2221特殊值型图象分析型构造型综合型Word文件下载.docx
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①存在直线l,使l⊥α,l⊥β;
②存在平面γ,使α⊥γ,β⊥γ;
③α内有不共线三点到β的距离相等;
④存在异面直线l、m,使l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.
其中可以判定α∥β的有________个.
对于①,由“垂直于同一直线的两个平面互相平行”可知,可以判定α∥β;
对于②,垂直于同一平面的两个平面也可能相交,例如,一个长方体共顶点的三个面,故不能判定α∥β;
对于③也不能确定α∥β,例如,当α⊥β时,设α∩β=l,在平面α内过l上的点A、B分别作直线l的垂线l1、l2,显然l1⊥β,l2⊥β,在直线l1上取点C、D,在直线l2上取点E,使AC=AD=BE,此时点C、D、E是平面α内不共线的三点,且它们到平面β的距离相等,但此时α∩β=l;
对于④,由l∥α、m∥α知,存在直线l1⊂α、m1⊂α,
使得l∥l1、m∥m1,且m1与l1相交.
同理存在直线l2⊂β、m2⊂β,使得l∥l2、m∥m2,且m2与l2相交,因此l1∥l2,m1∥m2.由此不难得知α∥β.
综上所述,所以判定α∥β的共有2个.
2
3.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是:
①两条平行直线;
②两条互相垂直的直线;
③同一条直线;
④一条直线及其外一点.
在上面的结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确的编号).
用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行,AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直,BC1与DD1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.
①②④
4.已知数列{an}中,an>
0,Sn是{an}的前n项和,且an+=2Sn,则an=________.
解法一:
当n=1时,a1+=2S1,S1=a1>
0,解得a1=1;
当n=2时,a2+=2S2=2(a1+a2),a2>
解得a2=-1;
同理可得a3=-;
归纳可得an=-.
解法二:
将an+=2Sn变形为a+1=2Snan,
再将an=Sn-Sn-1(n≥2)代入并化简,
得S-S=1,S1=a1=1,
∴{S}是等差数列,公差为1,首项为1,
∴S=1+(n-1)·
1=n,∵an>
0,∴Sn>
从而Sn=,∴an=-.
-
5.若函数f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞)上为增函数,则实数a、b的取值范围是________.
由已知可画出下图,符合题设,故a>
0且b≤0.
a>
0且b≤0
6.在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为________.
原不等式可化为
或
所表示的平面区域如图.
A(-1,-2),B,∴所求平面区域面积S=.
7.在(0,2π)内,0<
sinx+cosx<
1成立的x的取值范围是________.
设y=sinx+cosx=sin.
∴由图象可判断当0<
y<
1时,
x∈∪.
∪
8.如果不等式>
(a-1)x的解集为A,且A⊆{x|
0<
x<
2},那么实数a的取值范围是________.
根据不等式解集的几何意义,作函数y=和函数y=(a-1)x的图象(如图),从图上容易得出实数a的取值范围是a∈[2,+∞).
[2,+∞)
9.已知实数x、y满足(x-3)2+y2=3,则的最大值是________.
可看作是过点P(x,y)与M(1,0)的直线的斜率,其中点P在圆(x-3)2+y2=3上,如图,当直线处于图中切线位置时,斜率最大,最大值为tanθ=(θ为直线PM的倾斜角).
10.已知关于x的不等式>
ax+的解集是区间(4,m),则a=________,m=________.
画出y=和y=ax+的图象,由题设知P(4,2)是它们的一个交点,即=ax+的一个根是x=4,将x=4代入,得a=,依题意m是方程=x+的另一个根,即=m+,解得m=36.
36
11.在直角坐标平面上,A(-1,0),B(3,0),点C在直线y=2x-2上,若∠ACB>
90°
,则点C的纵坐标的取值范围是________.
如图,M、N在直线y=2x-2上,且∠AMB=∠ANB=90°
,要使∠ACB>
,点C应位于M、N之间,故点C的纵坐标应属于区间(yM,yN),∵M、N在以AB为直径的圆(x-1)2+y2=4上,由y=2x-2与(x-1)2+y2=4联立解得yN=,yM=-,∴yC∈.
12.不论k为何实数,直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是________.
题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,∴-1≤a≤3.
-1≤a≤3
13.函数y=+2的单调递减区间为________.
易知x∈,y>
0.∵y与y2有相同的单调区间,而y2=11+4
=11+4,∴可得结果为.
14.函数y=sinxcosx+sinx+cosx(x∈R)的值域为________.
由三角公式可转化为代数函数,
令t=sinx+cosx,则-≤t≤,
sinxcosx=,
∴y=sinxcosx+sinx+cosx=t2-+t
=(t+1)2-1(-≤t≤).
当t=-1时,ymin=-1,
当t=时,ymax=+,
即值域为.
15.设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是________.
设a=sinα,b=cosα,则a+b=3sin(α+φ),其中φ=arctan,∴a+b的最小值为-3.
-3
16.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表,则不等式ax2+bx+c>
0的解集是________.
x
-2
-1
3
4
y
6
-4
-6
由已知,x=-2,y=0;
x=3,y=0.y=ax2+bx+c可转化为y=a(x+2)(x-3).
∵f(0)=-6a=-6<
0,∴a=1>
则a(x+2)(x-3)>
0的解集为{x|x>
3或x<
-2}.
{x|x>
-2}
17.已知函数f(x)=,那么f
(1)+f
(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=________.
本题特征是:
f(x)+f=1且f
(1)=,故原式=3+f
(1)=3+=.
18.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6),如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当ω=xy取到最大值时,点P的坐标是________.
过P作x轴,y轴的垂线,垂足分别为N、M,则ω表示矩形ONPM的面积,要使ω最大.要求P在线段BC上,由题可知线段BC的方程为y=-2x+10,x∈[2,4],
∴ω=xy=x(-2x+10),故当x=,y=5时,ω最大.
19.已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是________.
从结构特征上看,当x<
1时,要使一次函数f(x)=(3-a)x-4a是(-∞,+∞)上的增函数,则必有3-a>
0,即a<
3;
当x≥1时,要使对数函数f(x)=logax为增函数,则有a>
1,又∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,∴(3-a)×
1-4a≤0,即a≥,综上1<
a<
3.
1<
20.若直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,则m,n满足的关系式为________.
因为直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,所以圆心到直线的距离大于半径,即>
,即m2+n2<
3,又方程mx+ny-3=0表示直线,所以m2+n2≠0,所以m,n满足的关系式为0<
m2+n2<
21.实数a>
1>
b>
0,且lg(ax-bx)>
0的解集是(1,+∞),则a,b满足的关系是________.
设f(x)=lg(ax-bx),则由ax-bx>
0,即x>
1,又∵>
1,∴x∈(0,+∞).根据题意,只需f(x)是(0,+∞)上的增函数,且f
(1)=0.∵a>
0,∴ax和-bx都是(0,+∞)上的增函数,又f
(1)=lg(a-b),令lg(a-b)=0,∴a-b=1,即a,b满足的关系式为a=b+1.
a=b+1
22.函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
分子和分母同次的特点.分子展开,得到部分分式,f(x)=1+,又∵f(x)-1为奇函数,设x=t时,最大值为f(t).则M-1=f(t)-1,m-1=-(M-1),∴M+m=2.
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