湘教版九年级上册数学教案全册文档格式.docx
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分析:
反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所有t的取值范围为t>
0.
【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P3例题.
2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?
(1)已知平行四边形的面积是12cm2,它的一边是acm,这边上的高是hcm,则a与h的函数关系;
(2)压强p一定时,压力F与受力面积S的关系;
(3)功是常数W时,力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.
(4)某乡粮食总产量为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式.
确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=
(k是常数,k≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.
解:
(1)a=12/h,是反比例函数;
(2)F=pS,是正比例函数;
(3)F=W/s,是反比例函数;
(4)y=m/x,是反比例函数.
3.当m为何值时,函数y=
是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:
由反比例函数的定义易求出m的值.解:
由反比例函数的定义可知:
2m-2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=
.
4.当质量一定时,二氧化碳的体积V与密度ρ成反比例.且V=5m3时,ρ=1.98kg/m3
(1)求p与V的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(2)求V=9m3时,二氧化碳的密度.
略
5.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x2成反比例,且x=2与x=3时,y的值都等于19.求y与x间的函数关系式.
y1与x成正比例,则y1=k1x,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y=y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式.
因为y1与x成正比例,所以y1=k1x;
因为y2与x2成反比例,所以y2=
,而y=y1+y2,所以y=k1x+
,当x=2与x=3时,y的值都等于19.
【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:
教材“习题1.1”中第1、3、5题.
教学反思
学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.
1.2反比例函数的图象与性质
第1课时反比例函数的图象与性质
(1)
教学目标
1.会用描点法画反比例函数图象;
2.理解反比例函数的性质.
观察、比较、合作、交流、探索.
通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.
画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.
理解反比例函数的性质,并能灵活应用.
你还记得一次函数的图象吗?
一次函数的图象怎样画呢?
一次函数有什么性质呢?
反比例函数的图象又会是什么样子呢?
【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.
反比例函数图象的画法画出反比例函数y=
的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.
(1)列表:
取自变量x的哪些值?
x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.
(2)描点:
用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.
(3)连线:
用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;
用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.
思考:
(1)观察上图,y轴右边的各点,当横坐标x逐渐增大时,纵坐标y如何变化?
y轴左边的各点是否也有相同的规律?
(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?
探究2:
反比例函数所在的象限画出函数y=
的图形,并思考下列问题:
(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?
(2)在每一象限内,函数值y随自变量x的变化是如何变化的?
【归纳结论】一般地,当k>
0时,反比例函数y=
的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.
探究3:
反比例函数y=-
的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:
(1)可以用画反比例函数y=-
的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;
(2)可以通过探索函数y=
与y=-
之间的关系,画出y=-
的图象.
【归纳结论】一般地,当k<
的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.
探究4:
反比例函数的性质反比例函数y=-
与y=
的图象有什么共同特征?
【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.
【归纳结论】反比例函数y=
(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>
0时,图象在一、三象限;
当k<
0时,图象在二、四象限.反比例函数y=
与y=-
(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.
【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.
1.教材P9例1.
2.如果函数y=2xk+1的图象是双曲线,那么k=.
【答案】-2
3.如果反比例函数y=
的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k的值是.
【答案】1,2
4.已知直线y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=
的图象在第象限.
【答案】二、四
5.反比例函数y=
的图象大致是图中的().
解析:
因为k=1>
0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限.
【答案】C
6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是()
7.已知函数
为反比例函数.
(1)求m的值;
(2)它的图象在第几象限内?
在各象限内,y随x的增大如何变化?
(3)当-3≤x≤-
时,求此函数的最大值和最小值.
8.作出反比例函数y=
的图象,并根据图象解答下列问题:
(1)当x=4时,求y的值;
(2)当y=-2时,求x的值;
(3)当y>2时,求x的范围.
列表:
由图知:
(1)y=3;
(2)x=-6;
(3)0<x<6
9.作出反比例函数y=-
的图象,结合图象回答:
(1)当x=2时,y的值;
(2)当1<x≤4时,y的取值范围;
(3)当1≤y<4时,x的取值范围.
(1)y=-2;
(2)-4<y≤-1;
(3)-4≤x<-1.
【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.
布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.
通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.
第2课时反比例函数的图象与性质
(2)
1.会求反比例函数的解析式;
2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.
经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.
提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.
会求反比例函数的解析式.
反比例函数图象和性质的运用.
1.反比例函数有哪些性质?
2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?
【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.
1.思考:
已知反比例函数y=
的图象经过点P(2,4)
(1)求k的值,并写出该函数的表达式;
(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;
(3)这个函数的图象位于哪些象限?
在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化?
(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.
(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.
(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.
【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.
