134《最短路径问题2》教案Word格式文档下载.docx
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2.预习自测
⑴直线AB上有一点P,当点P在时,PA+PB有最小值,最小值为AB的值;
⑵直线AB上有一点P,当点P在时,PB-PA等于AB的值;
⑶直线AB上有一点P,当点P在时,PA-PB等于AB的值;
【知识点】线段的和差
【数学思想】分类讨论,数形结合
【思路点拨】直线AB上有一点P,此时点P与线段AB的位置关系有两种:
①如图1,点在线段AB上;
②如图2和图3,点在线段BA的延长线上或点在直线AB的延长线上.
【解题过程】⑴当点P在线段AB上时,如图1,PA+PB=AB即PA+PB最小值为AB的值;
⑵当点P在线段BA的延长线上时,如图2,PB-PA=AB;
⑶当点P在线段AB的延长线上时,如图3,PA-PB=AB;
【答案】⑴线段AB上;
⑵线段BA的延长线上;
⑶线段AB的延长线上.
⑷如图,点A、B在直线l的同侧,在直线l上能否找到一点P,使得|PB-PA|的值最大?
【知识点】两点之间线段最短,三角形两边的差小于第三边
【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时,根据“三角形任意两边的差小于第三边”,则|PB-PA|<AB;
当点P与A、B共线,点P在线段BA的延长线上时,即点P为直线AB与直线l的交点,则|PB-PA|=AB.
【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时|PB-PA|<AB;
⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时,如图,PB-PA=AB,即
|PB-PA|=AB;
【答案】如图,连接BA并延长交直线l于P,此时|PB-PA|的值最大.
(二)课堂设计
1.知识回顾
⑴在平面内,一个图形沿一定方向、移动一定的距离,这样的图形变换称为平移变换(简称平移).平移不改变图形的形状和大小.
三角形两边的差小于第三边
2.问题探究
探究一运用轴对称解决距离之差最大问题
●活动①回顾旧知,引入新知
师:
上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦,解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题”,但善于观察与思考的海伦在解决“两点(直线同侧)一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况:
●活动②整合旧知,探究新知
例1.如图,A、B两点在直线l的异侧,在直线l上求作一点C,使|AC-BC|的值最大.
【知识点】轴对称变换,三角形三边的关系
【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′),利用三角形任意两边之差小于第三边,再作直线A′B(AB′)与直线l交点C.
【解题过程】如图1所示,以直线l为对称轴,作点A关于直线l的对称点A′,A′B的延长线交l于点C,则点C即为所求.
●活动③类比建模,证明新知
回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点(直线同侧)一线型”时AC+BC最小的吗?
试类比证明“|AC-BC|最大”的作法是否正确性?
理由:
在直线l上任找一点C′(异于点C),连接CA,C′A,C′A′,C′B.因为点A,A′关于直线l对称,所以l为线段AA′的垂直平分线,则有CA=CA′,所以CA-CB=CA′-CB=A′B.又因为点C′在l上,所以C′A=C′A′.又在△A′BC′中,C′A-C′B=C′A′-C′B<A′B,所以C′A′-C′B<CA-CB.
练习点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系,如图所示.若P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点,Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点,请在图中画出点P与点Q.
【知识点】两点之间线段最短,三角形任意两边的差小于第三边,三角形任意两边的和大于第三边
【思路点拨】当点P与A、B共线时,即在线段AB的延长线上,点P为直线AB与x轴的交点,则此时P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点,即|PA-PB|=AB.将点A、B看成y轴同侧有两点:
在y轴上求一点Q,使得QA+QB最小
【解题过程】⑴延长线段AB,AB与x轴交于点P,则此时P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点,即|PA-PB|=AB;
⑵作点A关于x轴的对称点A′,A′B的连线交y轴于点Q,则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.
【答案】如图,点P与点Q即为所求:
探究二利用平移解决造桥选址问题★▲
●活动①结合实际,难点分解
常说“遇山开路,遇水搭桥”,生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢?
如图,在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥,连接河岸EF,且CD∥EF.显然当桥AB垂直于河岸时,所建的桥长最短.
●活动②生活中的实际问题
例2.如图,A、B两地位于一条河的两岸,现需要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?
(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)
【知识点】平移知识,两点之间线段最短
【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题:
从点A到点B要走的路线是A→M→N→B,如图所示,而MN是定值,于是要使路程最短,只要AM+BN最短即可.如图1,此时两线段AM、BN应在同一平行方向上,平移MN到AA′,则AA′=MN,AM+NB=A′N+NB,这样问题就转化为:
当点N在直线b的什么位置时,A′N+NB最小?
