人教A版数学必修2 第2章 章末综合测评2Word文档格式.docx
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证明共面问题,一般有两种证法:
一是由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这个平面内;
二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合.
如图21所示,AB∩α=P,CD∩α=P,A,D与B,C分别在平面α的两侧,AC∩α=Q,BD∩α=R,求证:
P,Q,R三点共线.
图21
【精彩点拨】 要证若干点共线,需证这些点在两个相交平面内,且是这两个平面的公共点.
【规范解答】 ∵AB∩α=P,CD∩α=P,∴AB∩CD=P,
∴AB,CD可确定一个平面,设为β.
∵A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD,
∴A∈β,C∈β,B∈β,D∈β.
∴AC⊂β,BD⊂β,平面α,β相交.
∵AB∩α=P,AC∩α=Q,BD∩α=R,
∴P,Q,R三点是平面α与平面β的公共点.
∴P,Q,R都在α与β的交线上.
故P,Q,R三点共线.
[再练一题]
1.如图22,在长方体ABCDA1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1、C1、P三点所确定的平面α与长方体表面的交线,并作出平面α与平面ABCD的交线.
图22
【解】 A1P,A1C1,C1P为平面α与长方体表面的交线,如图.
平面α与平面ABCD的交线可以这样确定:
延长C1P,则它与CB的延长线一定相交,设交点为点M,则M是平面α与平面ABCD的一个公共点,延长A1P交AB的延长线于点N,则N也是平面α与平面ABCD的一个公共点,故MN就是两平面的交线.
空间中的平行、垂直问题
1.平行关系的转化
要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程,在解题时把握这一点,灵活确定转化的思路和方向.
2.垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线,若这样的垂线不存在,则可通过作辅助线来解决.如有面面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,进一步转化为线线垂直.
3.证明空间线面平行或垂直需注意三点
(1)由已知想性质,由求证想判定.
(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.
(3)用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论.
如图23,在四棱锥PABCD中,菱形ABCD的对角线交于点O,E、F分别是PC、DC的中点.平面PAD⊥平面ABCD,PD⊥AD.
图23
求证:
(1)平面EFO∥平面PDA;
(2)PD⊥平面ABCD.
(3)平面PAC⊥平面PDB.
【精彩点拨】
(1)证明两平面平行,要寻找一个平面内两相交直线平行于另一平面内两相交直线,题中有中点可构成平行关系;
(2)利用面面垂直的性质定理证明;
(3)可证明AC⊥平面PBD,再根据面面垂直的判定定理可得结论.
【规范解答】
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴O是AC的中点,
∵E、F分别是PC、DC的中点,
∴EF∥PD.
又EF⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
同理FO∥平面PAD.
而EF∩FO=F,EF、FO⊂平面EFO,
∴平面EFO∥平面PDA.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,PD⊥AD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,PD⊂平面PAD,
∴PD⊥平面ABCD.
(3)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥PD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
又PD∩DB=D,
∴AC⊥平面PBD,
∵AC⊂平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PDB.
2.如图24,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB,BD的中点.
(1)直线EF∥面ACD;
(2)平面EFC⊥平面BCD.
图24
【证明】
(1)在△ABD中,
∵E,F分别是AB,BD的中点,
∴EF∥AD.
又AD⊂平面ACD,EF⊄平面ACD,
∴直线EF∥平面ACD.
(2)在△ABD中,∵AD⊥BD,EF∥AD,
∴EF⊥BD.
在△BCD中,∵CD=CB,F为BD的中点,
∴CF⊥BD.
∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面EFC,
又∵BD⊂平面BCD,∴平面EFC⊥平面BCD.
空间角的计算
求角度问题时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上,求角度的解题步骤是:
(1)找出这个角;
(2)证该角符合题意;
(3)构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角.空间角包括以下三类:
①两条异面直线所成的角,找两条异面直线所成的角,关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角.
②求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影.
③求二面角关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.
如图25,正方体的棱长为1,B′C∩BC′=O,求:
图25
(1)AO与A′C′所成角的度数;
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.
【精彩点拨】 先找出(或作出)空间角的平面角,再用解三角形的办法求其大小.
【规范解答】
(1)∵A′C′∥AC,
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB,AB⊥平面BCC′B′,
∴OC⊥AB且AB∩BO=B.∴OC⊥平面ABO.
