分段线性插值文档格式.docx
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(2)分段线性插值函数fd2.m
(3)比较不同节点数所得分段线性插值函数的插值效果fd3.m
2、选取插值节点数为偶数
在MATLAB窗口中执行:
fd3n=2的数据见附录,图像如下:
n=8的图如下:
n=20的图
3、模型二:
用MATLAB分别建立m文件:
(1)分段插值函数fd22
(2)插值效果比较函数fd32(选取插值节点数为奇数)
程序代码(参见附录)
fd32
得下图:
上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像,下图为误差图像
3、由上所有的图可看出,由于原函数是偶函数,等距节点所得插值函数有很强对称性,下任取节点,
编写程序fd33.m,得图
4、比较不同节点所得插值函数与被插函数误差的平方和,程序模板为d1.m
得下图:
红星由fd32得奇数节点误差平方和,绿星加圈由fd3得偶数节点误差平方和,圈由f33得随机节点误差平方和,数据见附录
四、结果分析
1、不同插值节点数所得的分段线形插值函数,在节点处与原函数的函数值一定相同
2、所得的分段线形插值函数在原函数斜率绝对值变化大的地方,与原函数的误差比较大
3、由误差平方和e,插值节点个数越多,e有减小的趋势,最后趋于0。
单考虑奇数或偶数个节点,则随节点数增加e严格减小。
4、随机生成的节点不如等距节点使插值效果好。
五、结论
插值节点个数越多,分段线形插值函数与原函数误差平方和有减小趋势,插值效果越好。
六、参考文献
《数值分析与实验》薛毅编著北京工业大学出版社
附录
代码如下:
%fd1.m线性插值原函数
functiony=fd1(x)
y=1./(1+x.^2);
%fd2.m分段线性插值函数
functionyi=fd2(x,y,xi)
n=length(x);
m=length(y);
ifn~=m
error('
X和Y向量的长度必须相同'
);
return;
end
fork=1:
n-1
ifabs(x(k)-x(k+1))<
eps%x(k)-x(k+1)的绝对值必须大于e
数据有误'
ifx(k)<
=xi&
xi<
=x(k+1)%保证x(k)<
xi<
x(k+1)
temp=x(k)-x(k+1);
yi=(xi-x(k+1))/temp*y(k)+(xi-x(k))/(-temp)*y(k+1)
%fd3.m比较插值效果
a=-5;
b=5;
n=input('
请输入分端节点数:
'
ifn<
=0
你输入的数据有误!
!
break;
h=(b-a)/(n-1);
%求节点
x=a:
h:
b;
y=fd1(x);
xx=a:
0.1:
%用分段线性插值函数求非节点函数值
yyi=fd1(xx);
m1=length(xx);
z=zeros(1,m1);
fork1=1:
m1
z(k1)=fd2(x,y,xx(k1));
w=z-yyi;
%计算误差
subplot(2,1,1);
plot(x,y,'
o'
xx,yyi,'
-'
x,y,'
k:
%插值图像
xlabel('
x'
ylabel('
y'
title('
原函数(实线)-插值函数(虚线)'
holdon
subplot(2,1,2);
plot(xx,w,'
%误差的图像
R(x)'
误差分析'
xx=xx'
;
yyi=yyi'
z=z'
w=w'
%fd22.m分段线性插值函数
functionv=fd22(x,y,u)
delta=diff(y)./diff(x);
k=ones(size(u));
forj=2:
k(x(j)<
=u)=j;
s=u-x(k);
v=y(k)+s.*delta(k);
✧%fd32.m同时画不同节点的插值函数图像和误差图像
clear
close
t=[-5:
0.01:
5];
a=['
k'
'
g'
r'
c'
m'
];
fori=1:
5
n=2*i+1;
x=linspace(-5,5,n);
%把区间[-55]分为(n-1)份,算插值节点
p=fd22(x,y,t);
p=p'
%计算以(x,y)为插值点的插值函数在t处的各个值
y1=fd1(t);
y1=y1'
e=p-y1;
%计算误差
plot(x,y,a(i));
holdon;
%画出插值函数图像及误差图像
plot(t,e,a(i));
end
legend('
n=3'
'
n=5'
n=7'
n=9'
n=11'
fplot(@fd1,[-55],'
%画出原函数图像
holdoff
%fd33.m插值节点非等分区间获得
x=[-5rand(1,n-2)*10-55];
%得(-5,5)上的n维随机向量
x=sort(x);
%fd1.m比较不同节点数误差平方和
a=[];
b=[];
10
n=2*i;
%n=2*i+1则是奇数节点