如图2,连接A′,B两点的线中,线段A′B最短,因此,线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求,即在点N处造桥MN,所得路径A→M→N→B是最短的.
图1
【解题过程】⑴如图2,平移MN到AA′(或者过点A作AA′垂直于河岸),且使AA′等于河宽.⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.
【答案】如图所示,则MN为所建的桥的位置.
图2
●活动③几何证明
上述作图为什么是最短的?
请你想想.
先让学生小组合作完成,进行展示、分享.
证明:
由平移的性质,得MN∥AA′,且MN=AA′,AM=A′N,AM∥A′N,所以A、B两地的距离:
AM+MN+BN=AA′+A′N+BN=AA′+A′B.如图2,不妨在直线b上另外任意取一点N′,若桥的位置建在N′M′处,过点N′作
N′M′⊥a,垂足为
M′,连接
AM′,
A′N′,
N′B.由平行知:
AM′=
A′N′,
AA′=N′M′,则建桥后AB两地的距离为:
AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B.在△A′N′B中,
∵A′N′+N′B>A′B,∴AA′+A′N′+N′B>AA′+A′B,即AM′+M′N′+N′B>AM+MN+BN.所以桥建在MN处,AB两地的路程最短.
【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题,从而做出最短路径的选择.
练习如图1,江岸两侧有A、B两个城市,为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行,今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥,且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置,才能使从A地到B地的路程最短?
【知识点】平移的知识,两点之间线段最短
【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B,如图所示,而MN是定值,于是要使路程最短,只要AM+BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上,平移MN到AC,从C到B应是余下的路程,连接BC的线段即为最短的,此时不难说明点N即为建桥位置,MN即为所建的桥.
【解题过程】
(1)如图2,过点A作AC垂直于河岸,且使AC等于河宽;
(2)连接BC与河岸的一边交于点N;
(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
【答案】如图2所示,则MN为所建的桥的位置.
3.课堂总结
知识梳理
本堂课主要知识为两个最值问题:
(1)利用轴对称知识解决“线段距离之差最大”问题;
(2)利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址”问题.
重难点归纳
解决线段最值问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题.
⑴“距离之差最大”问题的两种模型:
①如果两点在一条直线的同侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大;
②如果两点在一条直线的异侧时,先作其中一点关于直线的对称点,转化为①即可.通常求最大值或最小值的情况,常取其中一个点的对称点来解决,而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性.
⑵“造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.
(三)课后作业
基础型自主突破
1.如图,A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置,直线a表示输水总管道,直线b表示输煤气总管道.现要在这两根总管道上分别设一个连接点,安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼,要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短.图中,点A′是点A关于直线b的对称点,A′B分别交b、a于点C、D;
点B′是点B关于直线a的对称点,B′A分别交b、a于点E、F.则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是()
A.F和CB.F和EC.D和CD.D和E
【知识点】最短路径问题.
【思路点拨】图中隐含了两个“两点(同侧)一线型”的模型.
【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知:
输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F,煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C.故选A.
【答案】A
2.如图所示,一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上,人眼O的位置与镜子MN上沿M处于同一水平线.
有四个物体A、B、C、D放在镜子前面,人眼能从镜子看见的物体有()
A.点A、B、CB.点A、B、DC.点B、C、DD.点A、B、C、D
【知识点】轴对称的知识
【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点,人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点,必须在眼的视线范围内.如下图示,分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′.由于C′不在∠MON内部,故人能从镜子里看见A、B、D三个物体.
【解题过程】如下图示,分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′.由于C′不在∠MON内部,故人能从镜子里看见A、B、D三个物体.
【答案】B
3.如图,在四边形ABCD中,∠C=50°
,∠B=∠D=90°
,E、F分别是BC、DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为()
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、四边形内角和
【解题过程】∵在四边形ABCD中,∠C=50°
,∴∠BAD=130°
延长AB到P,使BP=AB,延长AD到Q,使DQ=AD,则点A关于BC的对称点为点P,关于CD的对称点为点Q,连接PQ与BC相交于点E,与CD相交于点F,如图,PQ的长度即为△AEF的周长最小值;
又∵∠BAD=130°
,∴在△APQ中,∠P+∠Q=180°
-130°
=50°
.∵∠AEF=∠P+∠PAE=2∠P,∠AFE=∠Q+∠QAF=2∠Q,∴∠AEF+∠AFE=2(∠P+∠Q)=2×
50°
=100°
,∴∠EAF
=180°
-100°
=80°
【思路点拨】①补全图形,转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题;
②根据三角形的内角和等于180°
求出∠P+∠Q,再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决.