2.下图是反比例函数y=
的图象,根据图象,回答下列问题:
(1)k的取值范围是k>
0还是k<
0?
说明理由;
(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:
(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>
(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<
0,-2<
0.所以点A、B都位于第三象限,又因为-3<
-2,由反比例函数的图像的性质可知:
y1>
y2.
【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.
1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-
上,则y1、y2中较小的是.
【答案】y2
2.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=
(k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有().
A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0D.y2<y1<0
【答案】A
3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是()
A.b1<b2B.b1=b2C.b1>b2D.大小不确定
【答案】D
4.函数y=-
的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0<x1<x2,则()
A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定
5.已知点P(2,2)在反比例函数y=
(k≠0)的图象上,
(1)当x=-3时,求y的值;
(2)当1<x<3时,求y的取值范围.
6.已知y=
(k≠0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求a与b的值.
(1)将A(2,-8)代入反比例解析式得:
k=-16,则反比例解析式为y=-
;
(2)将B(4,b)代入反比例解析式得:
b=-4;
将C(a,2)代入反比例解析式得:
2=-
,即a=-8.
7.已知反比例函数的图象过点(1,-2).
(1)求这个函数的解析式,并画出图象;
(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?
(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x=1时,y=-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;
再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;
(2)由点A在反比例函数的图象上,易求出m的值,再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.
(1)设:
反比例函数的解析式为:
y=
(k≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x=1时,y=-2.所以-2=
,k=-2.即反比例函数的解析式为:
y=-
(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-
图象上,所以m=
=
,点A的坐标为(-5,
).点A关于x轴的对称点(-5,-
)不在这个图象上;
点A关于y轴的对称点(5,
点A关于原点的对称点(5,-
)在这个图象上;
【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容.
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:
教材“习题1.2”中第7题.
教学中,我深深地体会到:
要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:
教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.
第3课时反比例函数的图象与性质(3)
1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;
2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.
能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.
理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.
学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.
1.正比例函数有哪些性质?
2.一次函数有哪些性质?
3.反比例函数有哪些性质?
【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.
1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:
设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k1x,y=
其中,k1,k2是常数,且均不为0.
由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k1×
(-3),4=
解得,k1=
k2=-12所以,正比例函数解析式为y=
x,反比例函数解析式为y=-
.函数图象如下图.
【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=
的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1=;
过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2=;
S1与S2有什么关系?
(k≠0)中比例系数k的几何意义:
过双曲线y=
(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.
1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB丄x轴于点B,且△ABO的面积是3,则k的值是()
A.3B.-3C.6D.-6
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=
|k|.
根据题意可知:
S△AOB=
|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k>0,则k=6.
2.反比例函数y=
在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为()
A.
B.2C.3D.1
分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积,进而可得出结论.
分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,∵由反比例函数系数k的几何意义可知,S四边形OEAC=6,S△AOE=3,
S△BOC=1,∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-1=2.
【答案】B
3.已知直线y=x+b经过点A(3,0),并与双曲线y=
的交点为B(-2,m)和C,求k、b的值.
点A(3,0)在直线y=x+b上,所以0=3+b,b=-3.一次函数的解析式为:
y=x-3.又因为点B(-2,m)也在直线y=x-3上,所以m=-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=
上,所以k=-2×
(-5)=10.
4.已知反比例函数y=
的图象与一次函数y=k2x-1的图象交于A(2,1).
(1)分别求出这两个函数的解析式;
(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析:
(1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上,把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.
(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A′是否在这两个函数图象上.
(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×
1=2.
1=2k2-1,k2=1.所以反比例函数的解析式为:
一次函数解析式为:
y=x-1.
(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1).把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y=
=-1,所以点A在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点A′不在一次函数图象上.
5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-
的图象上.
(1)求a的值.
(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.
(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.
(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.
(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.
(2)由
(1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.
(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题.
一次函数和反比例函数的图象为:
(3)从图象上可知,当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的值为:
-1≤x≤1.
(4)从图象可知,y随x的增大而减小,又m+1>m,所以y1>y2.
或解:
当x1=m时,y1=-2m+1;
当x2=m+1时,y2=-2×
(m+1)+1=-2m-1所以y1-y2=(-2m+1)-(-2m-1)=2>0,即y1>y2.
6.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=
的图象交于A、B两点.
(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.
分析:
(1)把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式.
(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.
【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.
教材“习题1.2”中第6题.
通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:
1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.
2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.
1.3反比例函数的应用
经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.
体验数形结合的思想.
建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.
经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.
复习回顾
1.什么是反比例函数?
2.反比例函数的图象是什么?
3.反比例函数图象有哪些性质?
4.反比例函数的图象对称性如何?
【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.
1.某校科技小组进行野外考察,途中遇
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