)②①置换xG(x)③②UI规则G(c)④前提引入x(F(x)G(x))⑤④UI规则F(c)G(c)⑥③⑤析取三段论F(c)⑦⑥EG规则xF(x)
*22、在自然推理系统中,构造下面推理的证明:
N
(2)凡大学生都是勤奋的。
王晓山不勤奋。
所以王晓山不是大学生。
x为大学生,G(x):
x是勤奋的,c:
王晓山则前提:
,x(F(x)G(x))G(c)结论:
F(c)证明:
①前提引入x(F(x)G(x))②①UI规则F(c)G(c)③前提引入G(c)④②③拒取式F(c)25、在自然推理系统中,构造下面推理的证明:
N每个科学工作者都是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。
王大海是科学工作者,并且是聪明的。
所以,王大海在他的事业中将获得成功。
(个体域为人类集合)解:
x是科学工作者,G(x):
x是刻苦钻研的,H(x):
x是聪明的,I(x):
x在他的事业中获得成功,c:
王大海则前提:
,,x(F(x)G(x))x(G(x)H(x)I(x))F(c)H(c)结论:
I(c)证明:
①前提引入F(c)H(c)②①化简F(c)③①化简H(c)④前提引入x(F(x)G(x))⑤④UI规则F(c)G(c)⑥②⑤假言推理G(c)⑦③⑥合取引入G(c)H(c)⑧前提引入x(G(x)H(x)I(x))
⑨⑧UI规则G(c)H(c)I(c)⑩⑦⑨假言推理I(c)习题六及答案(P99-100)28、化简下述集合公式:
((AB)C)((AB)C)((AB)C)((AB)C)(3)((AB)C)((AB)C)((AB)C)((AB)C)解:
(AB)(AB)A30、设A,B,C代表任意集合,试判断下面命题的真假。
如果为真,给出证明;
如果为假,给出反例。
(AB)AB(6)(AB)ABABABBA,如果,则解:
该命题为假,,否则BABBAB,故为假。
(AB)A{3}BA{1,2},B{1,3},举反例如下:
则。
ABACBC(8)ABAC一定成立,解:
该命题为假,举反例如下:
如果B,C都是A的子集,则B{1}C{2}1,2}A{ABACABC但不一定成立,例如:
,则,,,BC但。
33、证明集合恒等式:
A(BA)BA
(1)A(BA)证明:
(AB)(AA)(AB)BAAB
习题七及答案:
(P132-135)A1,2,3,4,5,626设,R为A上的关系,R的关系图如图7.13所示:
23
(1)求的集合表达式;
R,R
(2)求r(R),s(R),t(R)的集合表达式。
解:
(1)由R的关系图可得R1,5,2,5,3,1,3,3,4,5232所以,,RRR3,1,3,3,3,5RRR3,1,3,3,3,5n可得;
R3,1,3,3,3,5,当n>
=2
(2),r(R)=RI1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6A1s(R)RR1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4232t(R)RRR...RR1,5,2,5,3,1,3,3,3,5,4,541、设A={1,2,3,4},R为AAa,b,c,dAA上的二元关系,,a,bRc,dabcd
(1)证明R为等价关系;
(2)求R导出的划分。
(1)只需证明R具有自反性、对称性和传递性即可,证明过程如下:
a,bAAa,bRa,babab(a)任取,有,,所以R具有自反性;
a,b,c,dAAa,bRc,d(b)任取,若,c,dRa,babcdcdab则有,,,所以R具有对称性;
a,b,c,d,e,fAAa,bRc,dc,dRe,f(c)任取,若且,cdefabefa,bRe,fabcd则有且,,,所以R具有传递性,AA综合(a)(b)(c)可知:
R为集合上的等价关系;
AA
(2)先求出集合的结果:
AA{1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4}AA再分别求集合各元素的等价类,结果如下:
[1,1]{1,1},R[1,2][2,1]{1,2,2,1},RR
[1,3][2,2][3,1]{1,3,2,2,3,1},RRR[1,4][2,3][3,2][4,1]{1,4,2,3,3,2,4,1},RRRR[2,4][3,3][4,2]{2,4,3,3,4,2},RRR[3,4][4,3]{3,4,4,3},RR[4,4]{4,4}。
RA/RA/R等价关系R导出的划分就是集合A关于R的商集,而集合A关于R的商集是由R的所有等价类作为元素构成的集合,所以等价关系R导出的划分是:
{{1,1},{1,2,2,1},{1,3,2,2,3,1},{1,4,2,3,3,2,4,1},{2,4,3,3,4,2},{3,4,4,3},{4,4}}A,R46、分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。
(1)Ra,d,a,c,a,b,a,e,b,e,c,e,d,eIA解:
哈斯图如下:
ebcdfaA的极大元为e、f,极小元为a、f;
A的最大元和最小元都不存在。
A1,2,3,4*22、给定,A上的关系,试R1,3,1,4,2,3,2,4,3,4
(1)画出R的关系图;
(2)说明R的性质。
(1)12●●●●34
(2)R的关系图中每个顶点都没有自环,所以R是反自反的,不是自反的;
R的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边,故R是反对称的,不是对
称的;
R的关系图中没有发生顶点x到顶点y有边、顶点y到顶点z有边,但顶点x到顶点z没有边的情况,故R是传递的。
A,R和B,S*48、设为偏序集,在集合上定义关系T如下:
ABa,b,a,bAB,1122a,bTa,baRabSb证明T为上的偏序关系。
AB证明:
(1)自反性:
任取a,bAB,则:
11R为偏序关系,具有自反性,aRa11S为偏序关系,具有自反性,bSb11aRabSb1111又a,bTa,baRabSb,a,bTa,b,故T具有自反性1111
(2)反对称性:
任取a,b,a,bAB,若a,bTa,b且a,bTa,b,则有:
1aRabSb
(1)1212aRabSb
(2)2121aRaaRa,又R为偏序关系,具有反对称性,所以aa122112bSbbSb,又S为偏序关系,具有反对称性,所以bb122112a,ba,b,故T具有反对称性1122(3)传递性:
任取a,b,a,b,a,bAB,若a,bTa,b且a,bTa,b,则有:
222233a,bTa,baRabSba,bTa,baRabSbaRaaRa,又R为偏序关系,具有传递性,所以aRa122313bSbbSb,又S为偏序关系,具有传递性,所以bSb122313aRabSba,bTa,b,故T具有传递性。
综合
(1)
(2)(3)知T具有自反性、反对称性和传递性,故T为上的偏序关系。
AB
习题九及答案:
(P179-180)8、S=QQ,Q为有理数集,为S上的二元运算,a,b,x,yS有a,bx,yax,ay+b
(1)运算在S上是否可交换、可结合?