【答案】D
4.如图,村庄A,B在公路l的同侧,在公路l上有一个公交车站点P,此点P使得|PB-PA|值最大,试作出公交车站P的位置.
【知识点】两点之间线段最短,三角形任意两边的差小于第三边
当点P与A、B共线时,即在线段BA的延长线上,点P为直线AB与直线l的交点,则|PB-PA|=AB.
【答案】如图,点P为所求公交车站的位置.
5.如图,等边△ABC的边长为2,AD是BC边上的中线,E是AD边上的动点,F是AC边上的中点,当EF+EC取得最小值时,求∠ECF的度数.
【知识点】等腰三角形的“三线合一”,轴对称知识,两点之间线段最短
【思路点拨】拆分出点F、点C和直线AD,构成“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键,连接CF′(或者连接BF)与直线AD交于点E,此时EF+EC取得最小值为CF′(或者BF),但题目要求∠ECF的度数,则只能连接CF′,根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.
【解题过程】取AB得中点F′,则等边三角形AC边的中点F与点F′关于直线AD对称;
连接CF′,与直线AD相交于点E,此时EF+EC取得最小值.因为CF′是等边△ABC的边AB上的中线,所以CF′平分∠ACB,则∠ECF的度数是30°
.
作图解题之前应该忽略图中的点E,如图1,又由“两点一线型”的最短距离的模型得到图2;
【答案】∠ECF的度数为30°
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=6,BC=8,AB=10,AD是∠BAC的平分线.若P、Q分别是AD和AC上的动点,求PC+PQ的最小值.
【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质
【数学思想】数形结合,转化
【解题过程】如图,过点C作CM⊥AB于点M,交AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q,∵AD是∠BAC的平分线,∴PQ=PM,这时PC+PQ有最小值,最小值为CM的长度.∵AC=6,BC=8,AB=10,S△ABC=
AB•CM=
AC•BC,∴CM=
=
,即PC+PQ的最小值为
.
【思路点拨】因为∠BAC的对称轴是∠BAC的平分线所在的直线AD,所以点Q的对称点在射线AB上.若点Q关于直线AD的对称点为点M,PC+PQ=PC+PM,又当PC、PM共线时,PC+PM的最小值为线段CM的最小值,根据垂线段最短,所以当CM⊥AB时线段CM的值最小.过点C作CM⊥AB于点M,交AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q,因为AD是∠BAC的平分线,得出PQ=PM,这时PC+PQ有最小值,最小值为CM的长度,再运用S△ABC=
AC•BC,得出CM的值,即PC+PQ的最小值.本题主要考查了轴对称问题,解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置.
【答案】
能力型师生共研
7.如图所示,在边长为3的等边三角形ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P是线段EF上一个动点,连接BP、GP,求△BPG周长的最小值.
【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短
【思路点拨】要使△PBG的周长最小,而BG=1.5是一个定值,只要使BP+PG最短即可,则转化为“两点一线型”的最短路径问题.连接AB交直线EF于点P
即当P和E重合时,此时BP+PG最小,即△PBG的周长最小.
【解题过程】如图,连接AG交EF于M.∵等边△ABC,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,∴AG⊥BC,EF∥BC,则AG⊥EF,AM=MG,∴A、G关于EF对称,连接AB交直线EF于点P,即当P和E重合时,此时BP+PG最小,即△PBG的周长最小,∵AP=PG,BP=BE,∴最小值是:
PB+PG+BG=AE+BE
+BG=AB+BG=3+1.5=4.5.
【答案】4.5
探究型多维突破
8.读一读:
勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系:
在直角三角形中,两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,
即a²
+b²
=c²
.我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”,较长直角边为“股”,斜边称为“弦”,所以把这个定理成为“勾股定理”.例如:
直角三角形的两个直角边分别为3、4,则斜边c2=a2+b2=9+16=25,
则斜边c为5.借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题,勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理,请尝试完成下面的练习:
如图,已知A、B两个村庄位于河流CD的同侧,它们到河流的距离AC=10km,BD=30km,且CD=30km.现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水,铺设管道的费用为每千米2万元,要使所花费用最少,请确定泵站P的位置,并求出此时所花费用的最小值为多少?