x=linspace(-5,5,n)
e=e*e'
a=[ae];
b=[bn];
plot(b,a,'
go'
n节点数'
e误差平方和'
n=2的数据:
X
Y
YI(原函数)
W
-5.0000
0.0385
-4.9000
0.0400
0.0577
-0.0177
-4.8000
0.0416
0.0769
-0.0353
-4.7000
0.0433
0.0962
-0.0528
-4.6000
0.0451
0.1154
-0.0703
-4.5000
0.0471
0.1346
-0.0876
-4.4000
0.0491
0.1538
-0.1047
-4.3000
0.0513
0.1731
-0.1218
-4.2000
0.0536
0.1923
-0.1387
-4.1000
0.0561
0.2115
-0.1554
-4.0000
0.0588
0.2308
-0.1719
-3.9000
0.0617
0.2500
-0.1883
-3.8000
0.0648
0.2692
-0.2045
-3.7000
0.0681
0.2885
-0.2204
-3.6000
0.0716
0.3077
-0.2361
-3.5000
0.0755
0.3269
-0.2515
-3.4000
0.0796
0.3462
-0.2665
-3.3000
0.0841
0.3654
-0.2813
-3.2000
0.0890
0.3846
-0.2956
-3.1000
0.0943
0.4038
-0.3096
-3.0000
0.1000
0.4231
-0.3231
-2.9000
0.1063
0.4423
-0.336
-2.8000
0.1131
0.4615
-0.3484
-2.7000
0.1206
0.4808
-0.3601
-2.6000
0.1289
0.5000
-0.3711
-2.5000
0.1379
0.5192
-0.3813
-2.4000
0.1479
0.5385
-0.3905
-2.3000
0.1590
0.5577
-0.3987
-2.2000
0.1712
0.5769
-0.4057
-2.1000
0.1848
0.5962
-0.4113
-2.0000
0.2000
0.6154
-0.4154
-1.9000
0.2169
0.6346
-0.4177
-1.8000
0.2358
0.6538
-0.418
-1.7000
0.2571
0.6731
-0.416
-1.6000
0.2809
0.6923
-0.4114
-1.5000
0.7115
-0.4038
-1.4000
0.3378
0.7308
-0.3929
-1.3000
0.3717
0.7500
-0.3783
-1.2000
0.4098
0.7692
-0.3594
-1.1000
0.4525
0.7885
-1.0000
0.8077
-0.3077
-0.9000
0.5525
0.8269
-0.2744
-0.8000
0.6098
0.8462
-0.2364
-0.7000
0.6711
0.8654
-0.1942
-0.6000
0.7353
0.8846
-0.1493
-0.5000
0.8000
0.9038
-0.1038
-0.4000
0.8621
0.9231
-0.061
-0.3000
0.9174
0.9423
-0.0249
-0.2000
0.9615
-0.1000
0.9901
0.9808
0.0093
1.0000
0.3000
0.4000
0.6000
0.7000
0.9000
1.1000
1.2000
1.3000
1.4000
1.5000
1.6000
1.7000
1.8000
1.9000
2.0000
2.1000
2.2000
2.3000
2.4000
2.5000
2.6000
2.7000
2.8000
2.9000
3.0000
3.1000
3.2000
3.3000
3.4000
3.5000
3.6000
3.7000
3.8000
3.9000
4.0000
4.1000
4.2000
4.3000
4.4000
4.5000
4.6000
4.7000
4.8000
4.9000
5.0000
n
2
3
4
6
7
误差平方和
136.9209
79.1689
63.334
6.9775
23.7384
0.8329
8
9
10
11
12
13
14
9.0015
0.5726
3.6152
0.572
1.5676
0.4648
0.7472
15
16
17
18
19
20
21
0.3366
0.3945
0.2327
0.2291
0.1593
0.1438
0.1101
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