是否为幂等的?
(2)。
运算是否有单位元、零元?
如果有,请指出,并求出S中所有可逆元素的逆元解:
(1)x,ya,bxa,xb+yax,bx+ya,bx,y运算不具有交换律x,ya,bc,dax,bx+yc,dacx,adx+bx+y而x,ya,bc,dx,y*ac,ad+bxac,xad+xb+yacx,adx+bx+yx,ya,bc,d运算有结合律任取a,bs,则有:
2a,ba,ba,abba,b运算无幂等律
(2)令a,b*x,ya,b对a,bs均成立则有:
ax,ay+ba,b对a,bs均成立axaax10对a,b成立aybbay0x10x1必定有y0y0运算的右单位元为1,0,可验证1,0也为运算的左单位元,运算的单位元为1,0
令a,b*x,yx,y,若存在x,y使得对a,bs上述等式均成立,则存在零元,否则不存在零元。
由a,b*x,yx,yax,ay+bx,ya1x0axxa1y+b0ayby由于a1y+b0不可能对a,bs均成立,故a,b*x,yx,y不可能对a,bs均成立,故不存在零元;
设元素a,b的逆元为x,y,则令a,b*x,ye1,01xax1a(当a0)ayb0bya当a0时,a,b的逆元不存在;
1b当a0时,a,b的逆元是,aa11、设S12,,...,10,问下面的运算能否与S构成代数系统S,?
如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律,并求运算的单位元和零元。
(3);
xy=大于等于x和y的最小整数解:
(3)由*运算的定义可知:
,xy=max(x,y)x,yS,有xyS,故运算在S上满足封闭性,所以运算与非空集合S能构成代数系统;
任取x,yS,有xy=max(x,y)=max(y,x)=yx,所以运算满足交换律;
任取x,y,zS,有(xy)z=max(max(x,y),z)=max(x,y,z)=max(x,max(y,z))=x(yz),所以运算满足结合律;
任取xS,有x1=max(x,1)=x=max(1,x)=1x,所以运算的单位元是1;
任取xS,有x10=max(x,10)=10=max(10,x)=10x,所以运算的零元是10;
16、设V1,2,3,,1,其中xy表示取x和y之中较大的数。
V5,6,,6,12其中xy表示取x和y之中较小的数。
求出V和V的所有的子代数。
12指出哪些是平凡的子代数,哪些是真子代数。
(1)V中运算的单位元是1,1V的所有的子代数是:
1,2,3,,1,1,,1,1,2,,1,1,3,,1;
1V的平凡的子代数是:
1,2,3,,1,1,,1;
1V的真子代数是:
1,,1,1,2,,1,1,3,,1;
1
(2)V中运算的单位元是6,2V的所有的子代数是:
5,6,,6,6,,6;
2V的平凡的子代数是:
2V的真子代数是:
6,,6。
2习题十一及答案:
(P218-219)1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。
判断其中哪些是格。
如果不是格,说明理由解:
(a)、(c)、(f)是格;
因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界;
(b)不是格,因为{d,e}的最大下界不存在;
(d)不是格,因为{b,c}的最小上界不存在;
(e)不是格,因为{a,b}的最大下界不存在。
2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。
(1)L={1,2,3,4,5};
(2)L={1,2,3,6,12};
画出哈斯图即可判断出:
(1)不是格,
(2)是格。
4、设L是格,求以下公式的对偶式:
a(bc)(ab)(ac)
(2)a(bc)(ab)(ac)解:
对偶式为:
,参见P208页定义11.2。
a,b,cLabcabbc6、设L为格,,且,证明。
ab,abb,证明:
bc,bcb,abbc
9、针对图11.11中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。
(a)图:
a,d互为补元,其中a为全下界,d为全上界,b和c都没有补元;
(c)图:
a,f互为补元,其中a为全下界,f为全上界,c和d的补元都是b和e,b和e的补元都是c和d;
(f)图:
a,f互为补元,其中a为全下界,f为全上界,b和e互为补元,c和d都没有补元。
10、说明图11.11中每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。
是一条链,所以是分配格,b和c都没有补元,所以不是有补格,所以不是布尔格;
a,f互为补元,c和d的补元都是b和e,b和e的补元都是c和d,所以任何元素皆有补元,是c(bd)cac,(cb)(cd)fddc(bd)(cb)(cd)有补格;
,所以对运算不满足分配律,所以不是分配格,所以不是布尔格;
经过分析知图(f)对应的格只有2个五元子格:
L1={a,c,d,e,f},L2={a,b,c,d,f}。
画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格,根据分配格的充分必要条件(见P213页的定理11.5)得图(f)对应的格是分配格;
c和d都没有补元,所以不是有补格,所以不是布尔格。
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