(保留痕迹,不写作法)
【思路点拨】根据已知得出作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小,再构造直角三角形利用勾股定理即可求出.此题主要考查了用轴对称解决最短路径问题和勾股定理的应用,解题关键是构建直角三角形.
【解题过程】依题意,只要在直线l上找一点P,使点P到A、B两点的距离和最小.作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小,且PA+PB=PA′+PB=A′B.又过点A′向BD作垂线,交BD的延长线于点E,在直角三角形A′BE中,A′E=CD=30,BE=BD+DE=40,根据勾股定理可得:
A′B=50(千米)即铺设水管长度的最小值为50千米.所以铺设水管所需费用的最小值为:
50×
2=100(万元).
【答案】100万元
9.读一读:
如图,∠AOB=30°
,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是 .
【思路点拨】点M、N分别在边OA、OB上的定点,作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
【解题过程】解:
作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,
连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.∴根据轴对称的定义可知:
∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=30°
,ON′=ON=3,OM′=OM=1,∴∠N′OM′=90°
,∴在Rt△M′ON′中,M′N′=
.故答案为
自助餐
1.如图,小河CD边有两个村庄A村、B村,现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水,自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小?
请在下图中找出点E的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
【知识点】轴对称知识,两点之间线段最短
【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′,再连接A′B交CD于点E,即可得出答案.
【解题过程】如图所示,点E即为所求.
2.如图,在一条笔直的公路l旁修建一个仓储基地,分别给A、B两个超市配货,那么这个基地建在什么位置,能使它到两个超市的距离之差即|PB-PA|最小?
(保留作图痕迹及简要说明)
【知识点】线段垂直平分线的知识,绝对值的知识
【思路点拨】因为绝对值具有非负性,即|PB-AP|≥0,所以当点PA=PB时,|PB-PA|最小值为0.
【解题过程】作线段AB的垂直平分线,与直线l交于点P,交点P即为符合条件的点.如图,取线段AB的中点G,过中点G画AB的垂线,交EF于P,则P到A,B的距离相等.也可分别以A、B为圆心,以大于
AB为半径画弧,两弧交于两点,过这两点作直线,与EF的交点P即为所求.
【答案】如图,点P为所求公交车站的位置.
3.如图,直线l外不重合的两点A、B,在直线l上求作一点C,使得AC+BC的长度最短,作法为:
①作点B关于直线l的对称点B′;
②连接AB′与直线l相交于点C,则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的数学知识或方法是( )
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
【知识点】轴对称的知识、两点之间最短
【解题过程】∵点B和点B′关于直线l对称,且点C在l上,∴CB=CB′,
又∵AB′交l与C,且两条直线相交只有一个交点,∴CB′+CA=AB′最短,即此时点C使CA+CB的值最小,将轴对称最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”,体现了转化的思想,验证时利用三角形的两边之和大于第三边.故选D.
【思路点拨】利用“两点之间线段最短”分析并验证即可.此题主要考查了利用轴对称知识解决最短路径问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理“两点之间线段最短”,结合本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.
【答案】D
4.如图,在△ABC中,AC=5,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任一点,则AP+BP的最小值=.
【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短
【数学思想】数形结合.
【解题过程】∵EF垂直平分BC,∴B、C关于EF对称.连接AC交EF于D,∴当P和D重合,即当点P在直线EF上的D点处时,AP+BP的值最小,最小值等于AC的长为5.
【思路点拨】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C,故当点P与点D重合时,AP+BP的最小值为AC长度5.
【答案】5
5.如图,在平面直角坐标系中,PQ⊥x轴于点Q,P(-4,8).直线AB垂直平分线段OQ,交x轴于点C,点M为直线AB上的一动点,过M作y轴的垂线,垂足为点N,连接PM、NQ,求PM+MN+NQ的最小值;
【思路点拨】将直线AB和y轴看作河的两岸,点P和点Q′看作河岸两侧的点,转化为造桥选址问题.从P到Q要走的路线是P→M→N→Q,如图所示,而MN是定值,于是要使路程最短,只要PM+QN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上,平移MN到PP′,从P′→N→Q应是余下的路程,当P′N+NQ的值最小时PM+MN+NQ有最小值.作点Q关于y轴的对称点Q′,连接P′Q′的线段即为最短,P′Q′与y轴的
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