又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中,OC=
,AC=
,sin∠OAC=
=
,
∴∠OAC=30°
,即AO与A′C′所成角的度数为30°
.
(2)如图,作OE⊥BC于E,连接AE,
∵平面BCC′B′⊥平面ABCD,
∴OE⊥平面ABCD,
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中,OE=
AE=
,∴tan∠OAE=
(3)∵OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩OB=O,
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC⊂平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC,
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°
3.如图26所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角EBDC的大小.
图26
【解】 ∵E为SC的中点,且SB=BC,
∴BE⊥SC.又DE⊥SC,
BE∩DE=E,∴SC⊥平面BDE,
∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC,
可得SA⊥BD,SC∩SA=S,
∴BD⊥平面SAC,从而BD⊥AC,BD⊥DE,
∴∠EDC为二面角EBDC的平面角.
设SA=AB=1.在△ABC中,∵AB⊥BC,∴SB=BC=
,∴SC=2.在Rt△SAC中,∠DCS=30°
∴∠EDC=60°
,即二面角EBDC为60°
转化与化归思想
立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想.
(1)线线、线面、面面的位置关系,由转化思想,使它们建立联系,如面面平行线面平行线线平行,面面垂直线面垂直线线垂直等,有关线面位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的.
(2)通过“平移”,将一些线面关系转化为平面内的线线关系,通过线面平行,将空间角最终转化为平面角,并构造三角形,借助于三角形的知识解决问题.
(3)通过添加辅助线将立体问题转化为平面问题.
在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过E作EF⊥PB于点F.
(1)求证:
PA∥平面EDB;
(2)求证:
PB⊥平面EFD;
(3)求二面角CPBD的大小.
【精彩点拨】
(1)利用线线平行证线面平行;
(2)利用线线垂直证明线面垂直;
(3)转化为求∠EFD的大小.
【规范解答】
(1)证明:
连接AC交BD于点O,连接EO.
∵底面ABCD是正方形,
∴在△PAC中,EO是中位线,
∴PA∥EO.
又∵EO⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,
∴PA∥平面EDB.
(2)证明:
∵PD⊥底面ABCD,且DC⊂底面ABCD,
∴PD⊥DC.
∵PD=DC,∴△PDC是等腰直角三角形.
又∵DE是斜边PC的中线,∴DE⊥PC.
∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,∴DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC.
又∵DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.∵BC∩PC=C,
∴DE⊥平面PBC.
又∵PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB.
又∵EF⊥PB,且DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD.
(3)由
(2)知,PB⊥DF,EF⊥PB,
∵∠EFD是二面角CPBD的平面角.
由
(2)知DE⊥EF,PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a,
则PD=DC=a,BD=
a,
∴PB=
PC=
∴在Rt△PDB中,DF=
a.
又∵DE=
∴在Rt△EFD中,sin∠EFD=
∴∠EFD=60°
∴二面角CPBD的大小是60°
4.如图27,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知PA=AB=2,AD=2
.求:
(1)△PCD的面积;
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小;
(3)三棱锥PABE的体积.
图27
【解】
(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.
因为PD=
=2
,CD=2,
所以△PCD的面积为
×
2×
2
(2)取PB的中点F,连接EF,AF,则EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.
在△AEF中,由EF=
,AF=
,AE=2,知△AEF是等腰直角三角形,所以∠AEF=45°
.因此异面直线BC与AE所成的角的大小是45°
(3)连结BE.由
(1)知AD⊥平面PAB,EF⊥平面PAB,EF=
,VPABE=VEPAB=
1.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥lD.m⊥n
【解析】 ∵α∩β=l,∴l⊂β.
∵n⊥β,∴n⊥l,故选C.
【答案】 C
2.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
【解析】 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.
【答案】 D
3.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
【解析】 对于①,α,β可以平行,也可以相交但不垂直,故错误.
对于②,由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α,n∥l,又m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正确.
对于③,因为α∥β,所以α,β没有公共点.又m⊂α,所以m,β没有公共点,由线面平行的定义可知m∥β,故正确.
对于④,因为m∥n,所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β,所以n与α所成的角和n与β所成的角相等,所以m与α所成的角和n与β所成的角相等,故正确.
【答案】 ②③④
4.如图28,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
图28
【证明】
(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
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